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微積分（八十三）——解析函數(shù)

2023-06-13 08:41 作者:Mark-McCutcheon 0人讀過 | 我要投稿

我們把場(chǎng)的概念遷到復(fù)平面上，就得到了復(fù)變函數(shù)。因此它可以看作是兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)。復(fù)變函數(shù)的定義域和值域都可看作平面點(diǎn)集。此外，可以類似地定義復(fù)變函數(shù)的反函數(shù)。

極限與連續(xù)

針對(duì)復(fù)變函數(shù)，我們可以把實(shí)變函數(shù)的極限與連續(xù)理論遷移過來。

（定義）? ?設(shè)函數(shù) $%5Comega%20%3Df(z)$ 定義于點(diǎn)集 $E$ 上， $z_0$ 是 $E$ 的聚點(diǎn)。若存在一復(fù)數(shù) $%5Comega%20_0$ ，對(duì)任一給定的 $%5Cvarepsilon%20%3E0$ ，存在 $%5Cdelta%20%3E0$ ，使得只要 $0%3C%5Cvert%20z-z_0%20%5Cvert%20%3C%5Cdelta%20$ ，就有 $%5Cvert%20f(z)-%5Comega%20_0%20%5Cvert%20%3C%5Cvarepsilon%20$ ，則稱 $f(z)$ 沿 $E$ 于 $z_0$ 有極限 $%5Comega%20_0$ ，記作

$%5C%5C%5Clim_%7Bz%5Cto%20z_0%5C%5Cz%5Cin%20E%7D%20f(z)%3D%5Comega%20_0$

可以看出復(fù)函數(shù)的極限比實(shí)變函數(shù)更嚴(yán)格，實(shí)變函數(shù)的“趨于”只是在一條線上進(jìn)行，而復(fù)變函數(shù)則是在面上滿足。當(dāng)上述定義中若復(fù)數(shù)只能沿某個(gè)方向而非取得點(diǎn)集 $E$ 所有的點(diǎn)時(shí)趨于 $z_0$ 才能滿足 $%5Cvert%20f(z)-%5Comega%20_0%20%5Cvert%20%3C%5Cvarepsilon%20$ ，則極限是不存在的。復(fù)變函數(shù)的極限具有與實(shí)變函數(shù)類似的性質(zhì)，如唯一性、有界性、保號(hào)性、加減乘除的性質(zhì)，讀者可以自證。

（定義）? ?設(shè)函數(shù) $%5Comega%20%3Df(z)$ 定義于點(diǎn)集 $E$ 上， $z_0$ 是 $E$ 的聚點(diǎn)，且 $z_0%5Cin%20E$ 。若

$%5C%5C%5Clim_%7Bz%5Cto%20z_0%5C%5Cz%5Cin%20E%7D%20f(z)%3Df(z_0)$

則稱 $f(z)$ 沿 $E$ 于 $z_0$ 連續(xù)。若 $f(z)$ 在 $E$ 的各點(diǎn)連續(xù)，則稱其在 $E$ 上連續(xù)。

在有界閉集上連續(xù)的復(fù)函數(shù)具有與在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)類似的性質(zhì)，即有界性、取到最值性及一致連續(xù)性。這是由于可以證明當(dāng)我們把復(fù)變函數(shù)看作兩實(shí)函數(shù)疊加時(shí)，其極限與連續(xù)均可用兩個(gè)實(shí)函數(shù)的極限與連續(xù)表達(dá)，而復(fù)變函數(shù)的模長(zhǎng)也可以利用兩函數(shù)的值結(jié)合勾股定理計(jì)算，因此引用二元實(shí)變函數(shù)的結(jié)論即可。需要注意在區(qū)域內(nèi)上述不一定成立（根本原因在于只有閉集內(nèi)的點(diǎn)列才一定能收斂于閉集內(nèi)，當(dāng)然這句話不一定需要看懂）。

在擴(kuò)充復(fù)平面上函數(shù)可在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)取值，也可對(duì)極限、連續(xù)的概念進(jìn)行推廣，類似于實(shí)函數(shù)，此處不再贅述。注意無窮遠(yuǎn)元素具備的一些運(yùn)算性質(zhì)：

$%E2%88%9E%5Cpm%20%E2%88%9E%E3%80%810%5Ccdot%20%E2%88%9E%E3%80%81%5Cfrac%7B%E2%88%9E%7D%7B%E2%88%9E%7D%20%E3%80%81%5Cfrac%7B0%7D%7B0%7D%20$ 無意義。
$a%5Cneq%E2%88%9E$ 時(shí)， $%5Cfrac%7B%E2%88%9E%7D%7Ba%7D%20%3D%E2%88%9E%2C%5Cfrac%7Ba%7D%7B%E2%88%9E%7D%20%3D0%2C%E2%88%9E%5Cpm%20a%3D%E2%88%9E%3Da%5Cpm%20%E2%88%9E$ 。
$b%5Cneq%200$ 時(shí)（可為無窮遠(yuǎn)元素）， $%E2%88%9E%5Ccdot%20b%3D%E2%88%9E%3Db%5Ccdot%20%E2%88%9E%2C%5Cfrac%7Bb%7D%7B0%7D%20%3D%E2%88%9E$ 。

同時(shí)我們不討論無窮遠(yuǎn)元素的實(shí)、虛部以及輻角。

解析函數(shù)

接下來我們講解全章最重要的概念——解析函數(shù)。

設(shè) $%5Comega%20%3Df(z)$ 在 $z_0$ 的鄰域內(nèi)有定義，在該鄰域內(nèi)考慮極限

$%5C%5C%5Clim_%7Bz%5Cto%20z_0%7D%20%5Cfrac%7Bf(z)-f(z_0)%7D%7Bz-z_0%7D%20$

若存在，則稱 $f(z)$ 在 $z_0$ 可導(dǎo)，此極限即記為其導(dǎo)數(shù)值，記作 $f'(z_0)$ 。

同樣地可以定義微分。設(shè)函數(shù)在 $z$ 可導(dǎo)：

$%5Clim_%7B%5CDelta%20z%5Cto0%7D%20%5Cfrac%7B%5CDelta%20%5Comega%20%7D%7B%5CDelta%20z%7D%20%3Df'(z)%5C%5C%0A%5CRightarrow%20%5Cfrac%7B%5CDelta%20%5Comega%20%7D%7B%5CDelta%20z%7D%3Df'(z)%2B%5Ceta%20%2C%E5%85%B6%E4%B8%AD%5Ceta%20%5Crightarrow%200%5C%5C%5CRightarrow%20%5CDelta%20%5Comega%20%3Df'(z)%5CDelta%20z%2B%5Ceta%20%5CDelta%20z$

上式等式右邊最后一項(xiàng)是比 $%5CDelta%20z$ 高階的無窮小。于是稱上式等式右邊第一項(xiàng)為函數(shù)在該點(diǎn)的微分，記作 $df(z)%3Dd%5Comega%20%3Df'(z)%5CDelta%20z$ ， $%5CDelta%20z$ 可寫作 $dz$ 。于是 $%5Cfrac%7Bdf(z)%7D%7Bdz%7D%3Df'(z)%20$ ，與實(shí)變情形是一致的。

現(xiàn)在，考慮區(qū)域 $D$ 上的函數(shù) $f(z)$ ，若函數(shù)在該區(qū)域上各點(diǎn)均可微，我們稱函數(shù)在區(qū)域內(nèi)可微，并稱其為區(qū)域 $D$ 上的解析函數(shù)，或稱函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析。為了方便，函數(shù)在某點(diǎn)可微在今后也成為函數(shù)在某點(diǎn)解析。此后稱函數(shù)在閉域（區(qū)域及其邊界）解析是指函數(shù)在某包含該閉域的區(qū)域內(nèi)解析。解析函數(shù)也稱全純函數(shù)或正則函數(shù)。