初邊值問題的分離變量法

從上一章的例題可以看出，方程具有初邊值后解決時會更加困難，所以下面我們具體考察具有初邊值條件的偏微分方程問題：

繼續(xù)使用疊加原理轉(zhuǎn)換成：

很顯然，最終的解即為：

對于方程2，我們可以從物理方面先來理解，其代表的是一段兩端固定的弦的振動，而復雜的弦振動往往可以分解成一系列簡單振動的疊加，對于每種簡單振動，我們可以發(fā)現(xiàn)可以將時間t和位移x分離出來，即如下形式：

再將一系列簡單振動的解疊加就得到我們需要的解

所以對于方程2:

我們利用分離變量的方法來解出其解的模式，做法如下：

化作了我們熟知的常微分方程，之后就是分類討論：

此時需注意，得到的解是級數(shù)的形式，那么我們需要重點關(guān)注收斂問題，那么有如下的lemma：

證明如下：

證明不難，但用到了許多關(guān)于傅立葉的知識，我準備在傅里葉分析中詳細整理。

由此lemma，我們很容易得到如下定理：

接下來簡單介紹解的物理意義：

接下來來看一個例題：

我們很容易寫出初值條件：

解法如下：

很容易發(fā)現(xiàn)，題目中的初值條件并不滿足定理3.1，那么我們解出來的是什么呢，實際上我們有：

現(xiàn)在我們來看非齊次方程的情形：

與上一章完全類似，我們依舊采用齊次化原理：

其后續(xù)做法也類似：

最后更復雜的是如果邊界條件不齊次，我們又該如何下手，即：

思路也很簡單，我們要將非齊次轉(zhuǎn)化為齊次：