個(gè)人筆記

2.2 排列

1.排列是有序數(shù)值 中間不能缺 1245不是排列

2.逆序數(shù)如何計(jì)算：標(biāo)箭頭 然后數(shù)有幾個(gè)數(shù)字比6小 有五個(gè) 以此類(lèi)推相加。如果有奇數(shù)個(gè) 就是奇排列 反之偶排列。

2.3 n階行列式

n＝4k+1或者4k時(shí)為偶排列

n＝4k+2或+3時(shí)是奇排列

行列式形狀是方的 用直線

矩陣用（）和 [ ]

主對(duì)角線全是正 副對(duì)角線考慮正負(fù)

2.4 行列式的性質(zhì)

轉(zhuǎn)置行列式就是把原始的行變成列 列變成行

性質(zhì)一：轉(zhuǎn)置行列式與原行列式相等

性質(zhì)二：交換行列式的兩行 要變號(hào)

推論：行列式中 兩行（列）相等 D=0

性質(zhì)三：用k去乘行列式的某一行元素等于用k去乘行列式

推論一：D中有一行的元素都有公因子k k往外提一次，D中所有元素都有公因子k往外提n次推論二：D中兩行成比例 D=0

性質(zhì)四：見(jiàn)下圖（例如 把一個(gè)行列式分成兩個(gè)相加 第一行拆開(kāi)后 其他行保持不變 不能全部都拆開(kāi)）

性質(zhì)五：將D的某一行（列）元素都乘以k 加到零一行上去 D值不變

2.6 行列式按一行（列）展開(kāi)

1.余子式就是劃個(gè)十 剩余的部分（M

代數(shù)余子式是在前頭乘以（-1）的 角標(biāo)和 次方(A

2.行列式按行（列）展開(kāi)定理：

n階行列式=它的某一行（列）的元素 與 其對(duì)應(yīng)的代余子式的乘積之和

?學(xué)會(huì)構(gòu)造

（1）計(jì)算第一問(wèn)的余子式與第四行是什么無(wú)關(guān)。原式子第四行有對(duì)應(yīng)的余子式 第一問(wèn)也有對(duì)應(yīng)的余子式。那我們就構(gòu)造第四行是1111即第一問(wèn)的系數(shù)。可以看見(jiàn)右下角計(jì)算A21+A22 可以構(gòu)造成1100

異乘變零定理（期末考得不多 考研多）:某一行元素與另一行元素的代數(shù)余子式乘積之和=0

原理：前面提到的構(gòu)造＋行列式兩行相等 行列式＝0

2.8 拉普拉斯定理-行列式的乘法規(guī)則

2階子式：兩條杠交集的數(shù)字

余子式：剩下的

代數(shù)余子式（-1）的右上角：二三行三四列 然后相加

拉普拉斯定理（適用于有一塊0的）：在D中取定 k行 由這k行所組成的一切k階子式與其代數(shù)余子式乘積之和=D（意思就是 先取定三行 然后再取三列 比如123列 124列 125列然后算出來(lái)相加）

2.7 克拉默法則 （缺點(diǎn)：計(jì)算量大）

定理：含有n個(gè)方程n個(gè)未知數(shù)的n元方程組 其系數(shù)行列式≠0時(shí) x1=D1/D X2=D2/D Xn=Dn/D

（D1就是方程組最右邊一列數(shù)取代D中第一列 D2D3同理）

條件：

①方程個(gè)數(shù)=未知數(shù)個(gè)數(shù)(因?yàn)橐龀尚辛惺?行列式是方的)

②D≠0（因?yàn)榉帜覆豢梢詾?）

齊次線性方程組：常數(shù)項(xiàng)全部為0的線性方程組

方程組如上 但是常數(shù)項(xiàng)全為0 方程組只有零解 （行列式只要有一行/列全是0 D=0）

①齊次方程組一定有解 至少有零解（解=0）

②齊次 方程個(gè)數(shù)＝未知數(shù)個(gè)數(shù) D≠0，只有零解（滿足克萊姆法則 用右邊一列0取代 分子上的 行列式對(duì)應(yīng)列 解＝0）

③齊次 方程個(gè)數(shù)=未知數(shù)個(gè)數(shù)

如果有非0解 D=0 /如果D=0 有非零解

（②的逆否命題 如果D≠0 怎么可能有非零解 應(yīng)該只有零解）

2.5 行列式的計(jì)算1

（ 1）

（2）爪形行列式解體技巧一樣：用-2消掉1，-3消掉1，以此類(lèi)推 （想辦法化成上三角下三角）

（3）也可以直接把最后一行按行列式展開(kāi)計(jì)算

行列式計(jì)算2

（1）（2）都要用范德蒙（ps：范德蒙德在線代1.4）

（3）考研真題

①用拉普拉斯定理

②

行列式計(jì)算3

（1）加邊法【用的少】＋爪形

豎著看 說(shuō)是因?yàn)閄1 X1 X1/X2 X2 X2/XnXnXn 所以用加邊法（加一行加一列的意思）

3.2 n維向量空間

【α=（a1a2...an) 其中a代表幾維

α的行向量 通過(guò)轉(zhuǎn)置就變成列向量了

（行矩陣和行向量一個(gè)意思 不過(guò)前者沒(méi)有逗號(hào)）

問(wèn)：兩個(gè)零向量相等嗎 答：不相等 維數(shù)不一定相同

向量的相等：同種的向量 每個(gè)分量都相等

eg：（a，b，c）=（1，2，3）】

線性運(yùn)算：α是向量/矩陣 k是常數(shù)

AB=0推不出A=0或B=0（AB是矩陣 矩陣乘法三個(gè)不滿足）

3.3 線性相關(guān)性

線性組合：k可以全是0 得到的不就是零向量

線性表示：

線性表示結(jié)論：

線性相關(guān)：k不全為0（找到一組就行）

線性無(wú)關(guān)：找不到k不全為0的情況

結(jié)論：

（3）（4）考研用得很多

（8）線性無(wú)關(guān)的向量組的接長(zhǎng)向量組也無(wú)關(guān)

線性相關(guān)的向量組的截短向量組也相關(guān)【少】

部分組相關(guān) 整體相關(guān)

整體無(wú)關(guān) 部分無(wú)關(guān)【多】

（9）向量組有兩個(gè)向量組成比例 則該向量組相關(guān)

向量組的等價(jià)

矩陣的等價(jià)是 由A初等變換得到B，A等價(jià)于B

向量組的等價(jià)：（1）（2）可以相互線性表示

①反身性 ②對(duì)稱性 ③傳遞性

p61先空著 好煩 不想看

極大無(wú)關(guān)組（所含向量個(gè)數(shù)最多的線性無(wú)關(guān)的部分組）：a1 a2是向量組的部分組。①部分組無(wú)關(guān)【r個(gè)】②任一向量均可由部分組表示。

任【r+1】個(gè)向量都相關(guān)

結(jié)論：①零向量 沒(méi)有極大無(wú)關(guān)組

②線性無(wú)關(guān)的向量組其極大無(wú)關(guān)組是本身

③向量組的極大無(wú)關(guān)組可能不唯一

④向量組與極大無(wú)關(guān)組是等價(jià)的

⑤向量組的兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組等價(jià) 且所含有向量個(gè)數(shù)相同

⑥ 向量組（1）可以由向量組（2） 表示 則1的極大無(wú)關(guān)組也可以由（2）的極大無(wú)關(guān)組表示

⑦等價(jià)的向量組 其極大無(wú)關(guān)組也等價(jià)（傳遞性）

求極大無(wú)關(guān)組

初等行（列）變換不改變矩陣列（行）向量的線性關(guān)系

↓要化成行簡(jiǎn)化

后面順序亂掉了 有點(diǎn)找不到是第幾節(jié)

4.2 矩陣的運(yùn)算

矩陣的數(shù)乘

矩陣提取公因子：矩陣所有元素都有公因子k k往外提一次

行列式提公因子：一行有公因子k k往外提取一次，n行都有公因子k 提取n次

規(guī)律

矩陣的乘法

①矩陣列數(shù)等于矩陣行數(shù)

②結(jié)果矩陣（c）的行數(shù)等于第一個(gè)（a）的行數(shù) 列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的列數(shù)（b)

中間相等取兩頭 就是c的格式

eg A2×3 B3×4 結(jié)果矩陣就是2×4

矩陣不相乘不滿足什么

ab≠ba （b或者a是單位矩陣的時(shí)候可以相等

ac＋bc＝c（a＋b）是錯(cuò)的 c應(yīng)該在右邊。

即＝（a＋b）c

結(jié)論：

（1）不滿足交換律：① ab能相乘的時(shí)候ba不一定可以。畢竟要滿足中間相等。

②即使ab ba都有意義 一般兩個(gè)不相等

③如果ab＝ba 叫做ab是可交換的

（2）不滿足消去律：若AB＝AC 且A≠0 推不出B＝C。（矩陣＝0可以是各種各樣的）

但是A可逆的時(shí)候推得出 左右兩邊同乘A的-1次方 其積是單位矩陣 這時(shí)候B＝C

（3）④兩個(gè)非0矩陣的乘積可能是零矩陣（所以AB＝0推不出A等于0或者B等于0.AB是矩陣）

但是B可逆的時(shí)候 可以推出A＝0

矩陣相乘滿足：

（1）結(jié)合律：（AB）C＝A(BC)

（2）分配律：（A＋B）C＝AC＋BC

（3）k（AB）＝（kA）B＝A（kB）

(4)AE=A , EA=A

(5)A*0矩陣=0矩陣 , 0矩陣*A=0矩陣

(6)1*A=A ，0數(shù)字*A=0矩陣

（7）A=aE AB=aEB=aB

（8）對(duì)角型?對(duì)角型=對(duì)角型（就主對(duì)角線有數(shù)字 相應(yīng)數(shù)字相乘）

矩陣的初等變換

行/列：①交換兩行 ②非0數(shù)乘以某一行 矩陣不變行列式變 ③某一行的l倍加到另一行上去

矩陣的標(biāo)準(zhǔn)型（任意矩陣都有標(biāo)準(zhǔn)型 可以不是方陣）：除了最上面那個(gè) 其他被杠掉的都不是標(biāo)準(zhǔn)型。標(biāo)準(zhǔn)型左上角就得是1 斜著連續(xù)的1。像第二行第二個(gè)全是0也可以。

伴隨矩陣

①只有方陣有 但不是所有的方陣都有伴隨矩陣

②按行求 按列放。（記得是代數(shù)余子式的轉(zhuǎn)置

性質(zhì)

①AA?＝A?A等于|A|E