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原文出處：拓端數(shù)據(jù)部落公眾號

過程會隨著時間的推移而發(fā)展，結(jié)果會發(fā)生變化。

考慮一下經(jīng)濟(jì)衰退和擴(kuò)張。在衰退開始時，產(chǎn)出和就業(yè)率下降并保持較低水平，然后，產(chǎn)出和就業(yè)率增加。從統(tǒng)計上講，均值，方差和其他參數(shù)在各個狀態(tài)之間都在變化。我們的問題是估計方案何時更改以及與每個方案關(guān)聯(lián)的參數(shù)值。詢問狀態(tài)何時改變等同于詢問狀態(tài)持續(xù)多久。

在馬爾可夫模型中，除了估算每個方案的均值，方差之外，我們還估算區(qū)制變化的可能性。某些問題的估計轉(zhuǎn)移概率可能如下：

1. 


2. 


3. from/to

4. state 1 2

5. 


6. 1 0.82 0.18

7. 2 0.75 0.25

8. 


9. 


從狀態(tài)1開始。從狀態(tài)1轉(zhuǎn)換為狀態(tài)1的概率為0.82。換句話說，一旦處于狀態(tài)1，該過程便會停留在那里。但是，以0.18的概率，過程轉(zhuǎn)換到狀態(tài)2。狀態(tài)2的持久性不那么強(qiáng)。在下一個時間段，過程從狀態(tài)2轉(zhuǎn)換為狀態(tài)1的概率為0.75。

馬爾可夫轉(zhuǎn)換模型不限于兩種狀態(tài)，盡管兩種狀態(tài)模型是常見的。

在上面的示例中，我們將轉(zhuǎn)換描述為突然的變化：概率立即改變。這種馬爾可夫模型稱為動態(tài)模型。馬爾可夫模型還可以通過將轉(zhuǎn)移概率建模為自回歸過程來擬合更平滑的變化。

因此，轉(zhuǎn)換可以是平穩(wěn)的或突然的。

基金利率案例

讓我們看一下不同狀態(tài)之間的均值變化。我們分析基金利率，研究1954年至2010年底之間基金利率的變化。以下是數(shù)據(jù)：

我們有季度數(shù)據(jù)。高利率似乎是七十年代和八十年代的特征。我們將假定還有另一種低利率的狀態(tài)，這好像是其他幾十年的特征。

為了使動態(tài)模型具有兩種狀態(tài)

1. mswit

2. Performing gradient-based optimization:

3. 


馬爾可夫轉(zhuǎn)換動態(tài)回歸樣本：1954q3-2010q4觀測值數(shù)量= 226 狀態(tài)數(shù)= 2? AIC = 4,5455 無條件概率：HQIC = 4,5760? SBIC = 4,6211 對數(shù)似然= -508.63592

1. 


2. 


3. fedfunds Coef. Std. Err. z P>|z| [95% Conf. Interval]

4. 


5. State1

6. _cons 3.70877 .1767083 20.99 0.000 3.362428 4.055112

7. 


8. State2

9. _cons 9.556793 .2999889 31.86 0.000 8.968826 10.14476

10. 


11. sigma 2.107562 .1008692 1.918851 2.314831

12. 


13. p11 .9820939 .0104002 .9450805 .9943119

14. 


15. p21 .0503587 .0268434 .0173432 .1374344

16. 


在上面的輸出中

• 兩種狀態(tài)的平均值（_cons）;

• 整個過程的單個標(biāo)準(zhǔn)差（sigma）;?

• 狀態(tài)1到1和狀態(tài)2到1的轉(zhuǎn)移概率（p11?和?p21）。

State1是中利率狀態(tài)（平均值為3.71％）。State2是高利率狀態(tài)（平均9.56％）。

1. 


2. 


3. from/to

4. state 1 2

5. 


6. 1 0.98 1 - 0.98

7. 2 0.05 1 - 0.05

8. 


9. 


兩種狀態(tài)都是持久性（1-> 1和2-> 2概率分別為0.98和0.95）。

估計后可以預(yù)測的包括處于各種狀態(tài)的概率。我們只有兩個狀態(tài)，因此處于（例如）狀態(tài)2的概率告訴我們兩個狀態(tài)的概率。我們可以獲得預(yù)測的概率并將其與原始數(shù)據(jù)一起繪制成圖形：

該模型在每個時間點(diǎn)的狀態(tài)幾乎沒有不確定性。我們看到三個時期的高利率狀態(tài)和四個時期的中利率狀態(tài)。

疾病案例

讓我們看一個疾病的例子，即1929年至1972年之間腮腺炎。您可能會認(rèn)為疾病對應(yīng)于均值變化，但是我們在數(shù)據(jù)中看到的是方差更大的變化：

我們繪制了變量S12.mumpspc的圖表?，這意味著在12個月內(nèi)人均季節(jié)性差異性腮腺炎病例，我們將分析?S12.mumpspc。

我們將假設(shè)兩個狀態(tài)，其中S12.mumpspc的均值和方差會?發(fā)生?變化。擬合動態(tài)模型

mswit Performing EM optimizaton:

1. 


2. 


3. Iteration 0: log likelihood = 110.9372 (not concave)

4. Iteration 1: log likelihood = 120.68028

5. Iteration 2: log likelihood = 123.23244

6. Iteration 3: log likelihood = 131.47084

7. Iteration 3: log likelihood = 131.72182

8. Iteration 3: log likelihood = 131.7225

9. Iteration 3: log likelihood = 131.7225

馬爾可夫轉(zhuǎn)換動態(tài)回歸樣本：1929m2-1972m6 obs數(shù)量= 521狀態(tài)數(shù)= 2 AIC = -0.4826 無條件概率：HQIC = -0.4634 SBIC = -0.4336 對數(shù)似然= 131.7225

1. 


2. 


3. mumspc Coef. Std. Err. z P>|z| [95% Conf. Interval]

4. 


5. State1

6. mumpspc

7. LS12. .4202751 .0167461 25.10 0.000 .3874533 .4530968

8. 


9. State2

10. mumpspc

11. LS12. .9847369 .0258383 38.11 0.000 .9340947 1.035379

12. 


13. sigma1 .0562405 .0050954 .0470901 .067169

14. 


15. sigma2 .2611362 .0111191 .2402278 .2838644

16. 


17. p11 .762733 .0362619 .6846007 .8264175

18. 


19. p12 .1473767 .0257599 .1036675 .205294

20. 


報告

• S12.mumpspc的兩個狀態(tài)的?平均值?（0.42和0.98）；

• 兩種狀態(tài)的標(biāo)準(zhǔn)偏差（0.06和0.26）；

• 狀態(tài)1到狀態(tài)1和狀態(tài)2到狀態(tài)1的轉(zhuǎn)移概率（0.76和0.15）。

狀態(tài)1是低方差狀態(tài)。

轉(zhuǎn)移概率如下：

1. from/to

2. state 1 2

3. 


4. 1 0.76 1 - 0.76

5. 2 0.15 1 - 0.15

與以前的模型一樣，狀態(tài)是持久的。

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