（五）
1.1.5節(jié)內(nèi)容關(guān)于平面圖。
概念：1. 圖G是平面圖，如果R(G)同胚(homeomorphic)于R2的子集。 其中R(G) = ∪{(pi,pj):xi,xj∈E}∪∪{pi}，pi是R3中的點(diǎn)，并且至多三點(diǎn)共面。R(G)是拓?fù)淇臻g。2. 將G再分割(subdivision)形成G的拓?fù)鋱D，所謂再分割，就是用路將線替代，記為TG。例如，TK3是一個(gè)隨機(jī)圈。3. 通過收縮得到的圖稱為G的收縮圖，所謂收縮就是刪去一條邊(x,y)，將x，y等而視之。
注：這個(gè)拓?fù)涞牟糠治乙活^霧水。。
歐拉公式：n-m+f = 2（使用歸納法證明）：其中，n為頂點(diǎn)數(shù)，m為邊數(shù)，f為面數(shù)。
記fi為由i邊包圍成的面，有：（1）∑fi = f，（2）∑ifi = 2m。由此可以證明：可平面圖至多有max{g(n-2)/g-2, n-1}邊，其中g(shù)是最長的周長。
如果G非平面圖，其拓?fù)鋱D也非平面圖。TH17指出，圖是不可平面的當(dāng)且僅當(dāng)它包含K3,3或K5的一個(gè)再分割（Kuratowski,1930）TH18指出，圖是可平面的當(dāng)且僅當(dāng)它的收縮圖沒有K3,3或K5。
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