好消息：反常積分結(jié)束了！

壞消息：含參變量積分開始了……

是的，就如我們之前所說(shuō)的一樣，在結(jié)束反常積分的部分之后，我們沒(méi)有按照參考教材的順序，去介紹Fourier級(jí)數(shù)的內(nèi)容，而是為了保證連貫性，選擇直接跟上含參變量積分的部分，最后再利用已經(jīng)掌握的各種知識(shí)，集中分析有關(guān)Fourier級(jí)數(shù)的部分。

那么，我們就開始吧！

Chapter? Eighteen? 含參變量積分

18.1? 含參變量的常義積分

對(duì)于一般的函數(shù)而言，其積分的結(jié)果是很明確的（能不能一般可求暫且不說(shuō)）。但是，如果函數(shù)本身不是被自變量唯一確定的，而是有一個(gè)參數(shù)來(lái)參與決定函數(shù)本身，那么，對(duì)于這樣的含參變量的函數(shù)，其積分結(jié)果就不一定再唯一了，很有可能是關(guān)于參數(shù)的一個(gè)函數(shù)。這個(gè)時(shí)候，我們可以將參數(shù)視作函數(shù)的另一個(gè)變量，即：

其中，二元函數(shù)在閉矩形：

上滿足一定的性質(zhì)，為相對(duì)于一元函數(shù)而言的參數(shù)。

這樣，有二重積分的基本知識(shí)，我們就不難理解，此時(shí)對(duì)自變量x進(jìn)行積分，得到的其實(shí)是一個(gè)關(guān)于參數(shù)的函數(shù)：

（這實(shí)際上也就是累次積分的第一層。）

我們將這樣的由一層積分得到的關(guān)于參數(shù)的函數(shù)，稱為函數(shù)含參變量u的常義積分。

對(duì)應(yīng)地，如果上述積分關(guān)于自變量為反常積分，就稱之為含參變量反常積分。

為了讓大家更好理解含參變量積分，我們將其與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)作類比。事實(shí)上，我們知道，所謂函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，就是：

實(shí)際上，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)就是以x為參數(shù)的函數(shù)，以n為求和變量（類比于積分變量）的一種離散求和（類比于連續(xù)求和，即積分）。在二者之間，x對(duì)應(yīng)于u，n對(duì)應(yīng)于x。

接下來(lái)，我們就要開始研究，含參變量常義積分的分析性質(zhì)了。首先，我們要問(wèn)的就是，在什么條件下，含參變量常義積分是連續(xù)的？

按照連續(xù)的定義，我們就是要考慮，二元函數(shù)滿足什么條件時(shí)，有：

（其中，為任意一點(diǎn)。）

我們做一些簡(jiǎn)單的推導(dǎo)：

基于此，我們就能知道，如果二元函數(shù)在任意固定x時(shí)，關(guān)于參數(shù)u連續(xù)，那么顯然就能夠得到含參變量常義積分連續(xù)。但是，這一條件不方便判斷與利用，我們可以犧牲一定的判定范圍，來(lái)?yè)Q取一個(gè)好的判定條件。（當(dāng)然，就這一條件而言，其實(shí)也不是一個(gè)必要的條件，僅僅是保證了充分性罷了。）比如說(shuō)：

二元函數(shù)在閉矩形：

上連續(xù)，則含參變量常義積分：

在區(qū)間上連續(xù)，即：

（極限與積分可以交換次序）

因?yàn)椋?/p>

所以這一結(jié)論是顯然的。

接下來(lái)，我們要考慮有關(guān)含參變量常義積分的微分性質(zhì)。我們知道，對(duì)于一元函數(shù)而言，可微與可導(dǎo)的操作是一致的。因此，我們實(shí)際上只需要討論：

是否存在且有限的問(wèn)題。

還是一樣，我們做一些簡(jiǎn)單的推導(dǎo)：

又因?yàn)榇藭r(shí)：

所以，如果此時(shí)二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上存在且連續(xù)，則就有：

我們也強(qiáng)化一下條件，以便我們使用：

如果二元函數(shù)在閉矩形：

上連續(xù)，且也連續(xù)，則含參變量常義積分：

在區(qū)間上可微，且有：

至于含參變量常義積分的可積性質(zhì)，如果我們完全將含參變量函數(shù)看做是二元函數(shù)，那么由二重積分的理論，我們很容易想到：

那么我們下一步要考慮的，就是如何保證可積性。顯然，保證連續(xù)是能夠做到這一點(diǎn)的。而綜合上面有關(guān)連續(xù)性和可微性的討論結(jié)果，這一條件是我們能夠接受的。因此，就有：

如果二元函數(shù)在閉矩形：

上連續(xù)，則含參變量常義積分：

在區(qū)間上可積，且有：

嚴(yán)格證明留給大家。（定理1）

（如果采用上述思路，只需要證明連續(xù)能夠保證重積分和累次積分都能存在即可；如果換一種思路，就需要利用含參變量常義積分的連續(xù)性定理與可微性定理。）

討論完矩形區(qū)域上的含參變量常義積分，考慮到重積分的部分的順序，我們接下來(lái)可以討論一下一般有界集合上的含參變量常義積分，也即：

按照順序，我們還是討論連續(xù)、可微以及可積的性質(zhì)。但是，實(shí)際上，在二重積分部分，我們已經(jīng)將二維有界集合上的重積分有關(guān)的內(nèi)容已經(jīng)討論過(guò)了，這里只不過(guò)是將很多條件加強(qiáng)了，犧牲了一定的判定范圍，因此我們不再仔細(xì)討論了。

對(duì)于這一含參變量常義積分，如果想要保證其連續(xù)，我們還是假定所涉及到的各個(gè)函數(shù)都是連續(xù)的，那么就有：

這里：

均是連續(xù)函數(shù)；

于是，我們就知道，是連續(xù)的。

完整地?cái)⑹鲆槐椋褪沁@樣的結(jié)論：

設(shè)均是對(duì)應(yīng)定義集合上的連續(xù)函數(shù)，其中：

更進(jìn)一步，我們讓在：

上連續(xù)，則：

在上連續(xù)。

最后我們給出的可微性質(zhì)：

設(shè)和都在閉矩形：

上連續(xù)，且均在上可微，則：

在上可微，且有：

（定理2）

思考：

1. 證明定理1；

2. 證明定理2；

3. 計(jì)算：

   （1）

   

   （2）

   

   （3）

   
   

4. 求，其中：

   

5. 證明：設(shè)分別二階可導(dǎo)和一階可導(dǎo)，則：

   

   滿足：

   

6. 證明：對(duì)任意，有：

   

最後の最後に、ありがとうございました！