【種花家務(wù)·代數(shù)】2-3-10可以化為二元一次方程組或三元一次方程組來解的分式方程組

2023-12-04 13:03 作者:山嵓 0人讀過 | 我要投稿

【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學叢書6677版』，此版叢書是“數(shù)理化自學叢書編委會”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎(chǔ)自學教材，本系列叢書共包含17本，層次大致相當于如今的初高中水平，其最大特點就是可用于“自學”。當然由于本書是大半個世紀前的教材，很多概念已經(jīng)與如今迥異，因此不建議零基礎(chǔ)學生直接拿來自學。不過這套叢書卻很適合像我這樣已接受過基礎(chǔ)教育但卻很不扎實的學酥重新自修以查漏補缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫的注解。

【山話嵓語】我在原有“自學叢書”系列17冊的基礎(chǔ)上又添加了1冊八五人教甲種本《微積分初步》，原因有二：一則，我是雙魚座，有一定程度的偶雙癥，但“自學叢書”系列中代數(shù)4冊、幾何5冊實在令我刺撓，因此就需要加入一本代數(shù)，使兩邊能夠?qū)ε计胶?；二則，我認為《微積分初步》這本書對“準大學生”很重要，以我的慘痛教訓為例，大一高數(shù)第一堂課，我是直接蒙圈，學了個寂寞。另外大學物理的前置條件是必須有基礎(chǔ)微積分知識，因此我所讀院校的大學物理課是推遲開課；而比較生猛的大學則是直接開課，然后在緒論課中猛灌基礎(chǔ)高數(shù)（例如田光善舒幼生老師的力學課）。我選擇在“自學叢書”17本的基礎(chǔ)上添加這本《微積分初步》，就是希望小伙伴升大學前可以看看，不至于像我當年那樣被高數(shù)打了個措手不及。

第三章一次方程組??

§3-10可以化為二元一次方程組或者三元一次方程組來解的分式方程組

【01】含有分式方程的方程組，叫做分式方程組。例如， $%5Cscriptsize%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D2x-y%3D3%2C%26%5C%5C%5Cdfrac%7Bx%7D%7By%7D%3D%5Cdfrac%7B3%7D%7B4%7D%3B%26%5C%5C%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%5Cdfrac%7B2%7D%7Bx%7D%2B%5Cdfrac%7B3%7D%7By%7D%3D-1%2C%5C%5C%5Cdfrac%7B1%7D%7Bx%7D-%5Cdfrac%7B1%7D%7By%7D%3D-6%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$ 等等都是分式方程組。第一個方程組里只有一個方程是分式方程，第二個方程組里，兩個方程都是分式方程。

【02】下面我們研究可以化為二元一次方程組或者三元一次方程組來解的分式方程組的解法。

例1.解方程組：

$%5Csmall%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cdfrac%7B5%7D%7Bx%2B2%7D-%5Cdfrac%7B1%7D%7By%2B3%7D%3D0%2C%26(1)%5C%5C%5Cdfrac%7By%2B5%7D%7Bx-2%7D%3D3.%26(2)%5Cend%7Bcases%7D$

【解】先把原方程組變形成整式方程組。

????????方程(1)的兩邊都乘以 (x＋2)(y＋3)，并加以整理，得 5(y＋3)－(＋2)＝0，

????????就是－x＋5y＝－13……(3)

????????方程(2)的兩邊都乘以 (x－2)，得 y＋5＝3(x－2)，

????????就是 3x－y＝11……(4)

????????解(3)和(4)組成的方程組，得 $%5Cscriptsize%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7Dx%3D3%2C%5C%5Cy%3D-2.%5Cend%7Barray%7D%5Cright.%5Cright.$

????????把 x＝3，y＝－2 代入原方程組里的方程(1)和(2)，都能適合，所以原方程組的解是 $%5Cscriptsize%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7Dx%3D3%2C%5C%5Cy%3D-2.%5Cend%7Barray%7D%5Cright.%5Cright.$

【說明】由于把分式方程變形成整式方程，所以從解整式方程組中所得到的解，必須代入原分式方程組中進行檢驗；如果適合，就是原方程組的解，如果不適合，就是增解，應(yīng)該把它去掉。這點和第一章中解一元分式方程時必須進行檢驗是同樣的道理。

習題3-10(1)

解下列各方程組：

$%5Csmall%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%26%5Cmathbf1.%5Cbegin%7Bcases%7D%7B%5Cdfrac%7Bx%7D%7By%7D%7D%3D%7B%5Cdfrac%7B2%7D%7B3%7D%7D%2C%5C%5C%7B%5Cdfrac%7Bx-1%7D%7By%2B3%7D%7D%3D%7B%5Cdfrac%7B1%7D%7B3%7D%7D.%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%262.%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cdfrac%7B4%7D%7Bx%2B1%7D%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7By%2B4%7D%2C%5C%5C%5Cdfrac%7By%2B2%7D%7Bx-2%7D%2B1%3D0.%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%263.%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cdfrac%7By%2B2%7D%7Bx%2B1%7D%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B5%7D%2C%5C%5C%5Cdfrac%7B2x-5%7D%7B4%7D-%5Cdfrac%7B3y%2B4%7D%7B3%7D%3D%5Cfrac%7B5%7D%7B12%7D.%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%264.%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cdfrac%7B4%7D%7Bx%7D%2B%5Cdfrac%7B5%7D%7By%7D%3D0%2C%5C%5C%5Cdfrac%7Bx%7D%7Bx%2B4%7D-%5Cdfrac%7By%2B1%7D%7By-3%7D%3D0.%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%265.%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cdfrac%7Bx-1%7D%7Bx%2B15%7D%3D%5Cdfrac%7By-6%7D%7By%2B2%7D%2C%5C%5C%5Cdfrac%7Bx-3%7D%7Bx%7D%3D%5Cdfrac%7By-4%7D%7By-1%7D.%5Cend%7Bcases%7D%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

【答案】

$%5Csmall%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%26%5Cleft.1.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3D4%2C%5C%5Cy%3D6%3B%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.2.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3D3%2C%5C%5Cy%3D-3%3B%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.3.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3D4%2C%5C%5Cy%3D-1%3B%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5C%5C%0A%26%26%5Cleft.4.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%7Bx%3D4%2C%7D%5C%5C%7By%3D-5%3B%7D%5C%5C%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.5.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%7Bx%3D9%2C%7D%5C%5C%7By%3D10.%7D%5C%5C%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

【03】有些特殊形式的分式方程組，我們可以利用改變未知數(shù)的方法，把它變成二元或者三元一次方程組再解，下面舉例來說明。

例2.解方程組：

$%5Csmall%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%5Cdfrac%7B2%7D%7Bx%7D%2B%5Cdfrac%7B3%7D%7By%7D%3D-1%2C%26%26(1)%5C%5C%5Cdfrac%7B1%7D%7Bx%7D-%5Cdfrac%7B4%7D%7By%7D%3D-6.%26%26(2)%5C%5C%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright..$

【分析】觀察這個方程組，可以看出， $%5Cscriptsize%5Cfrac%7B2%7D%7Bx%7D%3D2%5Ccdot%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%2C%5Cquad%5Cfrac%7B3%7D%7By%7D%3D3%5Ccdot%5Cfrac%7B1%7D%7By%7D%2C%5Cquad%5Cfrac%7B4%7D%7By%7D%3D4%5Ccdot%5Cfrac%7B1%7D%7By%7D$ ? 。如果把 1/x 和?1/y?看做新的未知數(shù)，那末它就可以變形成二元一次方程組的形式，先求出?1/x?和?1/y?的值，然后再求 x 和 y 的值。

【解】設(shè)?1/x＝u，?1/y＝v；那末原方程組就變成：

???????? $%5Csmall%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D2u%2B3v%3D-1%2C%26%26(3)%5C%5Cu-4v%3D-6.%26%26(4)%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$

????????解這個方程組，得 $%5Cscriptsize%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7Du%3D-2%2C%5C%5Cv%3D1%2C%5Cend%7Barray%7D%5Cright.%5Cright.$

????????就是 $%5Cscriptsize%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cdfrac%7B1%7D%7Bx%7D%3D-2%2C%5C%5C%5Cdfrac%7B1%7D%7By%7D%3D1.%5Cend%7Bcases%7D$

????????因此 $%5Cscriptsize%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3D-%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%2C%5C%5Cy%3D1.%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$

????????把 x＝－1/2，y＝1 代入原方程組都能適合。所以原方程組的解是 $%5Cscriptsize%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3D-%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%2C%5C%5Cy%3D1.%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$

【說明1】象本題這樣用新的未知數(shù)代替原有的未知數(shù)的方法，叫做輔助未知數(shù)法（也叫做換元法）。以后解方程或者解方程組時常會用到。

【說明2】本題如果按例1的方法一樣，先化成整式方程，將要出現(xiàn)含有 xy 的項，這就超出了二元一次方程組的范圍，不僅目前不能解，并且解法也比較麻煩。這樣可以看出引入輔助未知數(shù)法的優(yōu)點了。

例3.解方程組：

$%5Csmall%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cdfrac%7B2%7D%7Bx-3%7D%2B%5Cdfrac%7B5%7D%7B2y%2B3%7D%3D-4%2C%26(1)%5C%5C%5Cdfrac%7B6%7D%7Bx-3%7D-%5Cdfrac%7B2%7D%7B2y%2B3%7D%3D5.%26(2)%5Cend%7Bcases%7D$

【分析】利用輔助未知數(shù)法，把 $%5Cscriptsize%5Cfrac%7B1%7D%7Bx-3%7D$ 和 $%5Cscriptsize%5Cfrac%7B1%7D%7B2y%2B3%7D$ 看做新的未知數(shù)，先求出 $%5Cscriptsize%5Cfrac%7B1%7D%7Bx-3%7D$ 和 $%5Cscriptsize%5Cfrac%7B1%7D%7B2y%2B3%7D$ 的值，然后再求 x 和 y 的值。

【解】設(shè) $%5Cscriptsize%5Cfrac%7B1%7D%7Bx-3%7D%3Du%2C%5Cfrac%7B1%7D%7B2y%2B3%7D%3Dv$ ；那末原方程組就變成：

???????? $%5Csmall%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D2u%2B5v%3D-4%2C%26%26(3)%5C%5C6u-2v%3D5.%26%26(4)%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$

????????解這個方程組，得 $%5Cscriptsize%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Du%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%2C%5C%5Cv%3D-1.%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$

????????就是 $%5Cscriptsize%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cdfrac%7B1%7D%7Bx-3%7D%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%2C%5C%5C%5Cdfrac%7B1%7D%7B2y%2B3%7D%3D-1.%5Cend%7Bcases%7D$

????????由 $%5Cscriptsize%5Cfrac%7B1%7D%7Bx-3%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D$ ，x－3＝2，∴ x＝5；

????????由 $%5Cscriptsize%5Cfrac1%7B2y%2B3%7D%3D-1$ ，2y＋3＝－1，∴ y＝－2? 。

????????以 x＝5，y＝－2 代入原方程組都能適合。所以原方程組的解是 $%5Cscriptsize%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3D5%2C%5C%5Cy%3D-2.%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$

【04】解三元分式方程組，也可以采用同樣的方法。

例4.解方程組：

$%5Csmall%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cdfrac%7B1%7D%7Bx%7D-%5Cdfrac%7B2%7D%7By%7D%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7Bz%7D%3D1%2C%26(1)%5C%5C%5Cdfrac%7B2%7D%7Bx%7D%2B%5Cdfrac%7B3%7D%7By%7D-%5Cdfrac%7B1%7D%7Bz%7D%3D-3%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%2C%26(2)%5C%5C%5Cdfrac%7B3%7D%7Bx%7D-%5Cdfrac%7B1%7D%7By%7D-%5Cdfrac%7B2%7D%7Bz%7D-9%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D.%26(3)%5Cend%7Bcases%7D$

【分析】把 1/x，1/y，1/z 看做新的未知數(shù)，用輔助未如數(shù)法解這個方程組。

【解】設(shè) 1/x＝u，1/y＝v，1/z＝w；那末原方程組就變成：

???????? $%5Csmall%5Cbegin%7Bcases%7Du-2v%2Bw%3D1%2C%26(4)%5C%5C2u%2B3v-w%3D-3%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%2C%26(5)%5C%5C3u-v-2w%3D-9%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D.%26(6)%5Cend%7Bcases%7D$

????????先消去 w? 。

????????(4)＋(5)： $%5Cscriptsize3u%2Bv%3D-2%5Cfrac12.%5Cquad(7)$

????????(4)?× 2＋(6)： $%5Cscriptsize5u-5v%3D-7%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D.%5Cquad(8)$

????????解(7)和(8)組成的二元一次方程組，得 $%5Cscriptsize%5Cbegin%7Bcases%7Du%3D-1%2C%5C%5Cv%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D.%5Cend%7Bcases%7D$

????????以 u＝－1，v＝1/2 代入(4)，得－1－1＋w＝1，∴ w＝3? 。

????????就是 $%5Cscriptsize%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cdfrac%7B1%7D%7Bx%7D%3D-1%2C%5C%5C%5Cdfrac%7B1%7D%7By%7D%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%2C%5C%5C%5Cdfrac%7B1%7D%7Bz%7D%3D3.%5Cend%7Bcases%7D$ ∴? $%5Cscriptsize%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%7Bx%3D-1%2C%7D%5C%5C%7By%3D2%2C%7D%5C%5C%7Bz-%5Cdfrac%7B1%7D%7B3%7D.%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright.%5Cright.$

????????以 x＝－1，y＝2，z＝1/3 代入原方程組，都能適合。

????????所以原方程組的解是 $%5Cscriptsize%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%7Bx%3D-1%2C%7D%5C%5C%7By%3D2%2C%7D%5C%5C%7Bz-%5Cdfrac%7B1%7D%7B3%7D.%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright.%5Cright.$

習題3-10(2)

解下列各方程組(1~8)：

$%5Csmall%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%261.%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cdfrac1x%2B%5Cdfrac1y%3D%5Cdfrac56%2C%5C%5C%5Cdfrac1x-%5Cdfrac1y%3D%5Cdfrac16.%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%262.%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cdfrac1x-%5Cdfrac8y%3D8%2C%5C%5C%5Cdfrac5x%2B%5Cdfrac4y%3D51.%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%263.%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cdfrac%7B2%7D%7Bx%2B4%7D%2B%5Cdfrac%7By%7D%7B2%7D%3D5%2C%5C%5C%5Cdfrac%7B3%7D%7Bx%2B4%7D-%5Cdfrac%7By%7D%7B3%7D%3D1.%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%264.%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cdfrac%7B1%7D%7Bx%2By%7D%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7By%7D%3D2%2C%5C%5C%5Cdfrac%7B1%7D%7Bx%2By%7D-%5Cdfrac%7B1%7D%7By%7D%3D0.%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%265.%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cdfrac%7B10%7D%7Bx%2By%7D%2B%5Cdfrac%7B3%7D%7Bx-y%7D%2B5%3D0%2C%5C%5C%5Cdfrac%7B15%7D%7Bx%2By%7D-%5Cdfrac%7B2%7D%7Bx-y%7D%2B1%3D0.%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%266.%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cdfrac%7B5%7D%7B2x-1%7D%2B%5Cdfrac%7B2%7D%7B3y%2B4%7D%3D3%2C%5C%5C%5Cdfrac%7B3%7D%7B1-2x%7D-%5Cdfrac%7B1%7D%7B3y%2B4%7D%3D-%5Cdfrac%7B6%7D%7B5%7D.%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%267.%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cdfrac%7B1%7D%7Bx%7D%2B%5Cdfrac%7B2%7D%7By%7D%2B%5Cdfrac%7B3%7D%7Bz%7D%3D%5Cdfrac%7B5%7D%7B12%7D%2C%5C%5C%5Cdfrac%7B2%7D%7Bx%7D-%5Cdfrac%7B1%7D%7By%7D-%5Cdfrac%7B4%7D%7Bz%7D%3D%5Cdfrac%7B5%7D%7B6%7D%2C%5C%5C%5Cdfrac%7B3%7D%7Bx%7D%2B%5Cdfrac%7B5%7D%7By%7D-%5Cdfrac%7B2%7D%7Bz%7D%3D2%5Cdfrac%7B3%7D%7B4%7D.%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%268.%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cdfrac%7B2%7D%7Bx%7D-%5Cdfrac%7B1%7D%7By%7D%3D5%2C%5C%5C%5Cdfrac%7B3%7D%7By%7D%3D-%5Cdfrac%7B1%7D%7Bx%7D%2C%5C%5C%5Cdfrac%7B2%7D%7Bx%7D%3D%5Cdfrac%7B5%7D%7Bx%7D-4.%5Cend%7Bcases%7D%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

[提示：第6題中，1－2x 應(yīng)該先化成－(2x－1)，然后用輔助未知數(shù)法解.]

解下列關(guān)于公和y的方程組(9~12)：

$%5Csmall%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%269.%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cdfrac%7Ba%7D%7Bx%7D%2B%5Cdfrac%7Bb%7D%7By%7D%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B3%7D%2C%5C%5C%5Cdfrac%7Bb%7D%7Bx%7D%2B%5Cdfrac%7Ba%7D%7By%7D%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cend%7Bcases%7D(a%5E2%5Cneq%20b%5E2).%5C%5C%0A%26%2610.%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cdfrac%7Ba%7D%7B2x%7D%2B%5Cdfrac%7Bb%7D%7By%7D%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%2C%5C%5C%5Cdfrac%7Ba%7D%7Bx%7D-%5Cdfrac%7Bb%7D%7B3y%7D%3D-1.%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%2611.%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cdfrac%7Ba%7D%7B2(x%2By)%7D%2B%5Cdfrac%7Bb%7D%7B3(x-y)%7D%3D5%2C%5C%5C%5Cdfrac%7Ba%7D%7B3(x%2By)%7D%2B%5Cdfrac%7Bb%7D%7B2(x-y)%7D%3D5.%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%2612.%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cdfrac%7B3a%7D%7B2x-2%7D%2B%5Cdfrac%7B2b%7D%7B6y-3%7D%3D1%2C%5C%5C%5Cdfrac%7Bb%7D%7B1-2y%7D-%5Cdfrac%7Ba%7D%7B1-x%7D%3D0.%5Cend%7Bcases%7D%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

[提示：2x－2 和 6y－3 可以分別化成 2(x－1) 和 3(2y－1)，然后用換元法來解]

【答案】

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【種花家務(wù)·代數(shù)】2-3-10可以化為二元一次方程組或三元一次方程組來解的分式方程組

習題3-10(1)

習題3-10(2)