前言

???? ? ?本文將給出開關電源Boost升壓拓撲各個元件的應力（主要是電流應力），所有公式均經過我親自推導并與參考書籍進行校對。本文僅提供結論，推導過程省略。

目錄

1、占空比

2、電感各應力

????2.1 電感電流波形

????2.2 伏秒積

????2.3 電感電流紋波系數

????2.4 電感電流峰值

????2.5 電感電流有效值

????2.6 電感峰值能量

3、開關管各應力

????3.1 開關管電流波形

????3.2 開關管電流平均值

????3.3 開關管電流有效值

????3.4 開關管電壓波形

????3.5 開關管電壓峰值

4、二極管各應力

????4.1 二極管電流波形

????4.2 二極管電流平均值

????4.3 二極管電流有效值

????4.4 二極管電壓波形

????4.5 二極管電壓峰值

5、輸入電容各應力

????5.1 輸入電容電流波形

????5.2 輸入電容電流有效值

????5.3 輸入電壓紋波峰峰值

6、輸出電容各應力

????6.1 輸出電容電流波形

????6.2 輸出電容安秒積

????6.3 輸出電容電流有效值

????6.4 輸出電壓紋波峰峰值

7、蜘蛛狀應力曲線

?

正文

1、占空比

? ? ? ??在已知輸入電壓Vin和輸出電壓Vout的情況下，預估二極管壓降VD和開關管壓降VQ后，可近似計算開關的占空比D（Duty Cycle）。

? ? ? ??二極管壓降VD的存在導致輸出電壓整體降低，降低了輸出電壓的下限（D = 0時Vout <?Vin）；占空比的上限被拓撲約束至小于1（D?< 1）并且該約束與VD和VQ是否存在均無關。將圖1.1中的式子形式轉換下得：

? ? ? ??無論VD和VQ（VQ?< Vin）為多少，計算lim?D→1均會得到Vout→∞，即D?= 1時輸出電壓為無窮大。對于實際工程而言，令D?= 1將會導致開關管迅速損壞，導致電路發(fā)生災難性故障。

? ? ? ??當Vin和Vout可變時，輸入電壓最小、輸出電壓最大時占空比最大；輸入電壓最大、輸出電壓最小時占空比最小，即Dmax?= D(Vin_min,Vout_max)，Dmin = D(Vin_max,Vout_min)。其隨Vin和Vout的分布規(guī)律如下所示：

2、電感各應力

????2.1 電感電流波形

? ? ? ??電感為開關電源拓撲中的核心元件，其選用關乎整個電源的工作情況。在電源工作在連續(xù)導通模式（CCM）且處于穩(wěn)態(tài)時，其電流波形如下：

? ?? ? ?在開關管導通時，輸入電壓Vin全部施加到電感上（忽略VQ），由于Vin幾乎固定，因此電感電流線性增加，電感開始儲存能量；在開關管截止時，電感電壓翻轉，與輸入電壓疊加在一起將存儲的能量和輸入端的能量一并傳送到輸出端，由于Vout幾乎固定，電感電流將線性減小，直到開關管重新導通。將該過程循環(huán)，最終電感電流穩(wěn)定為帶直流偏置的三角波。

???? ? ?后續(xù)的公式推導將假設電源工作在連續(xù)導通模式（CCM），臨界導通模式（BCM）和強制連續(xù)導通模式（FCCM）也可兼容，但斷續(xù)導通模式（DCM）部分公式并不適用。

????2.2 伏秒積

? ? ? ??伏秒積V·t為電感承受電壓與承受時間的乘積，相當于電感磁芯中變化的磁通量。

? ? ? ??伏秒積的大小與開關頻率f（Hz）呈反比。由于電源的開關頻率f往往很高，因此常使用“伏微秒積”替代，此時f單位應修改為MHz。伏秒積隨Vin和Vout的分布規(guī)律如下圖所示，其值將在輸入和輸出電壓最大（Vin_max,Vout_max）的工況達到最大。

? ? 2.3 電感電流紋波系數

? ??? ??電感電流紋波系數r（ripple）定義為電感電流紋波峰峰值Ipp與電感電流的直流分量Idc的比值。不同于Buck拓撲中電感電流的直流分量等于輸出電流（Idc = Io），Boost拓撲中電感電流的直流分量與占空比有關，為Idc?=?Io?/?(1-D)。

? ? ? ? 式中L為電感元件的電感量，單位為H；若使用伏微秒積或頻率f單位為MHz，則電感單位為μH。同樣通過指定的r來計算出電源所需的電感值，推薦將r設置為0.4。當電源工作在CCM模式時，r的取值范圍被限定在(0,2)；當r?= 2時電源將進入BCM模式；若繼續(xù)減小Idc或者增大V·t，在普通設計中由于二極管會阻止電流逆向流動，電源將進入DCM模式；在同步整流設計中（同步Boost）同步管允許電流逆向流動，電源將進入FCCM模式，此時r?> 2。在Io最大時（電源滿負荷），若Vin與Vout最大的工況D <?0.5，則r在Vin與Vout最大的工況達到最大，否則在D = 0.5的工況達到最大值，即r在min(D(Vin_max,Vout_max),0.5)的工況下最大。r隨Vin和Vout的分布規(guī)律如下圖所示：

? ? 2.4 電感電流峰值

? ? ? ??電感電流峰值Ipk定義為電感電流直流分量Idc和交流分量Iac的加和，其中交流分量定義為紋波電流峰峰值Ipp的一半，即Iac = 1/2*Ipp。

? ? ? ??由于Boost拓撲中二極管與輸出端串聯，因此電感電流的直流分量Idc不等于輸出電流Io，而是存在以下換算關系：Idc?=?Io?/?(1-D)。因此除非D很接近0，否則Idc會比Io大許多，設計者必須注意該問題以免選用額定電流過小的電感（不管是熱額定還是磁額定）。電感必須能夠承受電流峰值而不會發(fā)生磁芯飽和，否則開關管會被瞬間損壞。

? ? ? ??Ipk的分布規(guī)律與r大不相同，由于電流直流分量Idc會在D→1時急劇膨脹，縱使交流分量Iac在別的工況達到最大，但加和后峰值電流Ipk依然在最低輸入電壓和最大輸出電壓的情況（Vin_min,Vout_max）達到最大。因此與Buck相反，Boost的最惡劣輸入電壓為Vin_min，設計電源的電感時必須從最惡劣輸入電壓開始計算。

? ? 2.5 電感電流有效值

? ? ? ??電感電流有效值Irms為電感電流波形的均方根。與Ipk相似，由于Idc貢獻的有效值比Iac大得多，因此電感電流有效值也將在最低輸入電壓和最大輸出電壓的情況（Vin_min,Vout_max）達到最大。

? ? 2.6 電感峰值能量

? ? ? ??電感存儲的磁能定義為ε?=?1/2*L*I2，當電流達到峰值Ipk時電感中存儲的能量亦達到峰值εpk。使用r來替代L和Ipk得到的電感峰值能量表達式為：

? ?? ? ?若將r設置為自變量，則電感峰值能量為一個對勾函數，其將在r = 2處取得最小值，r <?2或者r >?2均使得電感存儲的磁能增加。選用很大的電感L看似降低了r和Ipk，實際上電感需要更大體積的磁芯來存儲更多的能量ε。反之選用很小的電感L雖然降低了峰值能量，但加重了濾波電容的負擔，并且過大的紋波對輸出不利，因此電感值的選取是一個相互妥協(xié)的結果。

? ? ? ??相較于Buck拓撲，Boost拓撲的電感峰值能量計算式中還帶有占空比D。可以明顯看到，當D→1時，電感峰值能量ε將暴漲。

3、開關管各應力

????3.1 開關管電流波形

? ? ? ??開關管為開關電源拓撲中的控制元件，控制是否允許電流通過自身。因此開關管僅在導通期間有電流流過，在截止期間電流為0，其電流波形為電感電流的一半。

? ? ? ??其中開關管電流峰值IQ_pk等同于電感電流峰值Ipk。

?

????3.2 開關管電流平均值

? ? ? ??開關管電流平均值IQ_avg僅與電感電流直流分量Idc和占空比D有關。當開關管為BJT和IGBT時，開關管的飽和壓降基本不變，因此計算開關管導通損耗應使用電流平均值。

? ? ? ??與Buck拓撲不同，Boost拓撲的開關管平均電流在D→1時IQ_avg→∞，其應力分布如下所示。當輸入電壓最低和輸出電壓最大時（Vin_min,Vout_max），電流平均值IQ_avg達到最大。

? ? 3.3 開關管電流有效值

????開關管電流有效值IQ_rms除了與Idc和D有關外也與r有關。當開關管為MOSFET時，開關管壓降與電流正相關，應使用電流的有效值計算開關管導通損耗。

? ? ? ??開關管電流有效值分布規(guī)律與平均值相似，雖然r在一定程度上會增大有效值，但遠不及D→1時的增加量。

? ? 3.4 開關管電壓波形

? ? ? ??開關管導通時，開關管電壓將接近0，但會有少許的導通壓降；開關管截止時，SW節(jié)點電壓會泵至Vout，開關管將承受比Vout稍高的電壓。若電源工作在CCM、BCM、FCCM模式，電壓將一直保持直到開關管重新導通；若電源工作在DCM模式，則SW節(jié)點電壓會在開關管重新導通前因為電感能量釋放完畢而下跌回Vin，此時開關管承受的電壓為Vin。在下跌的過程中將引發(fā)寄生振蕩，寄生振蕩將逐漸收斂，或在開關管重新導通前結束振蕩，或被開關管重新導通而被強制停止，其結果取決于實際設計。

? ? 3.5 開關管電壓峰值

? ? ? ??對于Boost拓撲，開關管電壓的峰值比Vout稍大，可近似等于Vout，數學表達式為Vout_max?+ VD。與電感類似，必須保證電壓峰值不得超過開關管的額定電壓，否則開關管將立即損壞。

4、二極管各應力

????4.1 二極管電流波形

? ? ? ??二極管在開關拓撲中充當續(xù)流元件，由于電感電流不能突變，當開關管截止時電流必須尋找另一條續(xù)流路徑，因此二極管電流波形為電感電流的另一半。而開關管導通時二極管截止，其流過的電流為0。

? ? ? ? 其中二極管電流峰值ID_pk等同于電感峰值電流Ipk。

?

????4.2 二極管電流平均值

? ? ? ? 由于在Boost拓撲中二極管與輸出端串聯，因此二極管電流平均值ID_avg等于平均輸出電流Io。因為二極管的正向導通壓降幾乎不隨電流改變，所以應使用二極管電流平均值計算二極管導通損耗。

? ? ? ??由于平均輸出電流Io只根外部負載有關，因此在恒定Io的情況下，二極管電流平均值跟輸入電壓Vin和輸出電壓Vout均無關系。

? ? 4.3 二極管電流有效值

? ? ? ??在Boost拓撲中，當D→1時，二極管電流波形將逐漸變成持續(xù)時間極短但幅值極高的電流脈沖。由于峰值的電流會比谷值的電流貢獻更大的有效值，因此二極管電流有效值ID_rms與D強烈相關，r對有效值的貢獻反而不是主要。當使用同步整流拓撲時（同步Boost），二極管被MOSFET取代，因此需要使用二極管電流有效值計算同步管損耗。

? ? ? ??由于有效值與峰值正相關，因此二極管電流有效值隨Vin和Vout的分布規(guī)律與Ipk相似。

? ? 4.4 二極管電壓波形

??? ? ??開關管導通時，二極管將承受輸出電壓Vout幅值的反向電壓；開關管截止時，二極管電壓接近0，但會有少許的導通壓降。若電源工作在CCM、BCM、FCCM模式，二極管將一直導通直到下一個周期開始；若電源工作在DCM模式，二極管將提前截止并開始承受反向并且?guī)в屑纳袷幍碾妷?。因為?guī)定二極管導通方向為正向，所以下圖中二極管承受的反向電壓為負數。

? ? 4.5 二極管電壓峰值

? ? ? ??對于Boost拓撲，二極管承受的反向電壓峰值為-(Vout_max -?VQ)。與電感、開關管類似，必須保證反向電壓峰值不得超過二極管的反向耐壓，否則二極管將立即損壞。

5、輸入電容各應力

????5.1 輸入電容電流波形

? ? ? ??由于Boost拓撲中電感連接在輸入端，因此平均輸入電流等于電感電流直流分量Idc，而交流分量則被輸入電容旁路。所以輸入電容電流波形為去除了直流分量的三角波。

? ?? ? ?輸入電容電流峰值為交流紋波峰峰值的一半，即ICin_pk = 1/2*Ipp = Iac。

?

????5.2 輸入電容電流有效值

???? ? ?由于輸入電容需要反復充放電，因此需要能夠承受輸入電容電流有效值ICin_rms。

? ? ? ??由于輸入電容只承擔輸入電流的交流分量，因此其隨Vin和Vout的分布規(guī)律與伏秒積相同。

? ? 5.3 輸入電壓紋波峰峰值

? ? ? ??輸入電容的反復充放電將導致輸入電壓有小幅度的紋波，紋波的變化幅度定義為輸入電壓紋波峰峰值Vin_pp。其中基于輸出電容充放電分量和輸出電容ESR分量的計算如下：

? ? ? ??可以看出Vin_pp與輸入電容容量Cin和開關頻率f呈反比關系，與電容ESR呈正比關系，當規(guī)定了Vin_pp的大小后（一般要求Vin_pp?<?1%*Vo）也就規(guī)定了Cin的下限和ESR的上限。一般而言兩種分量并非同時達到最大值，最終的Vin_pp并非兩者峰值的疊加，而是兩者峰值中的最大值（以實際疊加效果為準）。

? ? ? ??由于兩個分量均與Ipp有關，因此輸入電壓紋波峰峰值隨Vin和Vout的分布規(guī)律主要和伏秒積相似。

6、輸出電容各應力

????6.1 輸出電容電流波形

? ? ? ??當開關管導通時，二極管因電壓反偏而截止，此時輸出端無法獲得電流和能量供應，只能向輸出電容索取。當開關管截止時，導通期間電感所蓄的能量會突然沖向輸出端，此時輸出端獲得的電流和能量是過剩的，必須由輸出電容吸收過剩的電流和能量。因此在Boost拓撲中，輸出電容與電感一樣每周期進行大幅的能量充放，其電流波形如下所示：

? ? ? ?輸出電容電流峰值ICout_pk比二極管電流峰值ID_pk小，為ICout_pk = ID_pk-Io。峰峰值ICout_pp為ID_pk。

????6.2 輸出電容安秒積

? ? ? ??安秒積A·t為電容承受電流與承受時間的乘積，相當于計算電容內變化的電荷量。

? ? ? ??安秒積的大小除了與開關頻率f呈反比以及和輸出電流Io呈正比外，與占空比D呈正比，其規(guī)律與Buck拓撲的二次函數關系大不相同，當D→1時輸出電容將獲得最大的安秒積。同樣可以使用安微秒積替代安秒積以避免過小的數值。

? ? 6.3 輸出電容電流有效值

? ? ? ??輸出電容在開關周期內進行大幅度充放電，因此必須保證電容能夠承受輸出電容電流有效值ICout_rms。

? ? ? ??同樣通過計算式可知，當D→1時，輸出電容的有效值電流將趨于無窮大（ICout_rms→∞）。其隨Vin和Vout的分布規(guī)律如下所示。

? ? 6.4 輸出電壓紋波峰峰值

? ? ? ??由于輸出電容進行劇烈充放電，其輸出電壓將會產生較強的輸出電壓紋波峰峰值Vout_pp。其基于電容充放電分量分量和輸出電容ESR分量的計算如下：

? ? ? ??最終體現的電壓紋波為兩個分量的疊加，由于兩個分量一者達到極值時另一者并非極值，因此最終的Vout_pp介于兩者疊加與相消之間。

? ? ? ??由于大多數情況下紋波的ESR分量比充放電分量大，所以輸出電壓紋波峰峰值隨Vin和Vout的分布規(guī)律主要和Ipk相似。

7、蜘蛛狀應力曲線

???? ? ?為了簡化問題分析，先假設選取的電感L較大使得電流紋波系數r的值較小，不再是應力的主要影響因素；然后選取占空比作為自變量，將Vin和Vout兩個自變量降為一個。對于Boost拓撲中的五個關鍵元件，可繪制出其隨占空比變化的應力曲線，反映出元件主要電流應力隨占空比的變化。圖中曲線在D?=?0.5處進行歸一化處理，得出其蜘蛛狀應力曲線（雖然樣子并不像蜘蛛，只是沿用Buck拓撲的應力曲線命名）。僅反映變化趨勢，不代表相對和絕對大小。

? ??圖7.1中共有7種曲線，若改用表格展示如下（僅反映變化趨勢，不代表相對和絕對大小）。

后記

? ? ? ? 在推導Buck拓撲各元件應力公式半年之后，吾終于有空對剩下兩種拓撲的各元件應力公式進行推導補齊。其中Boost拓撲為Buck拓撲的鏡像，而Buck-Boost拓撲很多地方與Boost拓撲相似，歡迎讀者品味并發(fā)現公式的規(guī)律。

參考書籍：[美]Sanjaya Maniktala 著,?王建強等 譯.?精通開關電源設計[M].?中國工信出版集團,?人民郵電出版社；

使用MATLAB繪制圖像。

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by HD-nuke8800

編寫完成于： 2023/06/28