我們在Ep20提到：

“完備性”是“實數(shù)”完全不同于“有理數(shù)”的一個性質。

——所以，由此可以導出許多“實數(shù)”獨有的定理。

以及——

“‘實數(shù)完備性/連續(xù)性’也是在大學數(shù)學專業(yè)《數(shù)學分析》課程中遇到的第一個重要的概念，以此為起點，導出的“實數(shù)連續(xù)性的六個定理”的相互推導，曾幾何時是“北大數(shù)學系考研”連續(xù)幾年《數(shù)學分析》的必出題，……，當然這道題往往是其中的送分題，……，簡言之，就是，“實數(shù)的完備性”部分是數(shù)學系第一個要下功夫的學習重點。”

——實際上，實數(shù)基本原理有七個，但是聚點原理一般教材一元微積分部分不會深聊，所以我們掌握前六個翻來覆去的推導即可。

我們在Ep21聊了“實數(shù)完備性”的第一個定理——“確界原理”：非空有上界的數(shù)集必有上確界；非空有下界的數(shù)集必有下確界。

我們在Ep49介紹了“實數(shù)完備性”的第二個定理——“單調(diào)有界原理”：單調(diào)有界數(shù)列必收斂。

并且我們在Ep49和Ep50介紹了前兩個定理的互推。

我們在Ep61聊了實數(shù)完備性第三個定理：閉區(qū)間套定理——

1. 閉區(qū)間套的無限序列——In=[an，bn]，n為正整數(shù)，滿足：I1包含I2包含……包含In包含In+1包含……；

2. lim（bn-an）=0，n趨向于無窮大時——

則這些區(qū)間的公共部分為唯一的一點/一個數(shù)。

同時，我們介紹了如何從“單調(diào)有界原理”推導出“閉區(qū)間套定理”。

Ep62介紹了如何由“閉區(qū)間套定理”反推“單調(diào)有界原理”的證明。

今天開始實數(shù)完備性第三波定理互推的前半部分，即如何由“確界原理”推出“閉區(qū)間套定理”，即——

已知：

1. 閉區(qū)間套的無限序列——In=[an，bn]，n為正整數(shù)，滿足：I1包含I2包含……包含In包含In+1包含……；

2. lim（bn-an）=0，n趨向于無窮大時。

求證：這些區(qū)間的公共部分為唯一的一點/一個數(shù)。

工具：確界原理，即非空有上界的數(shù)集必有上確界；非空有下界的數(shù)集必有下確界。

思路：利用確界原理的套路也就是從題設條件中構造一個有界數(shù)集，然后自然得到一個唯一的數(shù)——該數(shù)集的確界，然后再證明該數(shù)即為所求公共部分。

分析——

1. 區(qū)間套的構造，可以得到兩個有界數(shù)集，{an}和{bn}，以{an}為例，任取自然數(shù)i，a1<=ai<=b1，即{an}是有界數(shù)集，同理{bn}也是有界數(shù)集；?

2. 由閉區(qū)間套的性質，可知，對于任意正整數(shù)n，bn>an>=an-1>=……>=a1，由歸納法，對于任意n，bn為{an}的一個上界，同理，an為{bn}的一個下界；

3. 由確界原理，{an}存在上確界a，即，對于任意自然數(shù)i，ai<=a，對于任意小數(shù)ε>0，存在自然數(shù)m，am>a-ε，同理，{bn}存在下確界b；

4. 由2、3，可知bn>=a>=an，同理an<=b<=bn，即a、b分別為該閉區(qū)間套的無窮序列的公共點；——就是說，這兩個數(shù)落在所有的區(qū)間里面；

5. 由4可知，|b-a|<=（bn-an），兩邊取極限即|b-a|<=lim（bn-an）=0，即|b-a|=0，即b=a，即該閉區(qū)間套的無窮序列的公共點是唯一的，證畢?！由辖^對值就不用去證明a和b哪個大哪個小了。

今天就到這里。