作者：Math001

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事情的起因是我們哆嗒數(shù)學(xué)網(wǎng)的一位網(wǎng)友拿著Hardy和Wright合著的《數(shù)論導(dǎo)引》中文版說(shuō)，書中明確指出，數(shù)學(xué)家早在1930年前后，就證明了eπ是無(wú)理數(shù)。這個(gè)讓我吃驚，因?yàn)榫蛶滋烨?，我所能查到的資料，都說(shuō)明eπ是否是無(wú)理數(shù)的問(wèn)題還是一個(gè)未知答案的問(wèn)題。——2017年前后，有人在預(yù)印本網(wǎng)站上發(fā)文說(shuō)證明了它是無(wú)理數(shù)，但是被各路數(shù)學(xué)家指出了這篇文章的低級(jí)錯(cuò)誤。

《數(shù)論導(dǎo)引》是英國(guó)頂級(jí)數(shù)學(xué)家Hardy的名著，英文原名叫做An Introduction to the Theory of Numbers直譯一般應(yīng)該是《數(shù)論導(dǎo)引》。但是，為了銷售上的考慮，圖靈出版社翻譯這本書的時(shí)候，將書名定成了《哈代數(shù)論》，當(dāng)當(dāng)有售，現(xiàn)在巨貴。如此名著中既然這樣寫了，我們就要認(rèn)真考證一下，到底怎么回事。

第一反應(yīng)是不是翻譯成中文后，陰差陽(yáng)錯(cuò)出現(xiàn)了搬運(yùn)錯(cuò)誤？上面中文版的截圖是該書的第6版，于是我也找到英文版的第6版來(lái)對(duì)比。結(jié)果，不出我所料，英文版和中文版的內(nèi)容果然對(duì)不上。出乎我意料的是，中英對(duì)照的差異——比我原想的大的多。

首先，英文版中列出了兩行實(shí)數(shù)，分別列出了哪些是已經(jīng)被證明了是無(wú)理數(shù)的數(shù)，哪些還沒(méi)有被證明是無(wú)理數(shù)的數(shù)。兩行數(shù)，每行4個(gè)數(shù)，共8個(gè)。而中文版中對(duì)應(yīng)的兩行數(shù)變成每行3個(gè)數(shù)，共6個(gè)。然而，數(shù)的個(gè)數(shù)還不是最大的差異。在已經(jīng)被證明了是無(wú)理數(shù)的那一行中，中文版里列入了eπ，而英文版里并沒(méi)有eπ，而是另外兩個(gè)數(shù)。而還沒(méi)有證明是無(wú)理數(shù)的那一行，英文版里本來(lái)有e+π，但是中文版里把這個(gè)數(shù)去掉了。

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——遺憾的是，e+π以及eπ這兩個(gè)數(shù)的是否是無(wú)理數(shù)，到目前為止，依舊是未解之謎，人類中沒(méi)人知道。這些問(wèn)題涉及數(shù)學(xué)里的一個(gè)研究分支，叫做超越數(shù)論。

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超越數(shù)論里有個(gè)非常重要的猜想，叫做沙努爾猜想。如果這個(gè)猜想成立，那么很多數(shù)的無(wú)理性以及超越性都能得到證明，包括e+π和eπ。

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在介紹這個(gè)猜想之前，首先要介紹一下在有理數(shù)數(shù)域上線性相(無(wú))關(guān)和代數(shù)相(無(wú))關(guān)的概念。

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對(duì)于n個(gè)復(fù)數(shù)x1, x2, ... , xn ，如果存在不全為零的有理數(shù)q1, q2, ... , qn 使得q1·x1 + q2·x2 + ... + qn·xn = 0 。則稱x1, x2, ... , xn在有理數(shù)域上線性相關(guān)，否則叫做在有理數(shù)域上線性無(wú)關(guān)。

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對(duì)于n個(gè)復(fù)數(shù)x1, x2, ... , xn ，如果存在非零n元有理數(shù)系數(shù)多項(xiàng)式f滿足f(x1, x2, ... , xn) = 0 。則稱x1, x2, ... , xn在有理數(shù)域上代數(shù)相關(guān)，否則叫做有理數(shù)域上代數(shù)無(wú)關(guān)。

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沙努爾猜想說(shuō)：如果n個(gè)復(fù)數(shù)x1, x2, ... , xn在有理數(shù)域上線性無(wú)關(guān)，那么這2n個(gè)復(fù)數(shù)中x1, x2, ... , xn, e^x1 , e^x2, ... , e^xn至少能找到n個(gè)復(fù)數(shù)有理數(shù)域上代數(shù)無(wú)關(guān)。（其中e^x 表示e的x次方）

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知道了沙努爾猜想，我們就可以在假設(shè)這個(gè)猜想成立的情況，證明e+π和eπ都是無(wú)理數(shù)（實(shí)際上能證明都是超越數(shù)）。

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1和πi顯然在理數(shù)域上線性無(wú)關(guān)，所以 1 、πi 、 e 、 -1這4個(gè)數(shù)中，能找到2個(gè)代數(shù)無(wú)關(guān)。（注意 e^πi = -1）

如果令f(x,y)=(x-1)(x+1)y , 就能得到f(±1,y) =0 , 說(shuō)明±1和所有復(fù)數(shù)都代數(shù)相關(guān)。所以只能πi 和 e代數(shù)無(wú)關(guān)。

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πi 和 e代數(shù)無(wú)關(guān)能得到π和e代數(shù)無(wú)關(guān)。這一點(diǎn)，如果你有代數(shù)擴(kuò)張方面的知識(shí)能迅速看出來(lái)。當(dāng)然，這里為了保證這篇文章一定的友好度，我們也簡(jiǎn)單說(shuō)明一下。

如若不然存在非零二元有理系數(shù)多項(xiàng)式f(x,y)滿足f(e,π) = 0。那么令g(x,y) = f(x,iy)·f(x,-iy)，這是一個(gè)非零有理系數(shù)多項(xiàng)式。而g(e,πi) = 0 ,與πi 和 e代數(shù)無(wú)關(guān)矛盾。

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既然e和π代數(shù)無(wú)關(guān)，那么e+π不可能是有理數(shù)。如若不然，e+π=q是有理數(shù)，則令f(x,y) = x+y-q, f(e,π) = 0,矛盾。同樣的方式，也可證明eπ不可能是有理數(shù)。

好了，我想科普的內(nèi)容就是這個(gè)沙努爾猜想。如果讀者你能有幸解決他，得幾個(gè)數(shù)學(xué)界的大獎(jiǎng)是沒(méi)問(wèn)題的。甚至如果你沒(méi)滿40歲的話，沖擊一下數(shù)學(xué)界的最高獎(jiǎng)菲爾茲獎(jiǎng)也是有機(jī)會(huì)的。

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如果，你能證明eπ、e+π是無(wú)理數(shù)的話，拿個(gè)數(shù)學(xué)的博士學(xué)位應(yīng)該沒(méi)問(wèn)題吧。

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