《幾何原本》命題3.35【夸克歐氏幾何】
命題3.35：
在一個(gè)圓中的兩條弦相交，一條弦的兩段所構(gòu)成的矩形等于另一條弦的兩段所構(gòu)成的矩形
已知：圓ABCD，弦AC,BD交于點(diǎn)E
求證：S矩形AE×CE=S矩形BE×DE
當(dāng)點(diǎn)E為圓ABCD的圓心時(shí)
證：
∵點(diǎn)E為圓ABCD的圓心
（已知）
∴AE=BE，CE=DE
（定義1.15）
∴S矩形AE×CE=S矩形BE×DE
（公理1.1）
當(dāng)點(diǎn)E不是圓ABCD的圓心時(shí)
解：
求出圓ABCD的圓心點(diǎn)F
（命題3.1）
過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AC
（命題1.12）
過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BD
（命題1.12）
連接BF，CF，EF
證：
∵FG⊥AC
（已知）
∴AG=CG
（命題3.3）
∵點(diǎn)E在AC上
（已知）
∴S矩形AE×CE+S正方形EG2=S正方形CG2
（命題2.5）
∴S矩形AE×CE+S正方形EG2+S正方形FG2=S正方形CG2+S正方形FG2
（公理1.2）
∵FG⊥AC
（已知）
∴Rt△EFG中，S正方形EG2+S正方形FG2=S正方形EF2
Rt△CFG中，S正方形CG2+S正方形FG2=S正方形CF2
（命題1.47）
∴S矩形AE×CE+S正方形EF2=S正方形CF2
（公理1.1）
∵點(diǎn)F為圓ABCD的圓心
（已知）
∴BF=CF
（定義1.15）
∴S矩形AE×CE+S正方形EF2=S正方形BF2
（公理1.1）
同理可證S矩形BE×DE+S正方形EF2=S正方形BF2
∴S矩形AE×CE+S正方形EF2=S矩形BE×DE+S正方形EF2
（公理1.1）
∴S矩形AE×CE=S矩形BE×DE
證畢
此命題在《幾何原本》中再未被使用
PS：通過(guò)命題6.16，該命題可以寫(xiě)作AE：BE=BE：CE
來(lái)都來(lái)了，點(diǎn)個(gè)關(guān)注唄！
