本文中我們將主要介紹ARIMA模型，這是實(shí)際案例中最常用的一種時間序列模型。

01時間序列是什么？

時間序列數(shù)據(jù)是按時間順序排列的、隨時間變化且相互關(guān)聯(lián)的數(shù)據(jù)序列，通過研究歷史數(shù)據(jù)的變化趨勢，來評估和預(yù)測未來的數(shù)據(jù)。時間序列數(shù)據(jù)常出現(xiàn)在經(jīng)濟(jì)、金融、商業(yè)數(shù)據(jù)分析領(lǐng)域中。

02檢驗(yàn)流程

第一， 首先時間序列的預(yù)處理包括兩個方面的檢驗(yàn)，平穩(wěn)性檢驗(yàn)和白噪聲檢驗(yàn)。序列的平穩(wěn)性，一般通過時序圖和相關(guān)圖來判斷。如果序列是非平穩(wěn)的，可通過對數(shù)據(jù)進(jìn)行差分處理，然后進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)，判斷序列是否平穩(wěn)。一般在應(yīng)用中，差分的階數(shù)（d）不超過2。

第二， ARIMA模型(p,d,q) 稱為差分自回歸移動平均模型，根據(jù)原序列是否平穩(wěn)以及回歸中所含部分的不同，ARIMA模型可拆分為3項，分別是AR(p)模型、I(d)即差分、和MA(q)模型，因此需要分別確定這三個參數(shù)的階數(shù)。一般可使用偏(自)相關(guān)圖得到合適的p、q階數(shù)，以及使用ADF檢驗(yàn)得出合適的差分階數(shù)d。

第三， 在確定自回歸階數(shù)p，差分階數(shù)d值和移動平均階數(shù)q這3個參數(shù)后即可進(jìn)行模型構(gòu)建。SPSSAU的【ARIMA預(yù)測模型】可智能找出最佳模型，提供最佳的q、d、p值建議。（其原理在于利用AIC值最小這一規(guī)則，遍歷出各種可能的模型組合進(jìn)行模型構(gòu)建，并且結(jié)合AIC最小這一規(guī)則，最終得到最佳模型，省去了模型優(yōu)化的過程。）

第四， ARIMA模型結(jié)果共輸出3個表格，第1個表格是擬合模型參數(shù)表格，展示模型構(gòu)建結(jié)果情況包括回歸系數(shù)值，p值等；第2個表格是模型Q統(tǒng)計量表格，用于檢驗(yàn)殘差是否為白噪聲；第3個表格是模型預(yù)測值，提供往后12期的模型預(yù)測值。

03案例分析

（1）背景

當(dāng)前有1978~2006年共29年的人均衛(wèi)生費(fèi)用的數(shù)據(jù)，希望使用SPSSAU數(shù)據(jù)分析平臺找出合適的ARIMA模型對我國人均衛(wèi)生費(fèi)用進(jìn)行預(yù)測。

（2）數(shù)據(jù)格式

時間序列的格式包括時間和實(shí)際分析項共兩列。

比如下圖中年份就是時間項，“人均衛(wèi)生費(fèi)用”就是實(shí)際分析項。分析時并不需要設(shè)置時間項，但研究人員整理的數(shù)據(jù)一定要是這樣的格式，從上至下的日期遞增。然后將整理好的數(shù)據(jù)上傳至SPSSAU分析平臺。

時間序列的單位一般是年，比如“我國歷年的GDP數(shù)據(jù)”、“我國歷年人口數(shù)據(jù)”等。當(dāng)然如果單位為月或者季度、也或者周等，可以體現(xiàn)出數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，也一樣可以作為時間序列數(shù)據(jù)使用。

（3）平穩(wěn)性檢驗(yàn)

時間序列分析中首先遇到的問題是數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性問題。數(shù)據(jù)平穩(wěn)性可通過時序圖，直觀觀察數(shù)據(jù)特征判斷它是否是平穩(wěn)的。但是，圖檢驗(yàn)法帶有很強(qiáng)的主觀性，因此也會使用ADF檢驗(yàn)即單位根檢驗(yàn)得到更為準(zhǔn)確的判斷。

• 散點(diǎn)圖（時序圖）

操作步驟：SPSSAU【可視化】-【散點(diǎn)圖】。

一個平穩(wěn)的時間序列在圖形上往往表現(xiàn)為一種圍繞均值不斷波動的樣子，如果是非平穩(wěn)序列常常呈現(xiàn)出在不同時間段具有不同的均值。比如持續(xù)上升或持續(xù)下降。

從上圖中可以看出，圖中散點(diǎn)有明顯的上升趨勢，不符合時間序列的要求。所以將數(shù)據(jù)先取對數(shù)，然后進(jìn)行差分處理后再進(jìn)行檢驗(yàn)。

• ADF檢驗(yàn)
  

時序圖檢驗(yàn)序列平穩(wěn)性帶有很強(qiáng)的主觀性，因此也會使用ADF檢驗(yàn)即單位根檢驗(yàn)得到更為準(zhǔn)確的判斷。

單位根檢驗(yàn)可用于檢驗(yàn)時間序列是否存在單位根，如果存在單位根就說明為非平穩(wěn)序列。如果存在單位根即時間序列數(shù)據(jù)不平穩(wěn)，通常不能進(jìn)行后續(xù)的分析比如ARIMA模型。

操作步驟：

① 選擇SPSSAU【計量經(jīng)濟(jì)研究】-【ADF檢驗(yàn)】。

② 在分析框中，放入“Ln_人均衛(wèi)生費(fèi)用”。差分階數(shù)選擇“自動”，類型默認(rèn)，點(diǎn)擊開始分析。

ADF檢驗(yàn)

結(jié)果分析：

由上表可見，針對人均衛(wèi)生費(fèi)用，該時間序列數(shù)據(jù)ADF檢驗(yàn)的t統(tǒng)計量為-0.778，p值為0.825，1%、5%、10%臨界值分別為-3.700、-2.976、-2.628。

p=0.825>0.1，不能拒絕原假設(shè)，序列不平穩(wěn)。對序列進(jìn)行一階差分再進(jìn)行ADF檢驗(yàn)。
一階差分后數(shù)據(jù)ADF檢驗(yàn)結(jié)果顯示p=0.287>0.1，不能拒絕原假設(shè)，序列不平穩(wěn)，對序列進(jìn)行二階差分再進(jìn)行ADF檢驗(yàn)。
二階差分后數(shù)據(jù)ADF檢驗(yàn)結(jié)果顯示p=0.000<0.01，有高于99%的把握拒絕原假設(shè)，此時序列平穩(wěn)。因此可以考慮將差分次數(shù)d定為2。

（4）偏(自)相關(guān)圖

根據(jù)上面的平穩(wěn)性檢驗(yàn)，二階差分后的序列為平穩(wěn)序列，接下來可繪制【偏(自)相關(guān)圖】來判斷p、q的階數(shù)。

操作步驟：

① 選擇SPSSAU【計量經(jīng)濟(jì)研究】-【偏(自)相關(guān)圖】

② 在分析框中，放入“Ln_人均衛(wèi)生費(fèi)用”。差分階數(shù)選擇“2階”，點(diǎn)擊開始分析。

關(guān)于ARMA通用判斷標(biāo)準(zhǔn)說明如下表格：

1. 拖尾：始終有非零取值，不會在大于某階后就快速趨近于0（而是在0附近波動），可簡單理解為無論如何都不會為0，而是在某階之后在0附近隨機(jī)變化。

2. 截尾：在大于某階(k)后快速趨于0為k階截尾，可簡單理解為從某階之后直接就變?yōu)?。

關(guān)于拖尾和截尾的簡單解讀上，如果值無論如何都不趨近于0，那么為拖尾；如果值快速趨近于0，則為截尾。

結(jié)合ACF和PACF圖，SPSSAU自動進(jìn)行識別，最終建議自回歸階數(shù)p值為3，移動平均階數(shù)q值為3。結(jié)合上一步中確定的差分階段d，到這里我們已經(jīng)確定p、d、q三個參數(shù)的階數(shù)，接下來就可以建立ARIMA模型。

（5）ARIMA預(yù)測模型

操作步驟：

① 選擇SPSSAU【計量經(jīng)濟(jì)研究】-【ARIMA預(yù)測】

② 在時間序列框中，放入“Ln_人均衛(wèi)生費(fèi)用”。差分階數(shù)選擇“二階”，自回歸階數(shù)p選擇“3”，移動平均階數(shù)q選擇“3”，點(diǎn)擊開始分析。

結(jié)果分析：

ARIMA模型結(jié)果共輸出3個表格，第1個表格是擬合模型參數(shù)表格，展示模型構(gòu)建結(jié)果情況包括回歸系數(shù)值，p值等；第2個表格是模型Q統(tǒng)計量表格，用于檢驗(yàn)殘差是否為白噪聲；第3個表格是模型預(yù)測值，提供往后12期的模型預(yù)測值。

第一個表格：ARIMA(3,2,3)模型參數(shù)表

第一個表格展示的是本次模型構(gòu)建結(jié)果，包括模型參數(shù)、信息準(zhǔn)則等指標(biāo)，通常不需要對其過多關(guān)注。AIC和BIC值用于多次分析模型對比；此兩值越低越好，如果多次進(jìn)行分析，可對比此兩個值的變化情況，綜合說明模型構(gòu)建的優(yōu)化過程。SPSSAU會自動對多個潛在備選模型進(jìn)行建模和對比選擇。

第二個表格：模型Q統(tǒng)計量表格

AIRMA模型構(gòu)建后一般要求模型殘差為白噪聲，即殘差不存在自相關(guān)性，第二個表格展示的即是通過Q統(tǒng)計量檢驗(yàn)進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn)的結(jié)果（原假設(shè)：殘差是白噪聲）。

比如Q6用于檢驗(yàn)殘差前6階自相關(guān)系數(shù)是否滿足白噪聲，通常其對應(yīng)p值大于0.1則說明滿足白噪聲檢驗(yàn)（反之則說明不是白噪聲），常見情況下可直接針對Q6進(jìn)行分析即可。

從Q統(tǒng)計量結(jié)果看，Q6的p值大于0.1，則在0.1的顯著性水平下不能拒絕原假設(shè)，模型的殘差是白噪聲，模型基本滿足要求。

第三個表格：預(yù)測值表格

第三個表格為預(yù)測值表格， ARIMA模型目的就在于預(yù)測以后的數(shù)據(jù)情況，因此這個表格也是研究者最關(guān)注的。其中的向后1期，代表著2007年的預(yù)測值；向后2期代表著2008年的預(yù)測值，往后依次類推。

由于我們之前對數(shù)據(jù)做過對數(shù)處理，所以這里展示的預(yù)測值還不是最終的預(yù)測結(jié)果，還需要還原預(yù)測值結(jié)果。（如果沒有做過對數(shù)處理可以忽略此步）

最終我們對比預(yù)測值與實(shí)際值可以看到，通過ARIMA模型進(jìn)行預(yù)測，預(yù)測2007年我國人均衛(wèi)生費(fèi)用應(yīng)為848.93元，與真實(shí)值875.96元基本接近，說明模型預(yù)測結(jié)果可靠。

從經(jīng)驗(yàn)上看，ARIMA模型向后預(yù)期的1期和向后2期相對較為可靠，如果向后期數(shù)過多，則準(zhǔn)確性會較低。

特別說明：SPSSAU可默認(rèn)智能地找出最佳的ARIMA模型并且進(jìn)行預(yù)測，智能擬合模型的原理在于利用AIC值越小越好這一規(guī)則，從眾多潛在的模型中進(jìn)行對比選擇出最佳模型。如果說研究人員想通過SPSSAU自動識別出最佳的ARIMA模型，則直接使用【計量經(jīng)濟(jì)研究】中的【ARIMA模型】進(jìn)行分析即可。