數(shù)學(xué)大師

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01.等差數(shù)列求和公式

1.公式法

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2.錯位相減法

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3.求和公式

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4.分組法

有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.

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5.裂項相消法

適用于分式形式的通項公式，把一項拆成兩個或多個的差的形式，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加時抵消中間的許多項。

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【小結(jié)】此類變形的特點(diǎn)是將原數(shù)列每一項拆為兩項之后，其中中間的大部分項都互相抵消了。只剩下有限的幾項。
【注意】余下的項具有如下的特點(diǎn)：1、余下的項前后的位置前后是對稱的。2、余下的項前后的正負(fù)性是相反的。

6.數(shù)學(xué)歸納法

一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，有如下步驟：（1）證明當(dāng)n取第一個值時命題成立；（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥n的第一個值，k為自然數(shù)）時命題成立，證明當(dāng)n=k+1時命題也成立。

例：求證：1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + n(n+1)(n+2)(n+3) = [n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5

證明：當(dāng)n=1時，有：1×2×3×4 = 24 = 2×3×4×5/5

假設(shè)命題在n=k時成立，于是：1×2x3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + k(k+1)(k+2)(k+3) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5

則當(dāng)n=k+1時有：1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)= 1×2×3×4 + 2×3×4*5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)= [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)= (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1)= [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5即n=k+1時原等式仍然成立，歸納得證

7.并項求和法

（常采用先試探后求和的方法）例：1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n

方法一：（并項）求出奇數(shù)項和偶數(shù)項的和，再相減。

方法二：（1－2）+（3－4）+（5－6）+……+[（2n-1）-2n]

方法三：構(gòu)造新的數(shù)列，可借用等差數(shù)列與等比數(shù)列的復(fù)合。an=n(-1)^（n+1）

02.等差數(shù)列判定及其性質(zhì)

等差數(shù)列的判定

（1）a(n+1)--a(n)=d (d為常數(shù)、n ∈N*）[或a（n)--a(n-1)=d，n ∈N*，n ≥2,d是常數(shù)]等價于{a(n)}成等差數(shù)列。
（2）2a(n+1)=a(n)+a(n+2) [n∈N*] 等價于{a(n)}成等差數(shù)列。
（3）a(n)=kn+b [k、b為常數(shù),n∈N*] 等價于{a(n)}成等差數(shù)列。
（4）S(n)=A(n)^2 +B(n) [A、B為常數(shù)，A不為0，n ∈N* ]等價于{a(n)}為等差數(shù)列。

特殊性質(zhì)

在有窮等差數(shù)列中，與首末兩項距離相等的兩項和相等。并且等于首末兩項之和；

特別的，若項數(shù)為奇數(shù)，還等于中間項的2倍。

即，a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=···=2*a

例：數(shù)列：1，3，5，7，9，11中a(1)+a(6)=12 ; a(2)+a(5)=12 ; a(3)+a(4)=12 ;?

即，在有窮等差數(shù)列中，與首末兩項距離相等的兩項和相等。并且等于首末兩項之和。

數(shù)列：1，3，5，7，9中a(1)+a(5)=10 ; a(2)+a(4)=10 ; a(3)=5=[a(1)+a(5)]/2=[a(2)+a(4)]/2=10/2=5 ;?

即，若項數(shù)為奇數(shù)，和等于中間項的2倍，另見，等差中項。

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