牛頓262、畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的比例論，歐多克索斯的比例論

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2019-11-26 10:31，網(wǎng)友“鑰匙玩?！卑l(fā)表一篇名為《窮竭法的首創(chuàng)者——?dú)W多克索斯》的文章。

…窮、竭、窮竭，法，窮竭法：見《牛頓245》…

…歐多克索斯：見《牛頓251~259》…

文章內(nèi)容：…

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比例論

…比、例、比例：見《歐幾里得29》…

（…《歐幾里得》：小說名…）

…論：見《歐幾里得3》…

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在數(shù)學(xué)中，一個(gè)等比關(guān)系（proportion）指的是兩個(gè)比例的相等關(guān)系，記為

…數(shù)、學(xué)、數(shù)學(xué)：見《歐幾里得49》…

…關(guān)、系、關(guān)系：見《歐幾里得75》…

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比例論是研究比例與等比關(guān)系的理論。

…研、究、研究：見《歐幾里得42》…

…理、論、理論：見《歐幾里得5》…

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畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的比例論

…畢達(dá)哥拉斯：見《歐幾里得130》…

…畢達(dá)哥拉斯學(xué)派：見《歐幾里得142~147》…

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畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)了不可通約數(shù)（無理數(shù)）√2，這破壞了他們的比例論：

…通約：通分，約分，簡(jiǎn)稱“通約”…見《歐幾里得107》…

…無、理、無理數(shù)：見《歐幾里得27》…

如果兩個(gè)物體的比例是相同的，以數(shù)學(xué)式來表示，是一個(gè)等比關(guān)系a：b=c：d。其中，a、b、c、d是正整數(shù)。而且，存在一個(gè)正整數(shù)n使得a=nc與b=nd。

…物、體、物體：見《伽利略9》…

（…《伽利略》：小說名…）

…式：見《歐幾里得13》…

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無理數(shù)的存在，表示物體的比例可能無法以正整數(shù)來表示，這破壞了他們以正整數(shù)來描述自然規(guī)律的哲學(xué)。

…描、述、描述：見《伽利略34》…

…自、然、自然：見《歐幾里得128》…

…規(guī)、律、規(guī)律：見《歐幾里得43》…

…哲、學(xué)、哲學(xué)：見《歐幾里得110》…

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歐多克索斯的比例論

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為了挽救比例論，歐多克索斯提出了以幾何量為基礎(chǔ)的比例論，被歐幾里得收錄在《幾何原本》的第五冊(cè)中。

…幾、何、幾何：見《歐幾里得28》…

…量：見《歐幾里得27》…

…基、礎(chǔ)、基礎(chǔ)：見《歐幾里得37》…

…《幾何原本》：見《歐幾里得》…

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其中的第五條定義是其比例論的核心：

…定、義、定義：見《歐幾里得28》…

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a:b=c:d 當(dāng)且僅當(dāng)?shù)紫氯齻€(gè)等式關(guān)系成立：

其中m，n 為正整數(shù)（幾何量的整倍數(shù)）。

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這個(gè)定義回避了數(shù)系的規(guī)范，因此，即使 a、b、c、d 是無理數(shù)，等比關(guān)系也可以成立。

…數(shù)、系、數(shù)系：見《歐幾里得30》…

[根據(jù)現(xiàn)代的比例論，如果A，B，C，D四個(gè)量成比例：A/B=C/D，兩邊分別乘以分?jǐn)?shù) m/n，得到（mA)/(nB)=(mC)/(nD）。

由mA>nB，立即可以推出mC>nD；

由mA=nB，立即可以推出mC=nD；

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歐多克索斯比例論的關(guān)鍵，是將這一性質(zhì)作為比例的定義，即：

設(shè)有A，B，C，D四個(gè)量，（mA)/(nB)=(mC)/(nD）

則A∶B=C∶D。

——《牛頓252》]

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“為了求某圖形面積，而將其與第二個(gè)圖形（該圖形可以作“窮竭”式的變形，而使其面積任意接近所求面積）來作比較。

證明過程牽涉到先假定所求面積大于第二圖形的面積，并證明其偽；接下來假定所求面積小于第二圖形的面積，并將其也證偽。

請(qǐng)看下集《牛頓263、窮竭（jié）法應(yīng)用時(shí)一般按歸謬法處理》”

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