給一個輕彈簧，彈簧一端固定，一端與質量為m的滑塊相連，將滑塊拉離平衡點，，不計一切摩擦阻力彈簧將會作循環(huán)往復的周期運動，怎么推導其周期公式呢

高中階段，課本并沒有給出推導，只是冷冰冰地給出其位移隨時間的變化表達式和周期公式

在許多人看來，其周期公式的推導需要依賴二階常系數(shù)齊次線性微分方程的求解，其實并不然，其實只需要高中最基本的求導就可以完成公式的推導

如果我們假設振幅為，在任意時刻的速度為v，彈簧拉伸或壓縮長度為x

根據能量守恒，我們可以得到：

如果我們對其稍加變形：

由于是一個常數(shù)，所以如果我們將??和??看作變量的話，這很明顯是一個半徑為?的圓的方程

我們可以確定的是：無論彈簧振子如何運動，它的狀態(tài)一定可以在這個圓上找到

由此我們可以得到?和??的參數(shù)方程：

?

?

毫無疑問，A是一個關于時間的函數(shù)，但我們暫時還不知道它的表達式長什么樣

又由于對時間求導可以得到速度，所以我們對?求導可得

（簡單的復合函數(shù)求導啦）

?

（表示對時間求導后的導函數(shù)）

將其帶入??

即可得到

（負號表示在圖像中彈簧振子的狀態(tài)坐標以順時針方向繞原點運動）

便是圖像中表示彈簧運動狀態(tài)的點的角速度，由計算可得角速度是一個定值，

所以如果想使振子完成一個周期，那么必須在圖像中“轉一圈”

所以彈簧振子的運動周期就是

由于角速度是個定值，所以隨時間呈一次線性關系且在圖像中斜率為

即?（C為一個常數(shù)，由你的開始記錄時彈簧振子的運動狀態(tài)有關，其實也就是課本中所說的初相），將其帶回即可得到位移隨時間變化的表達式。

如有錯誤，還望同志們幫我指出