有意思的概率與統(tǒng)計(jì)（一）

2023-07-20 12:16 作者:不能吃的大魚 0人讀過 | 我要投稿

誒嘿！又開新坑了！

（明明舊坑還有一堆沒填完，新坑就又開了……就是這么隨性?。?/p>

高代實(shí)在是太難學(xué)太難寫了，所以就準(zhǔn)備再看看了……常微分方程就會(huì)一直更新的，目前進(jìn)展還可以~

想開概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)主要還是因?yàn)閼?yīng)用的場(chǎng)合比較多吧，最近也正好在重溫，所以就寫著看看。而且，概統(tǒng)部分其實(shí)和數(shù)學(xué)分析相關(guān)的內(nèi)容有很多?？梢哉f概統(tǒng)發(fā)展到目前，已經(jīng)是一個(gè)分析學(xué)的樣子了，有一點(diǎn)代數(shù)學(xué)的參與。甚至于，大家可以了解到，如果概率論需要深入了解和學(xué)習(xí)的話，可能會(huì)涉及到實(shí)變函數(shù)論的內(nèi)容。這就是后話了。

總而言之，概統(tǒng)的坑就這么開了，希望能幫到大家吧！

（補(bǔ)充一句，這里使用的教材是茆詩(shī)松老師等人編寫的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程》~）

Chapter? One? 隨機(jī)事件與概率

1.1? 隨機(jī)事件及其運(yùn)算

在日常生活中，我們總是能夠遇到各種各樣我們拿得準(zhǔn)或拿不準(zhǔn)的事件。比如說，我們可以肯定，在地球上觀測(cè)，太陽每天都是偏東升偏西落的；而我們并不好說什么時(shí)候買的哪一張彩票會(huì)中獎(jiǎng)。對(duì)于我們拿得準(zhǔn)的事件，我們幾乎可以完全預(yù)測(cè)某種結(jié)果的出現(xiàn)，而對(duì)于不清楚的事件，我們就無法給出定論。

在一定的條件下，并不總是出現(xiàn)相同的結(jié)果的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象。一般而言，這樣的現(xiàn)象有兩個(gè)特點(diǎn)：

（1）結(jié)果不只有一個(gè)；

（2）任何人都很難預(yù)測(cè)哪一種結(jié)果出現(xiàn)；

而只有一種結(jié)果的事件，就稱為確定性事件。

很多時(shí)候，為了確定隨機(jī)現(xiàn)象出現(xiàn)的規(guī)律，我們會(huì)在特定的條件下進(jìn)行大量的重復(fù)試驗(yàn)，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行觀測(cè)和記錄，這樣的過程稱為隨機(jī)試驗(yàn)。

不難想到，對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)而言，當(dāng)試驗(yàn)的數(shù)目足夠多時(shí)，隨機(jī)現(xiàn)象的各種可能結(jié)果都會(huì)出現(xiàn)。不過很多時(shí)候，我們能做的隨機(jī)試驗(yàn)的次數(shù)是有限的（比如說一次比賽等），這種情況下我們并沒有辦法通過試驗(yàn)來找出所有的可能結(jié)果。

但是，對(duì)于某些事件，甚至于說是絕大部分事件，我們其實(shí)都能夠?qū)﹄S機(jī)現(xiàn)象的可能結(jié)果有所預(yù)見，比如說擲骰子。在一次投擲中，骰子落地后的點(diǎn)數(shù)是有范圍的；同時(shí)，這里每個(gè)點(diǎn)數(shù)都有可能出現(xiàn)。這樣，我們無需做很多次隨機(jī)試驗(yàn)，也很清楚地就推得了隨機(jī)現(xiàn)象的可能結(jié)果。

我們將隨機(jī)現(xiàn)象的各種可能結(jié)果歸納，組成一個(gè)集合，稱為樣本空間，記為 $%5CvarOmega%20%3D%5C%7B%5Comega%20%5C%7D$ 。其中， $%5Comega%20$ 表示其中的可能結(jié)果，又稱樣本點(diǎn)。這樣，尋求隨機(jī)現(xiàn)象的可能結(jié)果的問題，就轉(zhuǎn)變成了求解樣本點(diǎn)和樣本空間的問題。

根據(jù)樣本點(diǎn)的性質(zhì)不同，我們很容易就將樣本空間分為兩類。一類是樣本空間為至多可數(shù)集，稱之為離散樣本空間；另一類是樣本空間為不可數(shù)集，稱為連續(xù)樣本空間。

樣本空間的子集，是樣本空間內(nèi)某一些樣本點(diǎn)的集合，表示在給定條件下能夠代表某一事件發(fā)生的全部結(jié)果，因此也就代表了該事件。仍然以擲骰子為例，集合 $A%3D%5C%7B1%2C3%2C5%5C%7D$ 代表了事件“擲出的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”。類似的例子有很多，我們就稱樣本空間內(nèi)某一些樣本點(diǎn)的集合為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件，一般以大寫字母標(biāo)記。

有一些特別典型的事件類型，需要小伙伴們多加注意。如果事件是單元素集，就稱之為基本事件；樣本空間所代表的事件，稱之為必然事件；如果事件為空集，就稱之為不可能事件。

既然隨機(jī)現(xiàn)象具有不確定性，那么也就是說，對(duì)于任何一次試驗(yàn)而言，結(jié)果都是變數(shù)，并不為人們所預(yù)知。但是，一般而言，利用事件的內(nèi)秉性質(zhì)，我們總可以將結(jié)果數(shù)字化，從而表示為數(shù)字變量的形式。我們稱用于表示隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果的變量稱為隨機(jī)變量。常用大寫字母X，Y，Z等表示。由于隨機(jī)變量與事件的內(nèi)秉性質(zhì)高度相關(guān)，因此一般在設(shè)置隨機(jī)變量時(shí)都要寫明其含義。

單獨(dú)的一個(gè)事件的各種概念我們已經(jīng)明確，接下來我們就有必要研究?jī)蓚€(gè)及以上的事件之間的關(guān)系和作用了。

不難理解，事件之間的基本關(guān)系大致可分為以下幾種：

（1）互相包含：此時(shí)，兩個(gè)事件A與B之間應(yīng)該滿足關(guān)系 $A%5Csupset%20B$ ；

（2）二者相等：此時(shí)，事件之間應(yīng)滿足 $A%5Csupset%20B$ 且 $A%5Csubset%20B$ ；

（3）互不相容：此時(shí)，事件之間沒有任何包含關(guān)系。

了解了事件之間可能的基本關(guān)系，我們接著就可以來研究事件之間的相互作用的結(jié)果。

由于事件本身是集合，因此事件之間的相互作用本質(zhì)上也就是集合之間的相互運(yùn)算?？梢哉f，集合之間有多少種運(yùn)算，事件之間就有多少種作用。

我們回憶一下基本的集合論知識(shí)，不難想起，集合之間具有交，并，補(bǔ)和差四種運(yùn)算。

由于集合運(yùn)算大家都已經(jīng)十分熟練了，所以集合表示法等方面的內(nèi)容在這里就不再贅述了。我們主要集中于這幾種結(jié)果從概率論的角度出發(fā)，如何用自然語言描述的問題。換句話說，就是說，原事件之間作用出來的新事件描述的事件性質(zhì)是怎么樣的。

首先來看事件的交。由集合運(yùn)算性質(zhì)，所謂交，就是取兩個(gè)或多個(gè)集合中所共有的元素組成一個(gè)新的集合。也就是說，事件的交當(dāng)中，包含的樣本點(diǎn)是幾個(gè)事件所共有的樣本點(diǎn)。這表明，所謂的交事件，就是事件“原各事件同時(shí)發(fā)生”。

接下來就也十分容易。類似的道理，我們不難推知，并事件，就是事件“原各事件至少有一個(gè)發(fā)生”；差事件就是事件“原某事件發(fā)生，而另外某事件不發(fā)生”。

但是，補(bǔ)事件有所不同。一般而言，補(bǔ)事件需要對(duì)應(yīng)一個(gè)全事件。也就是包含某事件A在內(nèi)的一個(gè)事件G。在這個(gè)全事件G中，事件A之外的樣本點(diǎn)構(gòu)成了一個(gè)新的事件B，稱為該事件在全事件中的補(bǔ)事件。一般而言，全事件就是樣本空間，也就是必然事件本身。這時(shí)，補(bǔ)事件B就稱為該事件的對(duì)立事件，記為 $%5Coverline%7BA%7D%20$ 。

得到以上各種事件的過程，統(tǒng)稱為事件的運(yùn)算。

既然是運(yùn)算，就一定會(huì)有運(yùn)算性質(zhì)。不難得到：

（1）交換律： $A%5Ccup%20B%3DB%5Ccup%20A%EF%BC%8CAB%3DBA$

（2）結(jié)合律：

$(A%5Ccup%20B)%5Ccup%20C%3DA%5Ccup%20(B%5Ccup%20C)%EF%BC%8C(AB)C%3DA(BC)$

（3）分配律：

$(A%5Ccup%20B)%5Ccap%20C%3DAC%5Ccup%20BC%EF%BC%8C(A%5Ccap%20B)%5Ccup%20C%3D(A%5Ccup%20C)%5Ccap%20(B%5Ccup%20C)$

（4）De Morgen定理：

① $%5Coverline%7BA%5Ccup%20B%7D%20%3D%5Coverline%7BA%7D%5Ccap%20%5Coverline%7BB%7D$ ；

② $%5Coverline%7BA%5Ccap%20B%7D%3D%5Coverline%7BA%7D%5Ccup%20%5Coverline%7BB%7D$

最后，我們介紹一個(gè)稍微抽象一些的概念——事件域，以便我們后面正式介紹概率時(shí)提供方便。

事件域，實(shí)際上就是樣本空間中的某些子集進(jìn)行運(yùn)算之后所得到的全部結(jié)果而組成的集合類，記為 $%5Cmathscr%20%7BF%7D$ 。這里的“某些子集”，既可以是全部子集，也可以是部分子集。

對(duì)于離散樣本空間，很容易就理解，其全部子集構(gòu)成的集合類就是一個(gè)事件域。但是，對(duì)于連續(xù)樣本空間而言，事情就沒這么簡(jiǎn)單了。

例如，當(dāng)樣本空間對(duì)應(yīng)于實(shí)數(shù)軸上的一個(gè)區(qū)間時(shí)，我們可以總可以選出至少一個(gè)子集，我們無法定義這個(gè)子集的長(zhǎng)度。這樣無法測(cè)量長(zhǎng)度的集合，在這里我們稱為不可測(cè)集。（需要注意與Lebesgue測(cè)度和Jordan測(cè)度區(qū)分。）

當(dāng)我們具體了解了概率的相關(guān)內(nèi)容之后，我們就能理解，這樣的子集對(duì)應(yīng)的事件是無法定義概率的。我們并不希望看到這樣的事情發(fā)生，所以，尤其對(duì)于連續(xù)樣本空間而言，我們并不是需要將所有子集都看成是事件。我們只要將可測(cè)集看做是事件即可。

考慮到：

（1）交可以通過并和補(bǔ)來完成（De Morgen定理）；

（2）差可以通過交和補(bǔ)來完成。

（命題1）

這樣，在四種運(yùn)算當(dāng)中，最基本的運(yùn)算，就是并和補(bǔ)（對(duì)立）。這樣，我們就可以定義事件域如下：

設(shè) $%5CvarOmega%20$ 為一樣本空間， $%5Cmathscr%20%7BF%7D$ 為 $%5CvarOmega%20$ 的某些子集所組成的集合類。如果 $%5Cmathscr%20%7BF%7D$ 滿足：

（1） $%5CvarOmega%20%5Cin%20%5Cmathscr%20%7BF%7D$ ；

（2）若 $A%5Cin%5Cmathscr%20%7BF%7D$ ，則對(duì)立事件 $%5Coverline%20%7BA%7D%20%5Cin%20%5Cmathscr%20%7BF%7D$ ；

（3）若 $A_n%20%5Cin%20%5Cmathscr%20%7BF%7D%EF%BC%8Cn%3D1%2C2%2C%5Ccdots$ ，則可列并 $%5Cbigcup_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%E2%88%9E%7D%20A_n%20%5Cin%20%5Cmathscr%20%7BF%7D$

則稱 $%5Cmathscr%20%7BF%7D$ 為一個(gè)事件域，又稱 $%5Csigma%20$ 域，或 $%5Csigma%20$ 代數(shù)。

在概率論中，我們稱 $(%5CvarOmega%20%2C%5Cmathscr%20%7BF%7D)$ 為可測(cè)空間。只有在可測(cè)空間上才可以定義概率。這是，事件域中的全部事件就稱為有概率可言的事件。

在高等代數(shù)部分，我們了解過數(shù)域的概念。實(shí)施上，更一般的概念來自于“域”這一名詞。我們?cè)谶@里給出定義“域”的基本公理，小伙伴們可以自己對(duì)照一下，事件域是否滿足這些基本公理：

（1）具有基本運(yùn)算：加法和乘法；（注意，這里的加法和乘法只是一種泛稱，并不一定對(duì)應(yīng)著數(shù)字運(yùn)算中的加法和乘法。）

（2）封閉性：對(duì)于加法和乘法封閉；

（3）交換律&結(jié)合律&分配律；

（4）存在單位元：對(duì)于加法和乘法，均存在單位元，其滿足任意元素與之經(jīng)過對(duì)應(yīng)運(yùn)算之后，該元素不變。（例如，對(duì)于數(shù)字運(yùn)算的加法，單位元是0，任何數(shù)與之相加都不變；乘法的單位元就是1。）

（5）存在逆元：對(duì)于加法和乘法，除個(gè)別元素外，任意元素均存在對(duì)應(yīng)的逆元，其滿足任意元素與其逆元運(yùn)算之后，結(jié)果為單位元。（例如，對(duì)于加法而言，任何一個(gè)數(shù)的相反數(shù)就是該數(shù)的逆元，相加的結(jié)果是0；乘法的逆元就是其倒數(shù)。）

最后，我們來給出樣本空間的分割的概念，這對(duì)于我們后面研究各種概率論的問題都有所幫助。它可以簡(jiǎn)化被研究的問題，因而被廣泛應(yīng)用于各種各種概率與統(tǒng)計(jì)研究中：

對(duì)樣本空間 $%5CvarOmega%20$ ，如果有n個(gè)事件 $D_1%EF%BC%8CD_2%EF%BC%8C%5Ccdots%EF%BC%8CD_n$ ，滿足：

（1） $%5Cforall%20i%E2%89%A0j%EF%BC%8CD_i%5Ccap%20D_j%3D%5Cvarnothing%20$ ；

（2） $%5Cbigcup_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20D_i%3D%5CvarOmega%20$

則稱 $D_1%EF%BC%8CD_2%EF%BC%8C%5Ccdots%EF%BC%8CD_n$ 構(gòu)成了樣本空間 $%5CvarOmega%20$ 的一組分割。

思考：

證明De Morgen定理；
證明命題1；
寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間：

（1）拋三枚硬幣；

（2）連續(xù)拋一枚硬幣，直到出現(xiàn)正面為止；

（3）擲兩顆骰子；
設(shè)A，B，C為三個(gè)事件，試表示下列事件：

（1）A，B，C都發(fā)生或都不發(fā)生；

（2）A，B，C中至多一個(gè)發(fā)生；

（3）A，B，C中至少有兩個(gè)發(fā)生；
設(shè)X為隨機(jī)變量，其樣本空間為 $%5CvarOmega%20%3D%5C%7B0%5Cle%20X%5Cle%202%5C%7D$ 。記事件：

$A%3D%5C%7B0.5%20%EF%BC%9CX%20%5Cle%201%5C%7D%EF%BC%8CB%3D%5C%7B0.25%20%5Cle%20X%20%EF%BC%9C1.5%5C%7D$

寫出下列各事件：

（1） $%5Coverline%20%7BA%7DB$ ；

（2） $%5Coverline%20%7BA%7D%5Ccup%20B$ ；

（3） $%5Coverline%20%7BAB%7D$ ；

（4） $%5Coverline%20%7BA%5Ccup%20B%7D$ ；
證明下列事件的運(yùn)算公式：

（1） $A%3DAB%5Ccup%20A%5Coverline%20%7BB%7D$

（2） $A%5Ccup%20B%3DA%5Ccup%20%5Coverline%20%7BA%7DB$
設(shè) $%5Cmathscr%20%7BF%7D$ 為一個(gè)事件域，若：

$A_n%20%5Cin%20%5Cmathscr%20%7BF%7D%EF%BC%8Cn%3D1%2C2%2C%5Ccdots$

試證明：

（1） $%5Cvarnothing%20%5Cin%20%5Cmathscr%20%7BF%7D$ ；

（2） $%5Cbigcup_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20A_i%20%5Cin%20%5Cmathscr%20%7BF%7D%5Cquad%20(n%5Cge%201)$ ；

（3） $%5Cbigcap_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20A_i%20%5Cin%20%5Cmathscr%20%7BF%7D%5Cquad%20(n%5Cge%201)$ ；

（4） $%5Cbigcap_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%E2%88%9E%7D%20A_n%20%5Cin%20%5Cmathscr%20%7BF%7D$ ；

（5） $A_i-A_j%20%5Cin%20%5Cmathscr%20%7BF%7D$