如果我們把一些數(shù)字排成一排，就構(gòu)成了一個(gè)數(shù)列。這些數(shù)字之間可能是有規(guī)律的，也可能是沒有規(guī)律的，可能是有限個(gè)數(shù)字構(gòu)成，也可能是無限多個(gè)數(shù)字構(gòu)成。

比如，1、2、3、4、5….就構(gòu)成了一個(gè)數(shù)列，后一個(gè)數(shù)與前一個(gè)數(shù)的差是不變的，這種數(shù)列稱為等差數(shù)列。

再比如1、2、4、8、16…也構(gòu)成了一個(gè)數(shù)列。后一項(xiàng)和前一項(xiàng)的比例是不變的，稱為等比數(shù)列。

在自然界中，有一個(gè)最為神奇、幾百年來一直被人們熱議的數(shù)列，那就是“兔子數(shù)列”，也叫做斐波那契數(shù)列。

?一. 阿拉伯?dāng)?shù)字

在十二世紀(jì)之前的歐洲，由于宗教原因，科學(xué)和數(shù)學(xué)的發(fā)展非常緩慢。歐洲人還習(xí)慣于使用羅馬數(shù)字計(jì)數(shù)。羅馬數(shù)字一共有7個(gè)數(shù)字，分別是：Ⅰ（1）、Ⅴ（5）、Ⅹ（10）、?（50）、?（100）、?（500）和?（1000）。

它的計(jì)數(shù)規(guī)則也比較復(fù)雜，比如：把兩個(gè)數(shù)字并排，如果右邊的數(shù)字比左邊的數(shù)字小，則表示兩個(gè)數(shù)字相加；如果右邊的數(shù)字比左邊的數(shù)字大，表示兩個(gè)數(shù)字想減。此外還有許多復(fù)雜的規(guī)矩，使用起來非常不方便。

十二世紀(jì)時(shí)，歐洲數(shù)學(xué)才有了復(fù)蘇的跡象。這是因?yàn)榕c阿拉伯國(guó)家的貿(mào)易和十字軍東征等原因，歐洲同阿拉伯世界發(fā)生了聯(lián)系，而此時(shí)的阿拉伯正在使用1234567890這樣的符號(hào)表示數(shù)字，十分方便。由于這種數(shù)字是從阿拉伯國(guó)家學(xué)習(xí)到的，所以稱為阿拉伯?dāng)?shù)字。

但是實(shí)際上，在公元前三世紀(jì)，印度人就已經(jīng)在使用類似的方法表示數(shù)字了，阿拉伯?dāng)?shù)字是印度人發(fā)明的。在公元7世紀(jì)時(shí)，這種數(shù)字傳入阿拉伯，后來又通過歐洲傳播到全世界。

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二. 斐波那契數(shù)列

斐波那契（也叫做比薩的列奧納多）是一個(gè)意大利數(shù)學(xué)家，年少時(shí)隨著父親在北非做生意，學(xué)習(xí)了阿拉伯?dāng)?shù)字。

1200年，斐波那契回到了意大利，1202年寫成了著作《計(jì)算之術(shù)》，這本書對(duì)歐洲的數(shù)學(xué)界產(chǎn)生了很大的影響。

在這本書中，斐波那契提出了一個(gè)有趣的問題：

假如有一對(duì)剛出生的小兔子，只需要一個(gè)月小兔子就能長(zhǎng)成大兔子，從第三個(gè)月開始，這對(duì)大兔子每個(gè)月都會(huì)生下一對(duì)小兔子。新出生的小兔子又會(huì)花一個(gè)月長(zhǎng)大，再花一個(gè)月開始生兔子… 如果每對(duì)兔子都經(jīng)歷這樣的出生、成熟、生育的過程，并且永遠(yuǎn)不死，那么每個(gè)月兔子的總數(shù)是多少呢？

我們不妨先用樹狀圖來研究這個(gè)問題。

第一個(gè)月只有1對(duì)兔寶寶。

第二個(gè)月只有1對(duì)大兔子。

第三個(gè)月大兔子生了一對(duì)兔寶寶，一大一小2對(duì)兔子。

第四個(gè)月大兔子繼續(xù)生一對(duì)兔寶寶，小兔子變成大兔子。兩大一小3對(duì)兔子。

….

于是，每個(gè)月的大兔子、小兔子和總共的兔子個(gè)數(shù)就構(gòu)成了三個(gè)數(shù)列，我們把這個(gè)數(shù)列列表出來

我們發(fā)現(xiàn)會(huì)發(fā)現(xiàn)：無論是小兔子對(duì)數(shù)、大兔子對(duì)數(shù)還是總對(duì)數(shù)，除了最初幾個(gè)數(shù)字不一樣之外，后面都是按照1、1、2、3、5、8、13…變化的，這個(gè)數(shù)列就稱為兔子數(shù)列。由于它是斐波那契最早提出的，所以也叫做斐波那契數(shù)列。

兔子數(shù)列最大的特點(diǎn)是：前兩項(xiàng)之和等于后一項(xiàng)，比如1+1=2、1+2=3、2+3=5、3+5=8、5+8=13…

我們用an表示一個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)，那么斐波那契數(shù)列的規(guī)律“第一項(xiàng)和第二項(xiàng)是1，前兩項(xiàng)之和等于后一項(xiàng)”就可以表示成：

這樣的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為遞推式，從遞推式的前面一項(xiàng)或者幾項(xiàng)，就可以計(jì)算出后面所有的數(shù)字啦。

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三. 兔子數(shù)列有什么用？

可能許多讀者覺得，斐波那契數(shù)列不過是浩如煙海的數(shù)學(xué)海洋中的一滴水而已?？墒?，從這個(gè)數(shù)列被提出的那一天起，到現(xiàn)在有800年了，人們對(duì)它的興趣一直有增無減，在許許多多的領(lǐng)域都發(fā)現(xiàn)了它的影子。

在數(shù)學(xué)上有許多求“方法數(shù)”的問題，答案經(jīng)常是斐波那契數(shù)列。

比如這樣一個(gè)問題：我們要走上一個(gè)N級(jí)臺(tái)階的樓梯，每次只能走小步（1格）或者走大步（2格），那么走上樓梯一共有多少種不同的走法呢？

我們從最簡(jiǎn)單的情況開始分析：

如果只有一級(jí)臺(tái)階，只能一步跨上去，顯然只有1種走法。

如果有兩級(jí)臺(tái)階，可以一步跨上去， 也可以分成兩步來走，因此有2種走法。

如果有三級(jí)臺(tái)階，就有如圖所示的3種走法：分成三小步、一小步一大步、和一大步一小步。

如果有更多臺(tái)階怎么辦呢？這就需要遞推式了。由于一步最多走連兩個(gè)臺(tái)階，因此要到達(dá)第N級(jí)臺(tái)階，有兩種方案：

1. 走到第N-1級(jí)臺(tái)階上，然后走一小步跨到最上方；

2. 走到第N-2級(jí)臺(tái)階上，然后走一大步跨到最上方。

我們用aN-1和aN-2分別表示走到第N-1級(jí)和第N-2級(jí)臺(tái)階的方法數(shù)，那么走到第N級(jí)臺(tái)階的方法數(shù)就是：

顯然，這就是斐波那契數(shù)列的遞推公式，因此走臺(tái)階問題的解剛好是斐波那契數(shù)列。

生活中最典型的斐波那契數(shù)列應(yīng)用是在植物學(xué)中。

大樹在生長(zhǎng)的過程中會(huì)長(zhǎng)出分枝，如果我們從下到上數(shù)分枝個(gè)數(shù)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)依次是1、1、2、3、5、8、13…等等，剛好是斐波那契數(shù)列。有科學(xué)家對(duì)這種現(xiàn)象的解釋是與兔子繁殖后代相同：每過一段時(shí)間老樹枝都會(huì)萌發(fā)新芽，而新芽成長(zhǎng)為成熟的樹枝后也會(huì)每隔一段時(shí)間萌發(fā)一次新芽。

另一個(gè)神奇的例子就是向日葵等植物。

如果我們仔細(xì)觀察，就會(huì)發(fā)現(xiàn)向日葵盤內(nèi)的種子形成兩組螺旋線，一組是順時(shí)針的，另一組是逆時(shí)針的。而這兩組螺旋線的條數(shù)剛好是兩個(gè)相鄰的斐波那契數(shù)，小向日葵是34和55，大向日葵是144和233。松果種子、菜花表面也有類似的規(guī)律。

有科學(xué)家認(rèn)為：這種排列可以使得種子的堆積最密集，最有利于植物繁衍后代。

八百年來，人們?cè)诟鱾€(gè)領(lǐng)域都發(fā)現(xiàn)了斐波那契數(shù)列。尤其是十九世紀(jì)開始，人們發(fā)現(xiàn)了斐波那契數(shù)列在計(jì)算機(jī)、物理、化學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用，這個(gè)古老的數(shù)列煥發(fā)了新的青春。1963年，斐波那契協(xié)會(huì)成立，并出版了《斐波那契季刊》用以刊登與斐波那契數(shù)列相關(guān)的研究成果。

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