附錄3

博弈論[67]

[67] 參見(jiàn)劉慶財(cái)編著：《博弈論》，北京聯(lián)合出版公司2020年9月。

一、博弈論入門

㈠什么是博弈論

博弈論，又稱對(duì)策論，是指雙方或者多方在競(jìng)爭(zhēng)、合作、沖突等情況下，充分了解各方信息，并依此選擇一種能為本方爭(zhēng)取最大利益的最優(yōu)決策的理論。博弈的深層意義在于，所得的最優(yōu)策略與對(duì)手在博弈中的操作沒(méi)有依存關(guān)系。簡(jiǎn)言之，其理性思想就是抱最好的希望，做最壞的打算。

㈡博弈的前提

在博弈論中有一個(gè)假定前提，也就是我們談?wù)摬┺恼撟罨镜那疤幔蔷褪遣┺牡乃袇⑴c者都是“理性人”。在博弈論中，參與者是理性人是指每個(gè)參與者的基本出發(fā)點(diǎn)是為自己爭(zhēng)取最大的利益，每個(gè)人在制定決策的時(shí)候，都會(huì)選擇能給自己帶來(lái)最大利益的那個(gè)決策。因?yàn)槊總€(gè)參與者都是理性的，所以參與者在理性地制定決策的時(shí)候，會(huì)考慮對(duì)方的決策，因?yàn)閷?duì)方也是理性的。理性人的最大特點(diǎn)就是以追求最大利益為行動(dòng)目的。

㈢博弈四要素

1.至少兩個(gè)參與者。博弈論的參與者又被稱為決策主體，也就是在博弈中制定決策的人。參與者在博弈中的表現(xiàn)便是制定決策與對(duì)方的決策抗衡，并為自己爭(zhēng)取最大利益。參與者之間的關(guān)系是相互影響的，自己在制定策略的時(shí)候往往需要參照對(duì)方的策略。

2.利益。從博弈論的定義中我們知道，雙方或者多方進(jìn)行博弈的最終目的都是為自己爭(zhēng)取最大的利益。

3.策略。在博弈中，決策主體根據(jù)獲得的信息和自己的判斷，制定出一個(gè)行動(dòng)方案。這個(gè)行動(dòng)方案便是策略。通俗地講，策略就是指決策主體做出的，用來(lái)解決問(wèn)題的手段、計(jì)謀、計(jì)策。策略是博弈論的核心，關(guān)系著最后的勝敗得失。博弈也可以看作是各方策略之間的較量。

4.信息。利益是博弈的目的，策略是獲得利益的手段，而信息就是制定策略的依據(jù)。要想制定出戰(zhàn)勝對(duì)方的策略，就得獲得全面的信息，對(duì)對(duì)方有更多的了解。參與者只有掌握了準(zhǔn)確、全面的信息，才能做出準(zhǔn)確的判斷。信息在博弈中占有如此重要的地位，能左右博弈雙方的輸贏。信息是博弈的四大要素之一，是參與者做出準(zhǔn)確判斷的依據(jù)。但是在有的博弈中，我們能完全掌握對(duì)方的信息，還有很多時(shí)候我們并不知道，或者不完全了解對(duì)方的信息?；趯?duì)其他參與者的信息掌握程度，博弈可分為完全信息博弈和不完全信息博弈。完全信息博弈是指博弈中對(duì)其他參與者特征、利益、可能選擇的策略等信息都有一個(gè)準(zhǔn)確的了解。如果對(duì)其他參與者特征、利益、可能選擇的策略等信息沒(méi)有一個(gè)準(zhǔn)確的了解，或者有多個(gè)參與者的情況下，只對(duì)個(gè)別參與者的信息了解，這兩種情況的博弈便是不完全信息博弈。信息還可以分為私有信息和公共信息當(dāng)你掌握的信息屬于私有信息的時(shí)候你該做出什么樣的決策？當(dāng)你掌握的信息屬于公共信息的時(shí)候，又改做出什么樣的決策？

㈣博弈的分類

博弈分為合作博弈和非合作博弈。合作博弈并不是指參與者之間有合作的意向，或者合作態(tài)度，而是參與者之間有具有約束力的協(xié)議、約定或者契約，參與者必須在這些協(xié)議的范圍內(nèi)進(jìn)行博弈。非合作博弈是指參與者在博弈的時(shí)候，無(wú)法達(dá)成一個(gè)對(duì)各方都有約束力的協(xié)議。合作博弈是研究合作中如何分配利益的問(wèn)題，目的是使得協(xié)議框架內(nèi)所有參與者都滿意。而非合作博弈的目的是如何為自己爭(zhēng)取最大化的利益，并不考慮其他參與者的利益。

㈤博弈的結(jié)果

博弈的結(jié)果分為兩敗俱傷和雙贏。兩敗俱傷是博弈中最壞的一種結(jié)果，每一位參與者的收益都小于損失，都沒(méi)有占到便宜。兩敗俱傷屬于負(fù)和博弈。正和博弈就是參與各方本著相互合作、公平公正、互惠互利的原則來(lái)分配利益，讓每一個(gè)參與者都滿意的博弈。零和博弈中一方有收益，另一方肯定有損失，并且各方的收益和損失之和永遠(yuǎn)為零。

㈥調(diào)解離不開(kāi)博弈

1.調(diào)解就是一個(gè)博弈的過(guò)程。

人與人之間的溝通過(guò)程其實(shí)質(zhì)就是一種心理的博弈。博弈其實(shí)也是操縱與反操縱，影響與被影響，改變與被改變。在調(diào)解過(guò)程中，調(diào)解人員在調(diào)解過(guò)程中天然處于主導(dǎo)地位，如何做到不被操縱、影響或者改變，亦或是在影響、改變別人，從而讓雙方當(dāng)事人達(dá)成協(xié)議則就看各自本事。對(duì)于調(diào)解人員來(lái)說(shuō)，對(duì)于同樣一件事情，用不同的策略來(lái)解決，得到的結(jié)果便不同。調(diào)解中調(diào)解人員對(duì)于博弈論的核心是尋找解決問(wèn)題的最優(yōu)策略；調(diào)解人員認(rèn)為的最優(yōu)策略所產(chǎn)生的結(jié)果對(duì)于當(dāng)事人來(lái)說(shuō)是一種次優(yōu)結(jié)果。調(diào)解階段，對(duì)于當(dāng)事人與第三方而言，調(diào)解階段博弈的前提體現(xiàn)為大多數(shù)當(dāng)事人處于信息不完整或信息不對(duì)稱的狀態(tài)。

2.博弈策略。博弈策略是指每個(gè)博弈方在進(jìn)行決策時(shí)可以選擇的方法、做法等。博弈策略分為純策略和混合策略。純策略是指參與人在博弈中可以選擇采用的行動(dòng)方案；混合策略是在純策略空間上的一種概率分布，表示參與人實(shí)際進(jìn)行決策時(shí)根據(jù)這種概率分布在純策略中隨機(jī)選擇加以實(shí)施。雖然制定策略需要考慮到對(duì)方，但是策略的選擇依舊有一定的規(guī)律可循。策略的選擇一般有兩個(gè)行動(dòng)準(zhǔn)則：一是尋找并應(yīng)用優(yōu)勢(shì)策略，二是尋找并避免劣勢(shì)策略。

3.博弈結(jié)果。雙方當(dāng)事人達(dá)成的調(diào)解協(xié)議本身就是雙方博弈的結(jié)果，協(xié)議內(nèi)容是否超出訴求請(qǐng)求、超出多少則就體現(xiàn)了調(diào)解人員在調(diào)解過(guò)程中是否體現(xiàn)了公平公正合理原則。

4.調(diào)解博弈的精髓：一是積極主動(dòng)地行動(dòng)，理性的分析局面；二是讓別人按照你的意志行事，使當(dāng)事人利益達(dá)到次優(yōu)結(jié)果（結(jié)果不是最好也不是最壞）；三是決策時(shí)必須考慮對(duì)手對(duì)你的策略做出的反應(yīng)。

5.如何運(yùn)用博弈論？換位思考！即站在別人的立場(chǎng)上去分析收益。只有這樣才能了解對(duì)方有哪幾種可能的策略，采用哪一種策略的可能性最大，從而作出正確的決策。這也就是我們常說(shuō)的知己知彼。一是向前展望，倒后推理。即首先確定自己希望最后達(dá)到什么目標(biāo)，然后從這個(gè)結(jié)果倒后研究，找出自己現(xiàn)在應(yīng)該作出哪種選擇，才能以最低的代價(jià)達(dá)到既定的目標(biāo)。二是不要選擇嚴(yán)格劣勢(shì)策略，理性選擇導(dǎo)致次優(yōu)的結(jié)果。三是換位在換位。不僅僅是說(shuō)你要考慮博弈中的第二層面，還表示了你要比對(duì)手都多考慮一個(gè)層面。即不僅要站在別人的立場(chǎng)上思考別人的收益，還要考慮對(duì)方在此博弈中的老練程度，以使你總比博弈者高深一層。

二、納什均衡

納什均衡是指在一策略組合中，所有的參與者面臨這樣一種情況，當(dāng)其他人不改變策略時(shí)，他此時(shí)的策略是最好的。也就是說(shuō)，此時(shí)如果他改變策略他的支付將會(huì)降低。在納什均衡點(diǎn)上，每一個(gè)理性的參與者都不會(huì)有單獨(dú)改變策略的沖動(dòng)。

三、囚徒博弈

在博弈論中，含有占優(yōu)戰(zhàn)略均衡的一個(gè)著名例子是由塔克給出的"囚徒困境"博弈模型。該模型用一種特別的方式為我們講述了一個(gè)警察與小偷的故事。假設(shè)有兩個(gè)小偷A(chǔ)和B聯(lián)合犯事、私入民宅被警察抓住。警方將兩人分別置于不同的兩個(gè)房間內(nèi)進(jìn)行審訊，對(duì)每一個(gè)犯罪嫌疑人，警方給出的政策是:如果兩個(gè)犯罪嫌疑人都坦白了罪行，交出了贓物，于是證據(jù)確鑿，兩人都被判有罪，各被判刑8年;如果只有一個(gè)犯罪嫌疑人坦白，另一個(gè)人沒(méi)有坦白而是抵賴，則以妨礙公務(wù)罪(因已有證據(jù)表明其有罪)再加刑2年，而坦白者有功被減刑8年，立即釋放。如果兩人都抵賴，則警方因證據(jù)不足不能判兩人的偷竊罪，但可以私入民宅的罪名將兩人各判入獄1年。下表給出了這個(gè)博弈的支付矩陣。

囚徒困境博弈

A╲B? ? ? ? ? 坦白? ? ? ?? 抵賴??

坦白? ? ? ? ?8，8? ? ? ? 0，10

抵賴? ? ? ? ?10，0? ? ? ? 1，1

對(duì)A來(lái)說(shuō)，盡管他不知道B作何選擇，但他知道無(wú)論B選擇什么，他選擇"坦白"總是最優(yōu)的。顯然，根據(jù)對(duì)稱性，B也會(huì)選擇"坦白"，結(jié)果是兩人都被判刑8年。但是，倘若他們都選擇"抵賴"，每人只被判刑1年。在表2.2中的四種行動(dòng)選擇組合中，(抵賴、抵賴)是帕累托最優(yōu)，因?yàn)槠x這個(gè)行動(dòng)選擇組合的任何其他行動(dòng)選擇組合都至少會(huì)使一個(gè)人的境況變差。但是，"坦白"是任一犯罪嫌疑人的占優(yōu)戰(zhàn)略，而(坦白，坦白)是一個(gè)占優(yōu)戰(zhàn)略均衡，即納什均衡。不難看出，此處納什均衡與帕累托存在沖突。

單從數(shù)學(xué)角度講，這個(gè)理論是合理的，也就是選擇都坦白。但在這樣多維信息共同作用的社會(huì)學(xué)領(lǐng)域顯然是不合適的。正如中國(guó)古代將官員之間的行賄受賄稱為"陋規(guī)"而不是想方設(shè)法清查，這是因?yàn)樯鐣?huì)體系給人行為的束縛作用迫使人的策發(fā)生改變。比如，從心理學(xué)角度講，選擇坦白的成本會(huì)更大，一方坦白害得另一方加罪，那么事后的報(bào)復(fù)行為以及從而不會(huì)輕易在周圍知情人當(dāng)中的"出賣"角色將會(huì)使他損失更多。而8年到10年間的增加比例會(huì)被淡化，人的尊嚴(yán)會(huì)使人產(chǎn)生復(fù)仇情緒，略打破"行規(guī)"。我們正處于大數(shù)據(jù)時(shí)代，想更接近事實(shí)的處理一件事就要盡可能多地掌握相關(guān)資料并合理加權(quán)分析，人的活動(dòng)動(dòng)影像動(dòng)因復(fù)雜，所以囚徒困境只能作為簡(jiǎn)化模型參考，具體決策還得具體分析。

四、智豬博弈

假設(shè)豬圈里有一頭大豬、一頭小豬。豬圈的一頭有豬食槽，另一頭安裝著控制豬食供應(yīng)的按鈕，按一下按鈕會(huì)有10個(gè)單位的豬食進(jìn)槽，但是誰(shuí)按按鈕就會(huì)首先付出2個(gè)單位的成本，在去往食槽的路上會(huì)有兩個(gè)單位豬食的體能消耗，若大豬先到槽邊，大小豬吃到食物的收益比是9∶1;同時(shí)行動(dòng)(去按按鈕)，收益比是7∶3;小豬先到槽邊，收益比是6∶4。那么，在兩頭豬都有智慧的前提下，最終結(jié)果是小豬選擇等待。

“智豬博弈”由納什于1950年提出。實(shí)際上小豬選擇等待，讓大豬去按控制按鈕，而自己選擇"坐船"(或稱為搭便車)的原因很簡(jiǎn)單:在大豬選擇行動(dòng)的前提下，小豬選擇等待的話，小豬可得到4個(gè)單位的純收益，而小豬行動(dòng)的話，則僅僅可以獲得大豬吃剩的1個(gè)單位的純收益，所以等待優(yōu)于行動(dòng);在大豬選擇等待的前提下，小豬如果行動(dòng)的話，小豬的收入將不抵成本，純收益為-1單位，如果小豬也選擇等待的話，那么小豬的收益為零，成本也為零，總之，等待還是要優(yōu)于行動(dòng)。

用博弈論中的報(bào)酬矩陣可以更清晰的刻畫出小豬的選擇:

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?小豬

大豬? ? ? ? ? 行動(dòng)? ? ? ? ? ?行動(dòng)? ? ? ? 等待

? ? ? ? ? ? ? ? ? 等待? ? ? ? ? ?5,1? ? ? ? ? ?4,4

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 9,-1? ? ? ? ? ?0,0

從矩陣中可以看出，當(dāng)大豬選擇行動(dòng)的時(shí)候，小豬如果行動(dòng)，其收益是1，而小豬等待的話，收益是4，所以小豬選擇等待;當(dāng)大豬選擇等待的時(shí)候，小豬如果行動(dòng)的話，其收益是-1，而小豬等待的話，收益是0,所以小豬也選擇等待。綜合來(lái)看，無(wú)論大豬是選擇行動(dòng)還是等待，小豬的選擇都將是等待，即等待是小豬的占優(yōu)策略。

在智豬博弈中，雖然小豬的"撿現(xiàn)成"的行為從道義上來(lái)講令人不齒，但是博弈策略的主要目的不正是使用謀略最大化自己的利益嗎?

當(dāng)你處于明顯劣勢(shì)的情況下，等待是最好的策略，但是要注意對(duì)方的想法是否跟你一樣。

五、獵鹿博弈

獵鹿博弈又稱安全博弈、協(xié)調(diào)博弈，或者獵鹿模型。獵鹿博弈源自一則故事，即在古代的一座村莊里，住著兩個(gè)獵人。而這個(gè)村子里主要有兩種獵物：鹿和兔子。假設(shè)一個(gè)獵人單獨(dú)外出捕獵，只能捕到4只兔子；然而，如果兩個(gè)獵人同時(shí)出動(dòng)且合作就能捕到1只鹿。而站在填飽肚子的角度看，他所捕到的這4只兔子能夠成為他4天的食物，但是1只鹿足以讓他在10天內(nèi)都不用外出捕獵。如果雙方合作，利益大于單獨(dú)行動(dòng)。但前提是雙方能力平等，并且相互信任。

六、槍手博弈

有三個(gè)槍手，第一個(gè)槍手A的命中率是80%， B是60%，C是40%。他們同時(shí)舉槍瞄準(zhǔn)、同時(shí)射擊另兩個(gè)人中的一個(gè)，要盡可能消滅對(duì)手，每個(gè)人一次機(jī)會(huì)，一顆子彈，目標(biāo)是努力使自己活下來(lái)。誰(shuí)活下來(lái)的可能性最大？如果你認(rèn)為槍法最準(zhǔn)的A勝出，那么你就錯(cuò)了。

我們來(lái)看，如果你是A，你毫無(wú)疑問(wèn)的會(huì)瞄準(zhǔn)對(duì)你威脅最大的B，而B也會(huì)瞄準(zhǔn)對(duì)他威脅最大的A，而C則也可能瞄準(zhǔn)A，那么三個(gè)人存活的概率都是多少呢？

A = 100% - 60% - （1-60%）* 40% = 24%

B = 100% - 80% = 20% (因?yàn)槊新蕿?0%的A在瞄準(zhǔn)他)

C = 100% （因?yàn)闆](méi)有人瞄準(zhǔn)他）

原來(lái)，槍法最不準(zhǔn)的C竟然活了下來(lái)。

那么，換一種玩法呢？如果三個(gè)人輪流開(kāi)槍，誰(shuí)會(huì)生存下來(lái)？

如果A先開(kāi)槍的話，A還是會(huì)先打B，如果B被打死了，則下一個(gè)開(kāi)槍的就是C，那么此時(shí)A生存的概率為60%，而C依然是100%（他開(kāi)過(guò)槍后A沒(méi)有子彈了，游戲結(jié)束）；如果打不死B，則下一輪在B開(kāi)槍的時(shí)候一定會(huì)全力回?fù)?，A的生存率為40%，不管是否打死A，第三輪AB的命運(yùn)都掌握在C的手里了。

那么，如果游戲規(guī)則規(guī)定必須由C先開(kāi)槍，如果你是C怎么才能讓自己活下來(lái)呢？答案是胡亂開(kāi)一槍，只要不針對(duì)AB任何一人即可。當(dāng)C開(kāi)槍完畢，AB還是會(huì)陷入互相攻擊的困境。如果一開(kāi)始就把自己的全部實(shí)力展現(xiàn)，容易陷入危險(xiǎn)。實(shí)力最差的可能更能生存下去，因?yàn)槿菀妆蝗撕鲆暋?/p>

七、警察與小偷博弈

在一個(gè)小鎮(zhèn)上，警察隨機(jī)在A處或者B進(jìn)行巡邏，小偷在并不知道警察的選擇的情況下要去A處或B處偷竊，這便是警察和小偷之間的博弈。在此博弈中，博弈者雙方的選擇都是隨機(jī)的，并且不一定存在最優(yōu)策略。

在我們此前介紹的最典型的囚徒博弈中，雖然同樣是不知道對(duì)方的決定，但對(duì)其中一方來(lái)說(shuō)是可以制定最優(yōu)策略——坦白，盡管在雙方的最優(yōu)策略下形成的是一個(gè)差的納什平衡。但在警察和小偷的博弈中，假設(shè)雙方去A、B處的幾率一樣，那么當(dāng)一方去A處，另一方去去A處則小偷被抓，去B處則小偷不會(huì)被抓，反之亦然。也就是不論對(duì)方的選擇為何，博弈者都有可能獲得好的結(jié)果和壞的結(jié)果。

因?yàn)椴┺恼咧g的利益是沖突的，所以不存在雙贏和雙輸?shù)木置?。為了使自身獲得高利益的可能性不被降低，博弈者應(yīng)該：不要讓對(duì)方知道自己的決定。如果小偷知道警察在哪處巡邏便會(huì)避開(kāi)這個(gè)地方讓警察撲空，而警察如果事先知道小偷的目標(biāo)就可以提前布局、甕中捉鱉。所以一旦決定被對(duì)方知曉，博弈者就會(huì)處于不利地位。

在此重復(fù)性的博弈中，制定混合策略，隨機(jī)選擇，讓對(duì)方捉摸不透。重復(fù)性博弈的情境是大致一樣的，如果博弈者的決策有規(guī)律可循，對(duì)可根據(jù)以往的信息推斷其本次最有可能的策略，從而對(duì)此制定相應(yīng)的最優(yōu)策略以達(dá)到他的最大化利益。當(dāng)然，這也有可能只是一個(gè)陷阱。只有讓對(duì)方無(wú)法知曉或者錯(cuò)判我們的策略，使其做出錯(cuò)誤的決定，才能使我們更可能獲得利益。當(dāng)對(duì)方了解到自己的策略傾向時(shí)，自己便會(huì)面臨極大的輸?shù)粲螒虻娘L(fēng)險(xiǎn)。我們每個(gè)人在做決策時(shí)，不會(huì)太在意自己的決策，我們要做到找出自己要做的策略，并且讓對(duì)手覺(jué)得不會(huì)影響到他們。

八、斗雞博弈

兩只斗雞在決斗的時(shí)候，無(wú)論選擇進(jìn)或退都是一個(gè)難題，因?yàn)榧{什均衡已經(jīng)給出了一勝一敗的最優(yōu)策略。在很多較量下，死拼將是得不償失的，因?yàn)楹芸赡芙o第三者機(jī)會(huì)。因此，兩個(gè)已經(jīng)在戰(zhàn)場(chǎng)的強(qiáng)勢(shì)力很可能自覺(jué)的遵循納什均衡，當(dāng)一方攻擊時(shí)，另一方暫退。雖然可能某方暫時(shí)受損，但較之于兩敗俱傷是好得多的。不過(guò)，要維持這一狀況，必須保證下一次先期受損的一方發(fā)動(dòng)攻勢(shì)的時(shí)候，另一方同樣的后退。于是這樣的攻擊性行為開(kāi)始變得“儀式化”，沒(méi)有人真正流血。這只不過(guò)是兩個(gè)巨頭玩弄的游戲，目的是警告后來(lái)者，想進(jìn)來(lái)，那么也得陪我們一起玩，可是你玩的起么？

九、海盜分金博弈

㈠海盜分金

有五個(gè)海盜（記為1、2、3、4、5號(hào)）掠得一百枚金幣，決定以抽簽的方式依次提出分金方案，并由五人共同表決。要想通過(guò)方案，必須有超半數(shù)的人同意才可以，否則這個(gè)人將會(huì)被扔進(jìn)大海。這其實(shí)是一個(gè)博弈的過(guò)程，在分金的過(guò)程中，要想不被扔入大海，必須充分考慮其他人的利益，從而以最小的代價(jià)獲取最大的收益。如果自顧個(gè)人的利益，很難生存下去。舍去部分利益，可能獲得更多的利益。

㈡蜈蚣博弈

一個(gè)雙人博弈，兩人輪流行動(dòng)，輪到一方時(shí)有兩種選擇：不合作，博弈將直接結(jié)束，直接獲得收益P；合作，博弈將繼續(xù)進(jìn)行，且輪到對(duì)方選擇。如果對(duì)手選擇不合作將結(jié)束博弈，玩家將會(huì)獲得一個(gè)稍微低于P的收益，但如果對(duì)手也選擇繼續(xù)博弈，該玩家將在之后的博弈中獲得一個(gè)高于P的收益。隨著博弈的不斷進(jìn)行，兩玩家的收益之和將越來(lái)越高。博弈進(jìn)行有限輪，若兩玩家一直選擇合作，兩人最后的收益相同。蜈蚣博弈的機(jī)理是以最終的結(jié)果倒退至開(kāi)始。這是一個(gè)睿智的策略，因果相報(bào)，把握好因緣，自有好結(jié)果。它的另一個(gè)好處，就是使得未來(lái)的計(jì)劃明晰化，你不再徘徊。蜈蚣博弈也有一個(gè)致命的悖論，仍舊是個(gè)人利益和集體利益的沖突，因?yàn)樽詈笠淮蔚谋撑咽找媸冀K優(yōu)于合作。

㈢公地悲劇

有一片公共牧場(chǎng)，所有牧民都可以在這塊牧場(chǎng)上放牧。但每個(gè)牧場(chǎng)的草，都是有容量上限的。一開(kāi)始所有牧民都商量好，每家放5頭牛，不許多放。幾天后，有幾個(gè)自私的牧民，多放了幾頭牛。其他人很氣憤，他們想：我守規(guī)矩有什么用，草地早晚要被其他人糟蹋完的，不如我多放幾頭。于是，越來(lái)越多的牛出現(xiàn)在草地上，最后，草場(chǎng)退化，牛群餓死。這就是“公地悲劇”。公地悲劇其實(shí)隨處可見(jiàn)，比如環(huán)境污染、過(guò)度海洋捕撈等。

推薦：劉慶財(cái)編著《博弈論》，北京聯(lián)合出版公司2020年9月。