大家好，我是到老李。這期節(jié)目靈感來自于之前有關超越數(shù)節(jié)目的聽眾留言。

之前節(jié)目有一位署名為“豆角mm”的聽眾說：“那虛數(shù)也有超越數(shù)吧，然后復數(shù)大部分就是超越復數(shù)了”。 我一想還真有點道理，因為有些復數(shù)是代數(shù)方程的根，有些不是，所以自然地就把復數(shù)中分出一個“代數(shù)復數(shù)”和“超越復數(shù)”。但是那樣區(qū)分有沒有什么實用價值就有待各位自己發(fā)掘了。

此處有個小插曲：之前節(jié)目中，我一直認為代數(shù)數(shù)是實數(shù)中的一個子集，但是有聽眾指出，代數(shù)數(shù)里有復數(shù)。維基百科上代數(shù)數(shù)的定義是：

代數(shù)數(shù)是代數(shù)與數(shù)論中的重要概念，指任何整系數(shù)多項式的復根。

確實包含虛數(shù)。但是超越數(shù)的定義是：

在數(shù)論中，超越數(shù)（transcendental number）是指任何一個不是代數(shù)數(shù)的無理數(shù)。

這樣看，超越數(shù)又不包含虛數(shù)。如此一來，那么“超越復數(shù)”和“代數(shù)實數(shù)”的概念到底有嗎？不管怎樣，請大家注意以上兩者的定義。

有另一位署名 “ali2233”的聽眾留言說“請大老李聊一下“高斯整數(shù)”。我一聽，這個話題還與前面聽眾的留言有關。代數(shù)數(shù)有點像在實數(shù)里挖出的一個坑，這個坑比實數(shù)小，但比有理數(shù)大。而“高斯整數(shù)”就是數(shù)學家在復數(shù)集合中挖的一個坑，這個坑比復數(shù)小但是比整數(shù)大，它是按照”整數(shù)“的挖法挖出來的。這集我們就來聊聊”高斯整數(shù)”。

首先我們要考慮的一個問題是“為什么”要有“高斯整數(shù)”？各位要記住數(shù)學家引入一個新的概念，定義，必然是有原因的，所以我們要問下“為什么要有…”？高斯整數(shù)的引入還是可以從一個質(zhì)因數(shù)分解的問題開始考慮。

比如對整數(shù)5，當然是質(zhì)數(shù)。而當我們把數(shù)系擴展到復數(shù)范圍內(nèi)之后，有人發(fā)現(xiàn)(1?+?2i)(1???2i)等于5。這下有意思了？這個(1?+?2i)(1???2i)算不算對5的因式分解呢？

你可能會先問：考慮這樣的問題有意義嗎？但數(shù)學里很多東西一開始就是從貌似無意義的一些思考開始的。如果你一開始就覺得它無意義，那么你就錯過了很多發(fā)現(xiàn)的可能。 我們先不管，先繼續(xù)考慮這個因數(shù)分解。

我們需要解決的第一個問題就是：在什么樣的范圍內(nèi)分解？不確定范圍的話，分解過程可以是無止境的。所以我們就需要在復數(shù)范圍中找出類似于“整數(shù)”的東西。

那整數(shù)有什么特性呢？我們第一感能想到的就是整數(shù)加減另一個整數(shù)，還是整數(shù)。整數(shù)乘以整數(shù)，還是整數(shù)，但是整數(shù)除以整數(shù)，就可能不是整數(shù)了 。也許最后一個特性才是整數(shù)最重要的特性，因為正是因為整數(shù)除以整數(shù)不一定是整數(shù)了，整數(shù)不夠用了，我們才引入了分數(shù)。另外減法本質(zhì)上是加另一個數(shù)的相反數(shù)，所以可以本質(zhì)上還是一種加法。那么以上整數(shù)的性質(zhì)，我們就可以說整數(shù)對加法和乘法是“封閉”的，但是對乘法的逆運算，除法不封閉。“封閉”的意思，就是結果仍然在原始預算的集合內(nèi)。

那么就請聽眾思考下，復數(shù)范圍內(nèi)，怎么可以找出一個子集，使得其中的元素加法和乘法仍然是封閉的，但是除法不封閉。相信你都不用過多思考，你馬上能想到這樣一個復數(shù)的子集，就是a+bi類型的數(shù)，其中a和b都是整數(shù)。如果你能想到這種數(shù)，那么恭喜你，你也發(fā)現(xiàn)了“高斯整數(shù)”！

先別高興太早，我們稍微分形一下“高斯整數(shù)”的性質(zhì)：首先a+bi這種數(shù)，如果a和b都是整數(shù)，那么顯然兩個這種數(shù)相加相乘，其結果還是能寫成a+bi形式，其中a、b仍然是整數(shù)，所以它對加法和乘法具有封閉性。對除法，它就不一定封閉了。比如(1?+?i)/(2?+?i)結果就無法寫成高斯整數(shù)形式了，這一點請各位自行驗證。

所以結果太好了，我們發(fā)現(xiàn)高斯整數(shù)對加法，乘法封閉，對除法不封閉。那么它就有了成為一種“整數(shù)”的良好潛質(zhì)。而且它還符合原先整數(shù)運算的一些特性，比如交換律，結合律，分配率，等等，這都使它更像整數(shù)。

但在我們考慮如何在這種整數(shù)范圍內(nèi)做質(zhì)因數(shù)分解之前，我們還要做一些小小的規(guī)定。因為所有的高斯整數(shù)除以+-1，+-i，都能除盡，所以我們把+-1，+-i既不算做質(zhì)數(shù)，也不算做合數(shù)。這也是很自然的，類似于整數(shù)里，我們不把1當質(zhì)數(shù)的。

但要注意，這樣規(guī)定有個小小的缺點是，看似兩種不同的高斯整數(shù)分解結果，如果其中一個結果可以通過乘若干個+-1和+-i，轉換為另一個，那么我們就認為這兩種結果本質(zhì)上是同一種，這是大家要注意的。

高斯整數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解例子：

4?+?2i?=????i(1?+?i)2(2?+?i)?=?(1?+?i)2(1???2i)

以上兩種分解形式視為同一種。

那現(xiàn)在就可以考慮高斯整數(shù)中，是什么樣的數(shù)算質(zhì)數(shù)？它的定義當然很自然：如果一個高斯整數(shù)的因子只有自身或者+-1，+-i，則它就是高斯質(zhì)數(shù)。

那么如何判定一個高斯整數(shù)是否是高斯質(zhì)數(shù)？這是一個很有意思的問題。比如我們可以考察下，通常的質(zhì)數(shù)是不是高斯質(zhì)數(shù)？你會發(fā)現(xiàn)2可以分解成（1+i)(1-i)，但是3就感覺不能再分解了。而5又可以分解成（1+2i)(1-2i)，所以我們發(fā)現(xiàn)原先整數(shù)中的一些質(zhì)數(shù)是高斯質(zhì)數(shù)，有些不是。

還好數(shù)學家已經(jīng)幫我們找出了一個高斯質(zhì)數(shù)的判定定理，分兩種情況：

如果高斯整數(shù)中的a,或b有一個是0，即，這個數(shù)是實數(shù)或者純虛數(shù)時，當且僅當a或b是4n+3形的質(zhì)數(shù)（也就是除以4要余3的質(zhì)數(shù)）時，它是高斯質(zhì)數(shù)。比如7除以4余3，所以7或者7i都是高斯質(zhì)數(shù)。

但5除以4余1，所以5或5i就不是高斯質(zhì)數(shù)。5前面說了，可以分解成（1+2i）(1-2i)，而5i，能分解成(1?+?2i)(2?+?i) 。(有時也可以把5i的分解寫作：i(1?+?2i)(1???2i)。這里要注意一下，i雖然本身不是質(zhì)數(shù)或者合數(shù)，但有時也它出現(xiàn)在分解結果里。把i乘如某個其他因子就可以避免i出現(xiàn)，這個問題無傷大雅。)

如果a,b都不為0， 則當且僅當a2?+?b2是質(zhì)數(shù)時，a+bi是高斯質(zhì)數(shù)。以上這個判定定理的證明不算復雜，請各位自行查閱了。而且它很好用， 很方便做質(zhì)因數(shù)分解時判定是否分解到最小了。

好了，高斯質(zhì)數(shù)的定義和判定方法也有了。下一步可以考慮的第一個問題就是“唯一因子分解定理”是否還成立呢？我們知道在整數(shù)范圍內(nèi)，一個整數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解只有一種結果，這個結論叫“整數(shù)的唯一因子分解定理”，又叫“算術基本定理”，可見其重要性。

高斯證明了高斯整數(shù)也是具有唯一因子分解定理的，這是一個很好的性質(zhì)。稍后我們會看到在其他一些“整數(shù)”類型中，唯一因子分解定理不成立。

那無論如何，我們得到了一種新的整數(shù)，“高斯整數(shù)”，這是一個新大陸，很多整數(shù)中的命題和猜想幾乎都可以平移到這個塊新大陸上考察。

比如，高斯整數(shù)里有(非平凡的)勾股數(shù)組嗎？就是讓a^2?+?b^2?=?c^2，a,b,c都是高斯整數(shù)。 結果當然有，比如：

(???4?+?i)^2?+?(4?+?8i)^2?=?(4?+?7i)^2

請你考慮一下有沒有參數(shù)化生成公式。

接下來你馬上想到費馬大定理的對高斯整數(shù)會如何？ 費馬大定理說對x^n?+?y^n?=?z^n這樣的方程，當n>=3時，方程無整數(shù)解，但有沒有高斯整數(shù)范圍內(nèi)的解呢？目前猜想是無解，這個問題仍是開放問題，有人懸賞500美元，任何人能給出一個反例即得，想賺外快的朋友趕緊行動。

還有一個類似的問題叫Beal猜想是說對這種類型的方程a^x?+?b^y?= c^z這樣類型的方程，如果三個指數(shù)x,y,z都大于2，且這個方程有整數(shù)解，則a,b,c必有質(zhì)數(shù)公因子，也就是a,b,c不互質(zhì)。這個猜想在整數(shù)范圍內(nèi)非常難，因為美國數(shù)學會(AMS)目前對此猜想的懸賞達到了1百萬美元。

美國數(shù)學會關于Beal猜想的懸賞專頁：

有意思的是這個猜想在高斯整數(shù)范圍內(nèi)，找到了一個反例：(???2?+?i)^3?+?(???2???i)^3?=?(1?+?i)^4，但是目前僅找到這樣一個反例。有人懸賞50美元，給任何人找到一個新的反例。個人感覺這個懸賞比之前的費馬大定理的反例應該容易多了。

再聊一個“完美數(shù)”問題：一個整數(shù)是完美數(shù)，當且僅當其全部因子之和，包括1，但不包含自身。這個和是其本身。比如6的因子有1，2，3，而1+2+3=6，所以6是一個完美數(shù)。那高斯整數(shù)中有沒有完美數(shù)呢？目前還沒有人找到。有一個很接近的例子是3185?+?2912i。它的所有因子之和是3183?+?2912i。此問題懸賞金額為100美元。

完美數(shù)定義（轉自維基百科）：

完全數(shù)，又稱完美數(shù)或完備數(shù)，是一些特殊的自然數(shù)：它所有的真因子（即除了自身以外的約數(shù)）的和，恰好等于它本身，完全數(shù)不可能是楔形數(shù)、平方數(shù)、佩爾數(shù)或費波那契數(shù)。

例如：第一個完全數(shù)是6，它有約數(shù)1、2、3、6，除去它本身6外，其余3個數(shù)相加，1+2+3＝6，恰好等于本身。第二個完全數(shù)是28，它有約數(shù)1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5個數(shù)相加，1+2+4+7+14＝28，也恰好等于本身。后面的數(shù)是496、8128。

好了，以上只是簡單聊了三個有關在整數(shù)范圍內(nèi)的命題，推廣到高斯整數(shù)范圍的情況。其實有關整數(shù)的命題和猜想太多了，什么：哥德巴赫猜想，素數(shù)定理，親和數(shù)，婚約數(shù)，完美立方體數(shù)，梅森素數(shù)，華林問題等等。其中每一個擴展到高斯整數(shù)范圍內(nèi)又都是一個非常大的話題，這里就不一一列舉了。

到這里，對高斯整數(shù)大家應該有所了解了，但是復數(shù)范圍內(nèi)，定義新的“整數(shù)”只有高斯整數(shù)這一種方法嗎？顯然不是。比如代數(shù)整數(shù)就是另一種。代數(shù)整數(shù)與不久前介紹的代數(shù)數(shù)很相關。代數(shù)數(shù)的定義是：它是一個多項式方程的根。但是代數(shù)整數(shù)要求再更嚴格一點，要求這個多項式是整數(shù)系數(shù)多項式，且次數(shù)最高的項的的系數(shù)必須是1，稱為“首一多項式“，意思是“第一項系數(shù)為1”。

你能很容易的驗證代數(shù)整數(shù)對加法和乘法有封閉性，但是對除法不封閉，其實這兩條性質(zhì)就是一個數(shù)字可以被稱為”整數(shù)“的基本條件。一旦定義好了代數(shù)整數(shù)，我們又可以在代數(shù)整數(shù)中考慮什么是代數(shù)質(zhì)數(shù)、唯一因子分解定理、費馬大定理、完美數(shù)、哥德巴赫猜想等等的問題了。

那還有其他定義整數(shù)的方法嗎？還有，而且很簡單。比如對高斯整數(shù)中，如果我們把i看作√-1的話，那換做√-2也可以啊，即a+b√-2這種類型的數(shù)，也能構成一套整數(shù)啊。因為a+b√-2類型的數(shù)也滿足加法、乘法封閉，除法不封閉。a+b√-5，a+b√-7等等都可以。換成正數(shù)也可以，a+b√2類型的數(shù)也能構成一套整數(shù)，等等。

這樣你會發(fā)現(xiàn)，我們一下子有了無窮多套“整數(shù)”，這里面可以研究的問題一下子爆發(fā)了。就最基本的唯一因子分解情況，高斯發(fā)現(xiàn)，有些類型的整數(shù)里能保持，有些則不能保持唯一因子分解定理。高斯猜想，如果根號里是負數(shù)的話，只有1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163這9個數(shù)能保持唯一因子分解的性質(zhì)，這個猜想在1952年，被電氣工程師黑格納證明，所以這9個數(shù)被稱為“黑格納”數(shù)。想具體了解的，請聽我之前一期節(jié)目叫“有意思的163，有關黑格納數(shù)”的節(jié)目。

而高斯的這一大類猜想：被稱為“虛二次域上的高斯類數(shù)”問題，其中未解的命題還非常多，這里我無法展開了。

總結這期節(jié)目，我想說的是，數(shù)學家很會“來事”，“整數(shù)”這么基本的概念他們也能推而廣之。要點就是抓住要有兩個運算，其中一個運算和逆運算都保持封閉，另一個運算也封閉，但逆運算比封閉，那么你就有發(fā)明一種整數(shù)的良好基礎，然后整數(shù)的一堆性質(zhì)和猜想就可以套用上去開始考察。

而且可以告訴大家發(fā)明高斯整數(shù)，代數(shù)整數(shù)等等并不是為了好玩，它們還都是很用的。比如高斯就是在研究數(shù)論中非常重要的二次互反律過程中，發(fā)明高斯整數(shù)概念的。而后來，人們又把各種 整數(shù)的形狀進一步抽象，總結出了“環(huán)”和”域“這些代數(shù)結果，這些以后有機會再講。

最后給大家留一個思考題 ，我請大家考慮下從矩陣能否定義“矩陣整數(shù)”？因為矩陣也有加法和乘法，所以它就有成為整數(shù)的很好“潛質(zhì)”？雖然矩陣的乘法沒有交換律，但又有誰規(guī)定整數(shù)必須符合乘法交換律呢？所以我覺得這不是障礙。而一旦你定義好了“矩陣整數(shù)”，你就可以考察一下有沒有矩陣質(zhì)數(shù)，有沒有唯一因子分解定理，有沒有勾股數(shù)組等等問題，相信會非常有意思的。

當然，你也可以完全不用矩陣，用其他對象，只要有兩種運算就是好的開始。如果你有好的發(fā)現(xiàn)，我也很歡迎你發(fā)給我看看，分享你的成果。

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