復(fù)習(xí)筆記Day117:exp(A)的一種計算方法

2023-03-15 01:23 作者:間宮_卓司 0人讀過 | 我要投稿

這幾天幫一個物理專業(yè)的網(wǎng)友解決了一個簡單的數(shù)學(xué)問題，我覺得還蠻有意思的，就寫上來了，他的原始問題是：方程 $%5Cexp%20%5Cleft(%20X%20%5Cright)%20%3DA$ 的解，在不考慮輻角的情況下是否唯一，其中 $A$ 為 $2$ 階矩陣， $X$ 是要求解的矩陣。這里的不考慮輻角可以認為是 $X$ 的特征值的虛部屬于 $(-%5Cpi%2C%5Cpi%5D$

我把原始問題稍微修改了一下，改成了如下問題，大家在看解答之前可以先自己試著做一下

117.1假設(shè) $A$ 的極小多項式為 $%5Cphi%20%5Cleft(%20%5Clambda%20%5Cright)%20%3D%5Cleft(%20%5Clambda%20-%5Clambda%20_1%20%5Cright)%20%5E%7Bn_1%7D%5Cleft(%20%5Clambda%20-%5Clambda%20_2%20%5Cright)%20%5E%7Bn_2%7D%5Ccdots%20%5Cleft(%20%5Clambda%20-%5Clambda%20_k%20%5Cright)%20%5E%7Bn_k%7D$

解答以下問題

(1)多項式 $p(x)%2Cq(x)$ 滿足

$p%5E%7B%5Cleft(%20j%20%5Cright)%7D%5Cleft(%20%5Clambda%20_i%20%5Cright)%20%3Dq%5E%7B%5Cleft(%20j%20%5Cright)%7D%5Cleft(%20%5Clambda%20_i%20%5Cright)%20%2Ci%3D1%2C2%2C%5Ccdots%20%2Ck%2Cj%3D0%2C1%2C%5Ccdots%20n_i-1$

等價于 $p(A)%3Dq(A)$

(2)設(shè) $A$ 是二階矩陣，求解方程 $%5Cexp%20%5Cleft(%20X%20%5Cright)%20%3DA$

(1)設(shè) $P%5E%7B-1%7DAP%3DJ_A$ ，其中 $J$ 為 $A$ 的若當標準型，那么屬于特征值 $%5Clambda_i$ 的若當塊中，大小最大的為 $n_i$ ，而 $P%5E%7B-1%7Dp%5Cleft(%20A%20%5Cright)%20P%3Dp%5Cleft(%20P%5E%7B-1%7DAP%20%5Cright)%20%3Dp%5Cleft(%20J_A%20%5Cright)%20$ ，現(xiàn)在對每一塊若當塊 $J$ ，來計算 $p(J)$ ，考慮 $p(x)$ 在 $x%3D%5Clambda$ 處的泰勒展開

$p%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3Dp%5Cleft(%20%5Clambda%20%5Cright)%20%2Bp'%5Cleft(%20%5Clambda%20%5Cright)%20%5Cleft(%20x-%5Clambda%20%5Cright)%20%2B%5Ccdots%20%2B%5Cfrac%7Bp%5E%7B%5Cleft(%20n%20%5Cright)%7D%5Cleft(%20%5Clambda%20%5Cright)%7D%7Bn!%7D%5Cleft(%20x-%5Clambda%20%5Cright)%20%5En$

其中 $%5Clambda$ 為 $J$ 的特征值，帶入可得

$p%5Cleft(%20J%20%5Cright)%20%3D%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%09p%5Cleft(%20%5Clambda%20%5Cright)%26%09%09p'%5Cleft(%20%5Clambda%20%5Cright)%26%09%09%5Ccdots%26%09%09%5Ccdots%26%09%09%5Cfrac%7Bp%5E%7B%5Cleft(%20n%20%5Cright)%7D%5Cleft(%20%5Clambda%20%5Cright)%7D%7Bn!%7D%5C%5C%0A%09%26%09%09p%5Cleft(%20%5Clambda%20%5Cright)%26%09%09p'%5Cleft(%20%5Clambda%20%5Cright)%26%09%09%5Ccdots%26%09%09%5Cvdots%5C%5C%0A%09%26%09%09%26%09%09%5Cddots%26%09%09%5Cddots%26%09%09%5Cvdots%5C%5C%0A%09%26%09%09%26%09%09%26%09%09%5Cddots%26%09%09p'%5Cleft(%20%5Clambda%20%5Cright)%5C%5C%0A%09%26%09%09%26%09%09%26%09%09%26%09%09p%5Cleft(%20%5Clambda%20%5Cright)%5C%5C%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%5D%20%3Dq(J)$

從而 $p(A)%3Dq(A)$

(2)從第一問的證明中不難得到，要找到一個多項式 $p(A)$ 滿足 $p(A)%3D%5Cexp(A)$ ，只需要

$p%5E%7B%5Cleft(%20j%20%5Cright)%7D%5Cleft(%20%5Clambda%20_i%20%5Cright)%20%3D%5Cexp%5E%7B%5Cleft(%20j%20%5Cright)%7D%5Cleft(%20%5Clambda%20_i%20%5Cright)%20%2Ci%3D1%2C2%2C%5Ccdots%20%2Ck%2Cj%3D0%2C1%2C%5Ccdots%20n_i-1$

就好了，這實際上就是一個赫米特插值問題，而赫米特插值問題是適定的，也就是說赫米特插值的解是存在唯一的，接下來設(shè) $A$ 有兩個特征值 $%5Clambda_1%2C%5Clambda_2$ （可以相同），那么根據(jù) $A$ 的情況，計算可得如下結(jié)果

1.若 $A$ 有兩個相同的特征值 $%5Clambda_1%3D%5Clambda_2%3D%5Clambda$ ，且 $A$ 可對角化，此時 $X$ 也有兩個相同的特征值 $%5Cln%5Clambda$ ，且 $X$ 可對角化，此時 $X%3D%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%09%5Cln%20%5Clambda%26%09%09%5C%5C%0A%09%26%09%09%5Cln%20%5Clambda%5C%5C%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%5D%20$

2.若 $A$ 有兩個不同的特征值 $%5Clambda_1%2C%5Clambda_2$ ，則 $X$ 也有兩個不同的特征值 $%5Cln%20%5Clambda%20_1%2C%5Cln%20%5Clambda%20_2$ ，通過赫米特插值可以解得

$X%3D%5Cfrac%7B%5Cln%20%5Clambda%20_1-%5Cln%20%5Clambda%20_2%7D%7B%5Clambda%20_1-%5Clambda%20_2%7D%5Cleft(%20A-%5Cfrac%7B%5Clambda%20_2%5Cln%20%5Clambda%20_1-%5Clambda%20_1%5Cln%20%5Clambda%20_2%7D%7B%5Cln%20%5Clambda%20_1-%5Cln%20%5Clambda%20_2%7DI%20%5Cright)%20$