? 大多數(shù)實(shí)變教材上是在直線上直接定義勒貝格外測(cè)度，可以看作一般性方法的特殊情況，之所以要講這種一般性的建立方法就是為了后續(xù)學(xué)習(xí)概率論中方便進(jìn)一步的理解各種測(cè)度之建立過程。過程是這樣的，首先在環(huán)上有一個(gè)測(cè)度，然后將測(cè)度定義延拓到一個(gè)包含的σ環(huán)上，它表示一切可以被中元素覆蓋的集合，很顯然它是一個(gè)σ環(huán)。定義方式就是取了所有覆蓋的測(cè)度之和的下確界。然而這樣定義的外測(cè)度并不一定是，原因就是太大了。所以考慮給加上限制條件，關(guān)鍵就是如何尋找這個(gè)條件呢。

? 核心問題是如何尋找一個(gè),使得是σ環(huán)，而且在是測(cè)度。這個(gè)條件在教科書上就叫做Caratheodory條件：任意的的元素都可以分割測(cè)量元素的外測(cè)度：。很多人都會(huì)感到這個(gè)條件有點(diǎn)莫名其妙，所以我們有必要來分析一下為什么要給出這個(gè)條件。有如下步驟：

1?驗(yàn)證中的元素滿足Caratheodory條件

2 如果用Caratheodory條件來作為的定義會(huì)怎么樣？可以證明用Caratheodory條件來作為的定義會(huì)發(fā)現(xiàn)就是的測(cè)度，而且還是σ環(huán)。一切看起來似乎完美。

3?看作環(huán)，作為測(cè)度，再定義和相應(yīng)的，再回頭用的Caratheodory條件是不是還能找到，當(dāng)然希望這樣的擴(kuò)張是在某一步中止的，然而的確如此。

以上就是用一個(gè)環(huán)上的測(cè)度出發(fā)，將測(cè)度延拓到一個(gè)σ環(huán)的過程，值得注意的是,比之前講到的要大很多。