#練習(xí)生打卡

1.說明為何菲磚上和謝老師書上的準(zhǔn)一致收斂描述方法等價(jià)。菲磚?謝惠民：取N'=max(N?,N?,...,Nm)。謝惠民?f連續(xù)?菲磚。

2.極限函數(shù)的逐項(xiàng)積分定理。

①準(zhǔn)一致收斂可以保證極限函數(shù)Riemann可積，但需要一致連續(xù)確保換序。

②例題1.76體現(xiàn)換序的方便；例題1.77顯示一致收斂不是必要條件，不一致收斂但可以換序的情況存在。

3.Arzelà控制收斂定理。把“2”中一致收斂削弱為一致有界，但需要添加極限函數(shù)Riemann可積這個(gè)條件。

4.極限函數(shù)的逐項(xiàng)微分定理

條件比較長，需要特殊記憶的是條件中要求一致收斂的是導(dǎo)函數(shù)列，原函數(shù)列只要求在一點(diǎn)收斂，另外條件中函數(shù)列連續(xù)可導(dǎo)，結(jié)論中極限函數(shù)也是連續(xù)可導(dǎo)。

導(dǎo)函數(shù)列一致收斂于Φ且連續(xù)，是為了能夠利用上逐項(xiàng)積分定理，從ΦRiemann可積且積分和極限可換序。

另一方面，導(dǎo)函數(shù)列一致收斂于Φ以及原函數(shù)在一點(diǎn)收斂，可以利用Cauchy收斂原理推得｛fn｝一致收斂。（感覺是為了利用Cauchy收斂原理量身定做的條件）

這樣最終就可以得到f(x)=f(x?)+∫??? Φ(x)dx。等號(hào)兩邊同時(shí)求導(dǎo)即可

5.和函數(shù)的逐項(xiàng)微分定理。

6.例1.79。和用洛必達(dá)法則求極限的邏輯有點(diǎn)像。本題是，逐項(xiàng)求導(dǎo)之后發(fā)現(xiàn)一致收斂，因此說明逐項(xiàng)求導(dǎo)合法。等于先計(jì)算出結(jié)果再驗(yàn)證合法。