Quantum Physics I, Lecture Note 3?| Quantum Physics I | Physics | MIT OpenCourseWare?

https://ocw.mit.edu/courses/8-04-quantum-physics-i-spring-2016/resources/mit8_04s16_lecnotes3/

1 Photoelectric Effect 光電效應(yīng)、

? 光電效應(yīng)首次由海因里?！ず掌澯?887年觀察到。他觀察到，當拋光的金屬板受到照射時，它們可能會發(fā)射電子，當時稱為“光電子”。因此，這些發(fā)射的電子產(chǎn)生了光電流。關(guān)鍵觀察結(jié)果如下：

??? 存在一個閾值頻率 ν0。只有在頻率 ν>ν0 時才會有光電流產(chǎn)生。頻率 ν0 取決于金屬以及表面原子的排列方式。它也受到不均勻性的影響。

? ? 光電流的大小與光源的強度成比例。?

? ? 光電子的能量與光源的強度無關(guān)。

??直到1905年，關(guān)于這種效應(yīng)中的特征的自然解釋才出現(xiàn)，當時愛因斯坦提出，光中的能量是由能量為hν的離散量子（后來稱為光子）攜帶的。其中 h 是普朗克常數(shù)，是普朗克用來擬合黑體輻射能量與頻率的函數(shù)關(guān)系的常數(shù)。

? 給定材料具有一個特征能量 W，稱為逸出功函數(shù)，它是彈射出一個電子所需的最小能量。這不容易計算，因為它是許多電子與背景原子相互作用的結(jié)果。然而，它很容易測量。當材料表面受到輻照時，材料中的電子吸收入射光子的能量。如果單個光子的吸收給電子帶來的能量大于逸出功函數(shù) W，那么電子就會被噴射出去，其動能 Ee? 等于光子能量與逸出功函數(shù)之差：

愛因斯坦所寫的這個方程解釋了上述實驗特征，前提是我們假設(shè)量子作用于單個電子以將它們噴射出去。閾值頻率通過定義為在這種情況下光電子的能量為零來確定。對于 ν > ν0，電子將被噴射出去。增加光源的強度會增加光子到達的速率，這將增加電流的大小，但不會改變光電子的能量，因為它不會改變每個入射量子的能量。

??方程（1.2）使愛因斯坦得以做出一個預(yù)測：光電子的動能與光的頻率成線性增加。愛因斯坦的預(yù)測在實驗上得到了米利坎（1915年）的證實，他仔細測量了光電子的能量，并確認了它們與能量的線性依賴關(guān)系。米利坎的認真工作使他能夠確定普朗克常數(shù)的值，準確度高于1％！然而，懷疑仍然存在，物理學(xué)家們對于這些光量子的粒子性質(zhì)還沒有被完全說服。

例子：考慮波長為λ = 290nm的紫外光照射到一個逸出功函數(shù)為W = 4.05eV的金屬上。光電子的能量是多少？它的速度是多少？

??解決這些問題時，不必查閱常數(shù)是很有用的。為此，請嘗試回憶以下有用的關(guān)系式：

其中 MeV = 10^6 eV，而 fm = 10^-15 m。讓我們使用這個關(guān)系來計算光子能量。在這種情況下，

因此，

為了計算能量，我們設(shè)定：

回想一下 mec^2 = 511,000 eV，我們可以得到：

帶入 c = 300,000 公里/秒，我們最終得到 v = 284.4 公里/秒。

現(xiàn)在是考慮單位的好時機，特別是 h 的單位。我們可以問：是否存在一個具有 h 單位的物理量。答案是肯定的，我們現(xiàn)在就來看看。從方程 E = hν，我們有：

其中 [·] 表示一個量的單位，而 M、L、T 分別是質(zhì)量、長度和時間的單位。我們已經(jīng)將最右邊的表達式寫成了長度和動量單位的乘積。因此，

我們可以看出 h 具有角動量的單位！實際上，對于自旋為半的粒子，自旋角動量的大小為 1/2h。

通過[h] = [r][p]，我們還可以看出對于給定質(zhì)量 m 的任何粒子，都有一種將長度與之關(guān)聯(lián)的規(guī)范方法。實際上，利用光速，我們可以構(gòu)造動量 p = mc，然后長度 可從比值 h/p 獲得。這實際上就是一個粒子的康普頓波長C：

一個長度單位；這被稱為質(zhì)量為 m 的粒子的康普頓波長。請注意，這個長度與粒子的速度無關(guān)。粒子的德布洛意波長使用的是粒子的真動量，而不是 mc！因此，康普頓波長和德布洛意波長不應(yīng)混淆！

? 我們可以對粒子的康普頓波長 λC 獲得一些物理直覺。我們聲明 λC 是一個光子的波長，其能量等于粒子的靜止能量。實際上，我們會有：

確認這一說法。假設(shè)您正在嘗試定位一個質(zhì)量為 m 的點粒子。如果您使用光，粒子位置的可能精度大約是光的波長。一旦我們使用波長小于 λC 的光，光子攜帶的能量將超過粒子的靜止能量。這時，光子的能量可能會轉(zhuǎn)化為更多質(zhì)量為 m 的粒子，使得定位粒子變得困難，甚至可能無法實現(xiàn)?？灯疹D波長是一個尺度，相對論量子場論需要考慮粒子產(chǎn)生和湮滅的可能過程。

??讓我們計算電子的康普頓波長：

這個長度大約比玻爾半徑（53 皮米）大約 20 倍，并且大約比質(zhì)子的大小（1 費米）大約兩千倍。電子的康普頓波長出現(xiàn)在稱為康普頓散射過程中光子波長變化的公式中。

2 Compton Scattering?康普頓散射

??最初，愛因斯坦并沒有明確表示光量子意味著光的粒子。然而在1916年，他提出量子將攜帶動量以及能量，使得粒子的性質(zhì)更加清晰。在相對論中，一個粒子的能量、動量和靜止質(zhì)量之間有以下關(guān)系：

（將其與經(jīng)典方程 E = p^2/2m 進行比較。）當然，我們也可以用速度來表示粒子的能量和動量：

? 您應(yīng)該使用表達式（|p| = p）來確認（2.13）成立。像光子這樣以光速運動的粒子必須具有零靜止質(zhì)量，否則由于分母趨近于零，其能量和動量將變?yōu)闊o窮大。將靜止質(zhì)量設(shè)為零，方程（2.13）給出了光子能量 Eγ 與光子動量 pγ 之間的關(guān)系：

然后，利用 λν = c，我們得到：

當我們討論物質(zhì)波時，我們將再次看到這個關(guān)系。

? 康普頓進行了實驗（1923年至1924年），將X射線散射到碳靶上。X射線對應(yīng)的光子能量范圍從100電子伏特到100千電子伏特。目標是將X射線光子散射到自由電子上，而在某種程度上，原子中的電子會以這種方式行為。

??康普頓實驗的經(jīng)典對應(yīng)物是電磁波與自由電子的散射，稱為湯姆孫散射。在這里，一個電磁波入射到一個電子上。電磁波的電場震動了電子，電子與入射場的頻率振蕩。電子的振蕩產(chǎn)生一個輻射場，其頻率與入射輻射的頻率相同。在經(jīng)典的湯姆孫散射中，微分散射截面由以下公式給出：

其中 θ 是入射和散射波之間的角度，輻射能量與入射光的頻率相同。這在圖2中顯示出來。這個截面的單位是長度的平方，或者說是面積，這是應(yīng)該的。它代表了從入射平面波中提取的能量量，這些能量被電子散射。實際上，量子 e2/(mc2) 被稱為經(jīng)典電子半徑，大約是2.8費米！比質(zhì)子略大一些！

??如果我們將光看作光子，正在進行的基本過程是兩個粒子之間的碰撞；一個入射光子和一個大致靜止的電子。有兩個事實可以迅速證明：

? 光子不能被電子吸收。這與能量和動量守恒是不一致的（練習(xí)）。?

? 光子必須失去一些能量，因此最終光子的波長 λf 必須大于初始光子的波長 λi。在實驗室參考系中，初始靜止的電子必須產(chǎn)生反沖，從而獲得一些動能。

? 確實，康普頓的觀測結(jié)果與湯姆孫散射的預(yù)測不符：X射線在散射后改變了頻率。使用能量和動量守恒進行計算表明，波長的變化與散射光子與原始光子之間的角度相關(guān)：

? 請注意，康普頓電子波長的出現(xiàn)，即光子發(fā)生散射的粒子。光子的最大能量損失發(fā)生在 θ = π，其中：

? 最大可能的波長變化為2λC。對于 θ = π/2，波長的變化恰好是lc。

康普頓的實驗使用了鉬 X 射線，其能量和波長為：

入射到一個碳靶上。將探測器放置在一個角度 θ = 90° 處，強度（或散射的光子數(shù)）隨波長變化的圖表如圖2所示。可以發(fā)現(xiàn)一個峰值對應(yīng)于 λf = 0.0731 納米，但也有一個第二個峰值對應(yīng)于原始波長 λi = 0.0709 納米。

在 λf 處的峰值是估計的：λf - λi 約為 2.2 皮米，大約等于 2.4 皮米的康普頓波長?？紤]到光子的能量約為17千電子伏特，而碳的束縛態(tài)能量約為300電子伏特，預(yù)期的峰值代表了在碰撞中原子被電離的情況，因此可以合理地考慮被拋出的電子。而在 λi 處的峰值表示電子從光子那里獲得一些動量，但仍保持束縛狀態(tài)。這并不是非常不可能的情況：束縛電子的典型動量實際上與光子的動量相當。在這種情況下，光子以90°散射，反沖動量由整個原子承載。因此，相關(guān)的康普頓波長是原子的康普頓波長。由于碳原子的質(zhì)量比電子的質(zhì)量大幾千倍，碳原子的康普頓波長要小得多，比電子的康普頓波長小得多，因此光子的波長不應(yīng)該有可檢測的變化。

3 Matter Waves 物質(zhì)波

??正如我們所看到的，光既表現(xiàn)出粒子性質(zhì)，又表現(xiàn)出波動性質(zhì)。這種行為通常被稱為二象性：對象的完整現(xiàn)實通過使用對象的波動和粒子特性來捕捉。光子是能量為 Eγ 的粒子，但具有頻率 ν，這是一種波動屬性，滿足 E = hν。它是一個具有動量 pγ 的粒子，但也具有波長 λ，這是一個波動屬性，由式（2.16）給出。

??

在1924年，路易斯·德布羅意（Louis de Broglie）提出，光子的波動/粒子二象性是普遍的，因此也適用于物質(zhì)粒子。通過這種方式，他猜測了物質(zhì)的波動性質(zhì)。受到（3.22）的啟發(fā)，德布羅意假設(shè)與具有動量 p 的物質(zhì)粒子關(guān)聯(lián)的是一個波長為 λ 的平面波，其表示為：

這是一個完全的量子屬性：如果 h 為零，那么 λ 也為零，粒子就沒有波動性質(zhì)。這個激動人心的結(jié)果是，物質(zhì)粒子可以發(fā)生衍射或干涉！在著名的戴維森-格默實驗（1927年）中，電子被擊中一個金屬表面，發(fā)現(xiàn)在某些角度上散射電子的強度出現(xiàn)峰值。這些峰值顯示了從金屬晶格的散射中產(chǎn)生的構(gòu)造干涉效應(yīng)，證明了電子的波動性質(zhì)。人們還可以用電子進行雙縫干涉實驗，而且可以每次只發(fā)射一個電子來進行實驗。Eibenberger等人最近的一項實驗[arXiv:1310.8343]報道了使用具有810個原子且質(zhì)量超過10,000原子質(zhì)量單位（相當于電子質(zhì)量的2000萬倍）的分子進行的干涉實驗！

??德布羅意波長可以計算來估計量子效應(yīng)是否重要?？紤]這個目的，一個質(zhì)量為 m 動量為 p 的粒子入射到一個尺寸為 x 的物體上，如圖3所示。設(shè) λ = h/p 表示粒子的德布羅意波長。如果 λ 遠遠小于 x，則粒子的波動性質(zhì)不重要。因此，“經(jīng)典近似”，其中波動效應(yīng)可以忽略不計，要求：

利用 λ = h/p，這得出：

一個兩邊具有角動量單位的關(guān)系式。

??經(jīng)典行為是量子力學(xué)的一個微妙極限：經(jīng)典電磁場需要大量的光子。然而，任何具有確切、固定光子數(shù)的狀態(tài)，即使很大，也不是經(jīng)典的。經(jīng)典電磁狀態(tài)被稱為相干態(tài)，其中光子的數(shù)目會波動。