我們先來(lái)看一道題目：

這題看似簡(jiǎn)單，卻出現(xiàn)了3種答案！

解法一：

取定邊為AB。要滿足AC,BC長(zhǎng)均<1，則點(diǎn)C需要在以A為圓心1為半徑的圓內(nèi)，且在B為圓心1為半徑的圓內(nèi)，由此可行域即圖中的紅色部分

要滿足C為銳角，則還需滿足C在以AB為直徑的圓外，即深色部分

因此三角形為銳角三角形的概率就是深色部分面積/紅色部分總面積

先求紅色部分總面積：

如圖，連接交點(diǎn)與兩圓的圓心，構(gòu)成等邊三角形

于是

其中

于是

深紅色部分面積=紅色部分面積-淺紅色部分面積(以AB為直徑的圓的面積)

則概率

解法二：

設(shè)C所對(duì)邊為1(最大的邊)。取角A,B研究，要構(gòu)成三角形，則需：

根據(jù)"大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角"，還需滿足：

因此A,B滿足約束：

以A為橫軸，B為縱軸畫(huà)出的可行域如下：

其由直線圍成

要讓三角形為銳角三角形，還需讓最大角C為銳角，即

(即下圖深色部分)

因此三角形為銳角三角形的概率就是深色部分面積/紅色部分總面積

先求紅色部分面積：

四邊形頂點(diǎn)為

于是

再求深紅色面積：

深紅色面積=紅色面積-淺紅色面積

于是

則概率

解法三：

設(shè)最大邊為c=1，取邊a,b研究，要構(gòu)成三角形，則需滿足任意兩邊之和>第三邊，即:

依題意還需滿足

因此a,b滿足約束：

以a為橫軸，b為縱軸畫(huà)出的可行域如下：

其由直線圍成

要讓三角形為銳角三角形，還需讓最大角C為銳角，即

圍成(即下圖深色部分)

因此三角形為銳角三角形的概率就是深色部分面積/紅色部分總面積

先求紅色部分面積：

再求深紅色面積：

深紅色面積=正方形面積-1/4圓面積

于是

則概率

為什么會(huì)出現(xiàn)3種不同的答案？究竟哪種才是對(duì)的呢？難度概率學(xué)都是騙人的？數(shù)學(xué)大廈即將倒塌啦！(民科大樂(lè))

其實(shí)思考這個(gè)問(wèn)題是頗具價(jià)值的，因?yàn)檫@背后代表著概率論完善的一次重要轉(zhuǎn)折。

高中時(shí)學(xué)過(guò)古典概型，如拋硬幣，拋骰子。問(wèn)“拋出正面的概率”“拋出6的概率”，相信幼兒園的小孩都能答對(duì)。那么這概率是怎么確定的呢？源于古典概率學(xué)派的核心思想：不充分理由原則。

原則概述：如果因?yàn)闊o(wú)知，使得我們沒(méi)有辦法判斷哪一個(gè)結(jié)果會(huì)比另外一個(gè)結(jié)果更容易出現(xiàn)，那么應(yīng)該給予它們相同的概率。比如：

硬幣：由于不清楚硬幣哪一面更容易出現(xiàn)，那么應(yīng)該給予正面、反面相同的概率，即為；

骰子：我們不清楚骰子哪一面更容易出現(xiàn)，那么應(yīng)該給予每一面相同的概率，即為

以不充分理由原則為基礎(chǔ)，定義了古典概型(未知的概率皆為等概率)

由等概率為基的古典概型(離散型隨機(jī)變量)進(jìn)一步拓展到了幾何概型(連續(xù)型隨機(jī)變量)

整個(gè)19世紀(jì)的人們都廣泛接受這個(gè)定義，并發(fā)展出了一系列的定義和定理。直到貝特朗悖論的出現(xiàn)。

ps:貝特朗悖論的典型例子是：在單位圓內(nèi)任意作一條弦，求弦長(zhǎng)的概率，放到后文再講

我們先以上面的題目分析

不妨以解法二為例分析其他的兩種情況

在解法二中，根據(jù)"等概率假設(shè)"，變量在該可行域內(nèi)隨機(jī)分布，那么事件和事件發(fā)生的概率是相等的，也就是下圖綠色框框中的這兩塊面積相等

而事件和事件放到解法一的可行域中，則是下面的兩塊面積：

在這個(gè)可行域中，①②的面積是不相等的，即事件和事件發(fā)生的概率不相等

因此"變量(A,B)在解法二中的可行域隨機(jī)分布"與"變量(x,y)在解法一中的可行域隨機(jī)分布"是不等效的！

在解法三中，事件和事件發(fā)生的概率也不相等：

ps:desmos有點(diǎn)bug，方程一多就渲染不清

如圖的綠色部分面積與藍(lán)色部分面積不相等

因此"變量(A,B)在解法二中的可行域隨機(jī)分布"與"變量(a,b)在解法三中的可行域隨機(jī)分布"也是不等效的！

因此這3種假設(shè)兩兩不等效！

這也正是古典概率學(xué)派的不充分理由原則(等可能假設(shè))導(dǎo)致的，對(duì)點(diǎn)變量(x,y)，還是對(duì)角變量(A,B)，抑或?qū)?span id="s0sssss00s" class="color-blue-02">邊變量(a,b)運(yùn)用不充分理由原則，同一個(gè)問(wèn)題會(huì)得到不同的概率

這就愈發(fā)引起深思：需要對(duì)隨機(jī)變量的衡量方式進(jìn)行更明確的限制！

因此，如果要是解法一的答案，就需多加限制：點(diǎn)C在對(duì)應(yīng)的可行域內(nèi)隨機(jī)分布；其余兩種解法也要限制變量在對(duì)應(yīng)可行域內(nèi)隨機(jī)分布。

因此貝特朗悖論反應(yīng)的并不是概率學(xué)知識(shí)不自洽，而是題目對(duì)條件缺乏嚴(yán)格明確的限制而導(dǎo)致模棱兩可。

對(duì)于這點(diǎn)典例：在單位圓內(nèi)任意作一條弦，求弦長(zhǎng)的概率？

那這就沒(méi)法操作，這條弦究竟是怎么個(gè)任意法？是任意旋轉(zhuǎn)么？是任意平移么？都沒(méi)有說(shuō)明，因此我們就無(wú)法確定隨機(jī)變量的衡量方式，這個(gè)問(wèn)題自然就無(wú)法解決。因?yàn)?span id="s0sssss00s" class="color-pink-03">題目本身就存在問(wèn)題(條件不夠)

想要解決我們就必須對(duì)條件加以更明確的限制！于是乎，不同的限制方式就產(chǎn)生不同的結(jié)果

(1)

若將這條弦沿著一條直徑上下平移，那么這條弦在線段AB上移動(dòng)時(shí)就滿足條件，就該以這條線段的長(zhǎng)度為衡量標(biāo)準(zhǔn)，概率就是；

(2)

若固定這條弦的其中一端，繞著這個(gè)定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，可知當(dāng)這條弦在范圍內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)就滿足條件，這時(shí)就該以轉(zhuǎn)動(dòng)角度為衡量標(biāo)準(zhǔn)，概率就是；

(3)

若以弦的中點(diǎn)為參考，當(dāng)弦心距時(shí)就滿足條件，于是當(dāng)弦中點(diǎn)在綠圓(半徑為)內(nèi)部運(yùn)動(dòng)的時(shí)候就滿足條件，這時(shí)就該以中點(diǎn)所在區(qū)域的面積為衡量標(biāo)準(zhǔn)，概率就是。

ps:這個(gè)典題應(yīng)該放最前面講的，有這基礎(chǔ)才能更好地引出前文的那道題目，沒(méi)布局好懶得修改謀篇了()

同一問(wèn)題有3種不同答案，這便是著名的貝特朗悖論。

在這以前人們都相信只要找到了適當(dāng)?shù)牡雀怕?，就可以得到?wèn)題的唯一解。直到該悖論的出現(xiàn)，人們才開(kāi)始反思古典概率的不合理之處：“等概率”的描述實(shí)在是太模糊了，存在歧義。

這所謂的悖論其實(shí)并不悖，產(chǎn)生的原因正是題目沒(méi)有指定隨機(jī)對(duì)象的運(yùn)動(dòng)方式，這是一道缺少條件的模棱兩可的錯(cuò)題。

打個(gè)比方，我們要統(tǒng)計(jì)某學(xué)校中數(shù)學(xué)成績(jī)大于90分的學(xué)生所占比例，這是古典概型。但這沒(méi)法操作，因?yàn)檫@里的隨機(jī)變量是不明確的，是期中考試成績(jī)？期末考試成績(jī)？還是平均成績(jī)？都沒(méi)有講清楚。如果非去統(tǒng)計(jì)，那么不同的人就會(huì)有不同的選擇(選擇不同的衡量標(biāo)準(zhǔn))，那么得出的結(jié)果自然也就不同。