在無線通信的信道建模，高斯白噪聲模擬 等方面，我們都會碰到 瑞利( Rayleigh)分布 , 也經常碰到 circularly symmetric random variable 的說法。

什么是circularly symmetric random variable ？ 就是形如 ?的隨機變量，其中? X, Y?都是均值為0 相互獨立具有相同高斯分布的隨機變量。 則這個復隨機變量的模長 |Z|?就符合 瑞利分布，其概率密度為：

另外，角度 ?滿足?之間的均勻分布。

為什么這個復數(shù)隨機變量稱之為 circularly symmetric ?

我們把復數(shù)的實部和虛部分別看成兩個實值隨機變量，均值都是 0 的獨立同分布（高斯分布）。則其聯(lián)合概率:

我們把這個聯(lián)合概率的圖，畫在三維空間中，z 軸是概率的值，另外兩個軸分布代表實部的 x 和虛部的 y，則其圖形如下（摘自 wiki ):

可以看到 圖形是對稱的，且是 circularly.

轉成極坐標

令

則

那么

所以:

因為 ?相互獨立，所以：

# 仿真

產生兩個 0均值，相互獨立，單位方差的高斯隨機變量

用 hist() 函數(shù)，計算 ?的概率密度

然后，用我們的理論公式也計算出來概率，畫圖比較，發(fā)現(xiàn)兩者重合。

Matlab/Octave 代碼

* 基本是翻譯的這個文章：Deriving PDF of Rayleigh random variable (dsplog.com)