『數(shù)學(xué)』最值例題精講5兼幾何難題精講3——加權(quán)費馬點
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『幾何』系列傳送門:
第一期:幾何難題精講1(隱圓)
第二期:幾何難題精講2(瓜豆＆胡不歸)
第四期:幾何難題精講3(加權(quán)費馬點)(你所在的位置)
『最值』系列傳送門:
第一期:費馬點
第二期:阿氏圓1
第三期:阿氏圓2(隱圓)
第四期:二次函數(shù)周長最值
第五期:加權(quán)費馬點(你現(xiàn)在所在的位置)
? ? ? ? 感覺標(biāo)題用"兼"這個字比用符號"＆"看起來舒服多了呢(確信)
讀前須知:
? ? ? ? 本期內(nèi)容較多,請準(zhǔn)備好大腦及閱讀長篇廢話(大噓)的準(zhǔn)備.
正文:
? ? ? ? 憑我的一丁點經(jīng)驗來看,阿氏圓和加權(quán)費馬點雖然在數(shù)學(xué)考試中考的頻率不高,但是一旦考了它,可以說在兩個小時的考試中基本上是很難做完它的.
? ? ? ? 于是,這一期專欄就是為了解決這個問題而誕生.中考在即,而我在高考假專門抽出時間更新這樣一期專欄就是希望能幫各位中考生們最后一把,畢竟,中考是能多得一分是一分的性質(zhì)的考試,所以現(xiàn)在我也是能幫一點是一點,能多幫一個中考生是一個.
? ? ? ? 不多廢話了,讓咱們來看今天的例題吧.
一.例題
例1.(2023重慶一中階段練習(xí))在△ABC中,G是邊BC上一點,點E在BC所在直線上,過點E作EF平行于AC交AG所在直線于點F.
? ? ? ? (1)如圖1,若∠BAC=90°,GA=GB,,tanB=2,求△FGE的面積;
? ? ? ? (2)如圖2,若∠BAC=90°,AC>AB,E在線段BC上,G為BE中點,在△DCG中,∠GCD=90°,DC=GC,連接AD,已知∠ADC=∠AGB,求證:;
? ? ? ? (3)如圖3,在(1)問的條件下,將△FEG沿GE翻折得到△F'EG,延長F'G交FE于點K,在△F'KE內(nèi)部有一點P,使得最小,請直接寫出此時PE的長度.
? ? ? ? (注意:此處為第一個例題,第二個例題在學(xué)了通法之后用于實踐兼秒殺(bushi))
? ? ? ? ((2)問特有的答辯解析)
? ? ? ? 看完題干之后,我們馬上進入講解.
二.講解
? ? ? ? (1)問沒有什么好說的,面積為8.
? ? ? ? 在講解(2)問之前呢,我們可以先欣賞一下網(wǎng)上的答辯解析.
? ? ? ? 反正我是沒看懂它(悲.此處順便口嗨一下,你說那個參考答案的解析為什么就不能寫得簡單一些(就像我馬上講的那個做法一樣),寫個讓人如此(匪夷所思)的做法,搞得自己以為自己寫的答案很高大上,其實就是依托答辯罷了.
? ? ? ? 那么我們回歸正軌,繼續(xù)講題哈.
? ? ? ? 我們先對圖形進行分析,是不是因為∠ADC=∠AGB,就有A,C,D,G四點共圓呢?是的呀,為什么呢?因為若四邊形的一角的外角等于其內(nèi)對角,即四邊形對角加起來為180°,這個四邊形便內(nèi)接于一圓內(nèi),對吧?
? ? ? ? 又∠GCD=90°,DC=GC,那么△CDG就是等腰Rt△,就有∠CGD=∠CDG=45°.
? ? ? ? 又由圓周角定理,可得∠GAC=∠DAC=45°,亦可得∠BAG=90°-∠GAC=45°.
? ? ? ? 那么這時找不就簡單至極了嗎?過B作
于B交AG延長線于M,過C作
于C交AG延長線于N.如圖4.
? ? ? ? 就有.
? ? ? ? 并且呢,這樣作輔助線還有一個好處,就是圖中出現(xiàn)了兩組全等.
? ? ? ? 如圖5,圖中相同顏色的三角形是全等的.
? ? ? ? 此處簡單講解一下這些全等是怎么證明的.
? ? ? ? 易證BM平行于AC和EF,又BG=GE,便一定有.
? ? ? ? 而△DCG和△ACN都是等腰Rt△,所以根據(jù)"手拉手"模型,有.
? ? ? ? 于是FG=GM,AD=GNMN=GN-GM=AD-FG.
? ? ? ? 綜上,該結(jié)論成立.
? ? ? ? (3)問的題型就是加權(quán)費馬點,它看起來是要比普通費馬點和上次那個費馬點題目(詳情見此處)難多了.我們還是先看一下它的解析在來進行講解.
? ? ? ? 可以看出,加權(quán)費馬點的本質(zhì)還是旋轉(zhuǎn)放縮(普通費馬點不放縮或放縮比為1罷了).
? ? ? ? 那么我這邊給出一個比較簡單的做法.
? ? ? ? 如圖6,將△PKF'繞點F'逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△P'K'F'處,以點F'為位似中心,1:2為位似比將△P'K'F'縮小成△P''K''F',連接PP''.
? ? ? ? (這這這...你確定這個叫簡單做法?還不是要做這么多輔助線.)
? ? ? ? 可以得到,即原式轉(zhuǎn)換為EP+PP''+P''K''.
? ? ? ? ?根據(jù)"兩點之間直線段最短",有原式的最小值為EK''.
? ? ? ? 此時,我們找到了最小值,那么我們應(yīng)該怎么去求EP長呢?此時我們就要用(1)里面沒用的長度和角度條件了.
? ? ? ? 由tanB=2,我們便令∠ACB=α,可得tanα=?(懂得都懂),∠KEF'=2α,∠KF'E=α.
? ? ? ? 由"12345"模型可得.(不懂看這里)
? ? ? ? 又由,可得AB=2,AC=4,EF=EF'=8.
? ? ? ? 必然的,已知兩角和一邊解三角形,我們現(xiàn)階段必須要作垂線才可以解決它.
? ? ? ? 所以我們過點K作于D. 如圖8
? ? ? ? 我們設(shè)KD=4a,則DF'=8a,ED=3a,可得11a=8,即.
? ? ? ? 所以.
? ? ? ? 由勾股定理可得.
? ? ? ? 又tan∠P''minPminF=?,所以∠P''minPminF=α.
? ? ? ? 由外角可知∠K''P''minF'=∠K'P'minF'=90°+α.
? ? ? ? 由旋轉(zhuǎn)可知∠KPminF'=90°+α,可得∠KPminE=90°.
? ? ? ? 別忘了題干,我們要求的是EPmin的長度,而在幾何題里要求長度,現(xiàn)階段只能用相似或著解三角形才可以.
? ? ? ? 所以我們連接KK'',過E作于H.如圖9
? ? ? ? 易得∠F'KK''=α,可證得KH平行于DE.
? ? ? ? 可解得.
? ? ? ? 于是.
? ? ? ? 又由△PminKK''∽△HEK'',有.
? ? ? ? 解得.
? ? ? ? 在Rt△EKPmin中,由勾股定理可得:
? ? ? ? 終于把這個既難想又難算的題做完了\(^o^)/~,但這明顯不是這一期的末尾.
三.方法講解:加權(quán)費馬點
? ? ? ? 在真正講解它之前,我先講一下余弦定理和托勒密不等式,因為講解通法時要用.而且例2由于篇幅原因,就只呈現(xiàn)(3)問力(悲,多好的一個題啊).
? ? ? ? 首先是大家應(yīng)該不陌生的余弦定理,它描述的是任意三角形中的邊角關(guān)系.對于△ABC,若∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c,則有如下關(guān)系式成立:
a2=b2+c2-2bccosA?? b2=a2+c2-2accosB? ?c2=a2+b2-2abcosC
? ? ? ??特別地,在直角三角形中,該定理退化為勾股定理,即a2=b2+c2.
? ? ? ? 此處只證明當(dāng)三角形為銳角三角形時余弦定理是否成立.
? ? ? ? 如圖10,在銳角△ABC中,過A作于D.
? ? ? ? 于是c2=AD2+BD2=b2-DC2+(a2-DC2)=a2+b2-2a·DC=a2+b2-2abcosC,即c2=a2+b2-2abcosC成立.同理可證得其余的等式成立.
? ? ? ? 鈍角三角形我們不予證明,你只需要知道cos(180°-α)=-cosα即可.
? ? ? ? 然后就是余弦定理的推論了,該推論反映了三角形已知三邊求角的方式:
? ? ? ? 余弦定理及其推論也可證明為什么滿足SSS和SAS的兩個三角形全等的問題.
? ? ? ? 接下來就是大家不太熟悉的托勒密不等式了,此處只證明托勒密定理,而托勒密不等式大家可以自行去證明.
? ? ? ? ?托勒密定理指出,圓的內(nèi)接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積;而托勒密不等式說的是:凸四邊形的兩組對邊乘積和不小于其對角線的乘積,當(dāng)且僅當(dāng)共圓或共線時不等式可取等號(由于共線的情況基本上可以排除,所以下文運用該不等式說明取等條件時就只會說共圓).接下來我們就來證明托勒密定理.
? ? ? ? 如圖11，四邊形ABCD內(nèi)接于圓O內(nèi),現(xiàn)在我們要證明的是AC·BD=AB·CD+AD·BC.我們便在AC邊上取一點E,使∠ADE=∠BCD,連接DE.
? ? ? ? 這樣做的話就會有△ADF∽△BDC和△ABD∽△FCD,可得,即AD·BC=AF·BD,AB·CD=BD·FC.
? ? ? ? 兩式相加,可得AB·CD+AD·BC=BD·(AF+FC)=AC·BD.于是我們便證明了托勒密定理成立.
? ? ? ? 同學(xué)們可以用同樣的方式證明托勒密不等式.
? ? ? ? 接下來,我們就對加權(quán)費馬點進行講解了.
? ? ? ? 首先,我們先把旋轉(zhuǎn)放縮法給講了.
? ? ? ? 要想講明白加權(quán)費馬點,首先我們得需要知道加權(quán)費馬點的一般題干是什么.一般來說,它的題干是這樣子的:
? ? ? ? 已知△ABC,P為△ABC內(nèi)部一點(含邊界),求aPA+bPB+cPC(a,b,c均為正實數(shù))的最小值.
? ? ? ? 題目中還有其他的用于解題的條件,此處略去.
? ? ? ? 由于該題目中a,b,c的組合太多,所以該題要分四種情況進行講解.
? ? ? ??①當(dāng)a=b=c=1時,即三邊均不加權(quán)或三邊加權(quán)系數(shù)相同時:
? ? ? ? 此時該題目就是一般費馬點,你可以看往期我對它的講解(看這里),或著在這里聽我逼逼賴賴(bushi).
? ? ? ? 對于這種題,我們只需要將任意一個含點P的三角形繞原三角形的任意一個頂點向遠(yuǎn)離原三角形的方向旋轉(zhuǎn)60°,如圖12
? ? ? ? 這個時候我們還需要分類討論一下.
? ? ? ? (i)當(dāng)∠A,∠B,∠C均小于120°時:
?? ? ? ?這時怎么做就不用我教了吧(主要是篇幅原因和圖片數(shù)量原因的限制就不講了),不知道的話去看往期吧.
? ? ? ? 此時取到最小值的P有如下性質(zhì):滿足∠APB=∠BPC=∠APC=120°,這也是為什么會出現(xiàn)下一個情況的原因.
? ? ? ? (ii)當(dāng)∠A,∠B,∠C中有一個角大于等于120°時:
? ? ? ? 此時點P在原三角形外了(悲),那么這個時候的最小值就在鈍角頂點處取最小值,其為該鈍角的鄰邊長度之和.
? ? ? ? 記得當(dāng)三邊加權(quán)系數(shù)相同時要先提取系數(shù)出來,最后寫最小值時要乘提取的系數(shù)哦!
? ? ? ? ②當(dāng)a,b,c中有一個數(shù)不為1,即一邊加權(quán)時:
? ? ? ? 不妨設(shè)b為非1系數(shù),旋轉(zhuǎn)角度為α(0°<α≤180°),則旋轉(zhuǎn)中心應(yīng)為所加權(quán)的系數(shù)對應(yīng)的加權(quán)線段而所對應(yīng)的原三角形的頂點,此處b所對應(yīng)的加權(quán)線段為PB,則旋轉(zhuǎn)中心為點B.
? ? ? ? 如圖13即為剛剛講解的情況.
? ? ? ? 仔細(xì)看這個圖,你知道b和α之間滿足的關(guān)系了嗎?
? ? ? ? 沒錯!要想讓PP'=bPB,只需要sin?α=?b即可.
? ? ? ? 但是由于sin?α的值域為[-1,1],取正數(shù)的話就是(0,1],那么此時我們又要分情況討論了.
? ? ? ? (i)當(dāng)sin?α>1,即b>2時:
? ? ? ? 此時看似無解(畢竟此時的角度不是實數(shù)角度了對吧),也就是無法旋轉(zhuǎn)了是吧?那么就分析一下,是不是PB對這一坨式子的值的變化影響最大(畢竟它加權(quán)了嘛),那么我們讓加權(quán)邊為0時是不是就回讓它們的和最小了呢?
? ? ? ? ?那么這種情況的最小值就是旋轉(zhuǎn)中心的鄰邊之和.
? ? ? ? (ii)當(dāng)sin?α=1,即b=2時:
? ? ? ? 可得α=180°,這時和倍長中線沒什么區(qū)別.
? ? ? ? 此處用變化率來描述的話(也就是(i)的方式)也可以,但我覺得還是看了(iii)(iv)之后再說.
? ? ? ? (iii)當(dāng)∠B<180°-α?xí)r:
? ? ? ? 為什么這個情況下會給∠B這樣一個限制條件呢?我們馬上講.
? ? ? ? 在此情況下,當(dāng)C,P,P',A'四點共線,即上述式子取到最小值時,有∠APB=∠BPC=90°+?α,即可得∠APC=180°-α.
? ? ? ? 可以看出,在此條件下點P是不可能跑出△ABC的,那么此時的最值就在△ABC內(nèi)部取到,而不是某一個頂點上.
? ? ? ? (vi)當(dāng)∠B≥180°-α?xí)r:
? ? ? ? 此時構(gòu)成最小值的P跑到△ABC外部去了,所以此時的最值在點B處取到,其值為該角的鄰邊之和.
? ? ? ? 那么對于(ii)的情況說,因為∠B恒大于0°,所以說(ii)的情況只能在點B處取到最值.
? ? ? ? ③當(dāng)a,b,c中有兩個數(shù)不為1,即兩邊加權(quán)時:
? ? ? ? 這種情況應(yīng)該就是最難的一種情況了.
? ? ? ? 不妨設(shè)a,c為非1系數(shù)且a<b<c(若a=c則可以通過提取系數(shù)的方法變?yōu)棰诘那闆r了),旋轉(zhuǎn)角度為α(0°<α≤180°).
? ? ? ? 此時滿足(the law of cosine的推論:像啊,很像啊(喜)),即旋轉(zhuǎn)角的余弦值等于三邊系數(shù)中兩個較小的系數(shù)的平方之和減去較大系數(shù)的平方的差除以二倍兩個較小系數(shù)的乘積之商的值(看著還挺復(fù)雜的,但其實你知道余弦定理的推論就比較簡單了).
? ? ? ? 那么為什么cosα?xí)M足這個式子呢?我們馬上就簡單證明一下.
? ? ? ? 假定它能在原三角形內(nèi)部取到最小值,那么我們就以最大加權(quán)邊所對應(yīng)的原三角形的頂點為旋轉(zhuǎn)中心,在該情況下即為點C,像遠(yuǎn)離原三角形的方向旋轉(zhuǎn).然后將旋轉(zhuǎn)過后的三角形以第二大加權(quán)系數(shù)為位似比,剛剛的旋轉(zhuǎn)中心為位似中心進行位似變化,此處為a為位似比,P為位似中心(注意哦,第二大加權(quán)系數(shù)不是b是a哦,因為b=1,對于PB而言不是加權(quán)).
? ? ? ? 那么PP''2=PC2+P''C2-2PC·P''Ccosα=
? ? ? ? 由b=1可得PP''2=PC2(12+a2-a2-12+c2)=c2PC2,即PP''=cPC.
? ? ? ? 而且我們還可以證明到:當(dāng)原式取到最小值時,由∠A''P''C+∠BPC=∠APB+∠BPC=180°+α,可繼續(xù)推得∠APC=180°-α.
? ? ? ? 這時,由于cosine funtion的值域和三角形的形狀問題,我們又會分種情況討論:
? ? ? ? (i)當(dāng)cosα≥1或cosα<-1時:
? ? ? ? 這時看似又無解了是吧?因為此時的角度是復(fù)數(shù)角,你不會旋轉(zhuǎn)啊!那么這個時候我們怎么辦呢?如果還是考慮變化率的話,應(yīng)該是可以的,那么此時的最小值就是在旋轉(zhuǎn)中心處取到最小值,為aAC+BC.
? ? ? ? (ii)當(dāng)cosα=-1時:
? ? ? ? 這個情況與②(ii)的過程和結(jié)果相同,我們就不過多講解了.
? ? ? ? (iii)當(dāng)∠C<180°-α
? ? ? ??可以看出,在此條件下點P也是不可能跑出△ABC的,那么此時的最值就在△ABC內(nèi)部取到,而不是某一個頂點上.
? ? ? ? (iv)當(dāng)∠C≥180°-α
? ? ? ? 同樣的,此時構(gòu)成最小值的P跑到△ABC外部去了,所以此時的最值在點C處取到,其值為aAC+BC的值.
? ? ? ? ④當(dāng)a,b,c均不為1,即三邊加權(quán)時:
? ? ? ? 此時不妨設(shè)a>b>c.
? ? ? ? 這個情況就簡單多了,我們只需要提取中間大的系數(shù)b,那么此時的式子就轉(zhuǎn)換為形如的式子,也就是③的類型了,那么之后就是該怎么解就怎么解.
? ? ? ? 當(dāng)然,你想提取其他系數(shù)也可以,只不過就是做起來復(fù)不復(fù)雜的問題了,提取中間大的系數(shù)相對簡單一些.還有,求到最小值的時候要檢查自己乘了系數(shù)沒有!
? ? ? ? ?接下來,就是非常好用的托勒密不等式法了(壞笑).
? ? ? ? 如圖15,我們以三角形任意一邊向外構(gòu)造一個三角形,使A、B、P、Q這四點可以構(gòu)成四邊形.還要滿足AP的對邊QB=ax(x為任意正實數(shù)),BP的對邊AQ=bx,還有AC=cx.為什么要這樣構(gòu)造三角形呢?因為根據(jù)托勒密不等式,有AP·BQ+BP·AQ≥PQ·cx(當(dāng)且僅當(dāng)A,B,P,Q四點共圓時等號成立),即AP·ax+BP·bx≥PQ·cx,aAP+bBP≥cPQ(當(dāng)且僅當(dāng)A,B,P,Q四點共圓時等號成立).
? ? ? ? 此時不等式兩邊同加cPC,有aAP+bBP+cPC≥c(PQ+PC)(當(dāng)且僅當(dāng)A,B,P,Q四點共圓時等號成立),而PQ+PC≥CQ(當(dāng)且僅當(dāng)C,P,Q三點共線時等號成立),也就是aAP+bBP+cPC≥cCQ(當(dāng)且僅當(dāng)A,B,P,Q四點共圓且C,P,Q三點共線時等號成立).同時也證明了,對于一個確定的三角形ABC和加權(quán)系數(shù)a,b,c,我們可以找到唯一確定的點P,使得aPA+bPB+cPC的值最小.
? ? ? ? 但是,由于a,b,c可能構(gòu)不成三角形,所以我們又要分兩種情況討論:
? ? ? ? (i)當(dāng)a,b,c構(gòu)不成三角形時:
? ? ? ? 此時就無法使用托勒密不等式了(悲),但是你想一下,我們之前那些看似無解的情況,是不是和這個情況類似嗎?比如當(dāng)sin?α>1,即b>2時,是不是有a+c<b,即這三個系數(shù)構(gòu)不成三角形,對吧?還有使余弦值不滿足它的值域的三個加權(quán)系數(shù),用余弦定理推斷出不合理結(jié)果就是因為這三個系數(shù)構(gòu)不成三角形,為什么這樣說呢?因為余弦定理只在三角形內(nèi)滿足.
? ? ? ? 那么我們就可以知道,當(dāng)a,b,c構(gòu)不成三角形時,根據(jù)變化率的影響,我們可以得知,當(dāng)點P與最大加權(quán)系數(shù)重合時,就取得最小值了.
? ? ? ??(ii)當(dāng)a,b,c構(gòu)成三角形時:
? ? ? ? 此時就接著剛剛的分析過程,該怎么做就怎么做,我就不做過多講解了.
四.實戰(zhàn)
? ? ? ? 讓我們再用一個例題來鞏固一下剛剛講過的題目.
例2.如圖,△ABC為等邊三角形,點D為AC邊上一動點,連接BD,將線段BD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)角α得線段BE.
? ? ? ? (3)如圖16,若α=120°,將△BDE沿BD翻折得△BDE',M為AB中點,連接ME',當(dāng)ME'最小時,在△BCD內(nèi)找一點P,使的值最小,若BC=4,直接寫出其最小值.
? ? ? ? 根據(jù)瓜豆易得E,E'在一條定線段上運動,但具體是哪條線段呢?
? ? ? ? 如圖17,我們作這三條垂線段,易證得全等,那么它的軌跡不就出來了嗎?
? ? ? ? 根據(jù)"垂線段最短",可以得到ME'的最小值.此時G'E'=1=DF.
? ? ? ? 此時,我們隱藏去不需要的線段,原題目就轉(zhuǎn)換為:
? ? ? ? 已知△DBC,∠C=60°,BC=4,DC=3,求原式的最小值.
? ? ? ? 此處我們兩種方法都用一下.
? ? ? ??①旋轉(zhuǎn)放縮法
? ? ? ? 我們將△BPC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△B'P'C處,以點C為位似中心,為位似比縮小△B'P'C至△B''P''C,連接PP''.如圖18
? ? ? ? 于是,則原式轉(zhuǎn)換為求2(DP+PP''+P''B'')的最小值,這個就很簡單了.
? ? ? ? 當(dāng)D,P,P'',B''四點共線時,2(DP+PP''+P''B'')min=2DB'',此處過D作于H.
? ? ? ? 易得.
? ? ? ? 那么原式的最小值就是.
? ? ? ? ②托勒密不等式法
? ? ? ? 我們便以BC為一邊向△DBC外部構(gòu)造△BCQ,滿足,連接PQ.如圖19
? ? ? ? 由托勒密不等式可得.
? ? ? ? 兩邊同加2PD,可有(當(dāng)且僅當(dāng)B,C,P,Q四點共圓且D,P,Q三點共線時等號同時成立).
? ? ? ? 那么原式的最小值就是2DQ了,求長度的過程是一樣的,此處略去.
? ? ? ? 那么這個題就講到這里了哦.
? ? ? ? 當(dāng)然了,可能現(xiàn)在有些同學(xué)還是有一些懵,或著有些同學(xué)已經(jīng)想要開始練練題了.對于前一部分同學(xué),up主在這里先說一下,現(xiàn)在up正在趕加權(quán)費馬點的文檔資料了,所以呢這一部分同學(xué)只能先就這這一篇專欄看著.而后一部分的同學(xué)呢,我這邊還有一套"幾何壓軸20題"的資料,如果有想要資料的同學(xué)可以加入up的粉絲群:105292396,或著私信up主獲取哦!(＾Ｕ＾)ノ
? ? ? ? 此處爆出幾何壓軸20題的截圖來證明我有這一套資料:
? ? ? ? 這是第14題,一共有20道題.
后記:
? ? ? ? 這一期的工作量巨大啊,估計也是中考前的最后一次更新啦,下一次更新說不定就開始更新高中的內(nèi)容了呢(⊙o⊙).
? ? ? ? 但不管更新什么,這個東西總不能忘了吧(手動滑稽):
? ? ? ? 看在up主為這一期準(zhǔn)備這么長時間,花了這么多心血的份上,投兩個幣不過分吧.
? ? ? ? 工程鏈接:
? ? 例1(1,2)問: https://www.desmos.com/geometry/b77xy6hx03?lang=zh-CN ;
? ? 例1(3)問:?https://www.desmos.com/geometry/1wlusdlomn?lang=zh-CN ;
? ? 例2(3)問①:?https://www.desmos.com/geometry/mjgotkvp81?lang=zh-CN ;
? ? 例2(3)問②:?https://www.desmos.com/geometry/zxgjb4sogw?lang=zh-CN .
? ? 加權(quán)費馬點的資料和幾何壓軸20題請加入up主的QQ粉絲群:105292396或著私信up主獲取.
? ? ? ? 最后祝各位中考生:寒窗不付苦心人,金榜祝你有高中!
