9月31號那天，我發(fā)起了這樣一個投票：

投票后33小時后，大家的反饋如下：

不出意外的，金星和火星成為了熱門選擇。也有選了木星和土星的，各兩票，這應(yīng)該可以作為瞎選人數(shù)估算參考。從評論看，有部分小伙伴看出了這種問題必有蹊蹺，所以作了非常規(guī)選擇，“其他”這里的10票有不少出自這種心態(tài)，水星的選項估計也有類似的情況。

說回正題，為啥我會提這么一個問題？正確的答案又是什么？

這要從CGP Grey（我心目中的geek之神）同在30號發(fā)布的一個視頻說起，那就是萬惡之緣。

標(biāo)題和本篇完全相同，結(jié)果讓我感到意外，很反直覺。試了兩個同事，依然被坑，于是果斷開始散播這個問題以報復(fù)社會……

到底答案是啥呢？不急，我們按思路來講。下面是本篇對應(yīng)視頻的大綱：

心理準(zhǔn)備做好了么～ 我們開始吧

回顧下太陽系行星成員吧，我們的九……不，八大行星：

從公轉(zhuǎn)軌道半徑來排序，地球排行第三，前后分別是金星和火星。

那么，離地球最近的不應(yīng)該就是金星或者火星了么？

然而，如果這樣想你就落入了直覺的陷阱。所謂“距離”，就單純是“軌道半徑差”么？?問題并不是那么簡單……

是的，行星并不會老老實實地排成一行，其位置關(guān)系是隨時都在變化的，行星間的距離也一直隨著相對位置的變化而變化：

所以其實在回答問題之前我們應(yīng)當(dāng)反思問題：

“距離”是個啥意思？在這個情況下，如何進(jìn)一步定義距離，才會讓問題更有討論價值。討論最短距離么？那確實用軌道半徑差就可以。但似乎和大部分的情況有所脫離。似乎討論“平均距離”才更具備現(xiàn)實意義。

問題并不直觀，“想”并沒啥卵用，得算一算。于是……

這里是我簡單畫了下任意兩個行星的軌道示意圖，姑且我們這里都把軌道簡化為圓軌道，并忽略水星軌道面的額外傾角。

因為兩者都是在引力作用下的圓周運動，我們知道內(nèi)圈的總是比外圈的有更快的角速度。另外因為這里我們只關(guān)心兩者的相對距離，我們可以進(jìn)一步簡化模型——轉(zhuǎn)換參考系，固定地球和太陽的連線。（兩個討論的行星中一顆為地球） 如此一來：

就變成了太陽與地球都不動，只有額外的一顆行星在做更小的一個角速度的繞日圓周運動。這個簡化模型下，兩行星的距離完全只取決于行星2號的位置。

我們要來求“平均”，當(dāng)然最直接也是最合理的選項就是用“時間”來平均，因為近似了圓周運動，有恒定的角速度，所以用“角度”來平均也是等效的。那么我們設(shè)置下角度：

設(shè)置了角度以后，行星間的距離很容易用幾何方法得到。這里比較直接的就是應(yīng)用余弦定理。接著，對一個函數(shù)變量進(jìn)行平均的最標(biāo)準(zhǔn)做法，就是平權(quán)求和/積分：

這里特意對距離的平方進(jìn)行積分，是一種出于積分方便的考慮，待會兒會進(jìn)一步再提?？傊?，我們代入距離的函數(shù)，來算這個積分來求平均的距離平方。

實際操作一下我們就會發(fā)現(xiàn)這個積分十分之簡單，唯一帶sin的一項在0--2pi之間積分為零。所以我們得到：

平均距離平方=兩個行星軌道半徑的平方和

這個結(jié)論非常之簡潔、有力和美妙，以及出乎意料！—— 另一顆行星的軌道半徑越小，那么距離地球的平均距離也就越小。所以離地球平均距離最近的是公轉(zhuǎn)軌道半徑最小的水星！之后依次才排到金星、火星、木星、土星等……

不僅僅如此，這個公式并不僅僅適用于地球的情況，進(jìn)一步應(yīng)用你會發(fā)現(xiàn)：所有太陽系行星成員（除去水星）的最近鄰居都是水星！怎么樣，是不是非常反直覺。

雖然沒有做推導(dǎo)，但CGP Grey視頻內(nèi)的結(jié)論也是一樣的。好的，我們完美解決了這個問題……才怪！

以上的推導(dǎo)是有問題的：

所以，嚴(yán)格來說，我們需要直接對距離進(jìn)行平均，而不是偷懶對距離的平方進(jìn)行平均。這樣我們才能得到準(zhǔn)確的結(jié)論。然而……

這玩意兒沒法積！至少是沒有清晰的解析解的，可以進(jìn)行一定程度的操作，但結(jié)果里面也會包含一個橢圓函數(shù)的積分。

所以，我們只能求助于數(shù)值解法——下面我們進(jìn)入計算機(jī)（編程）課。

【這里選用Python，界面是Jupyter Notebook.】

當(dāng)然，只是做個積分，函數(shù)上也不難判斷是個平滑的曲線，直接用最簡單的牛頓法來積分就行了。

積分的程序就這么幾行。首先我們測試下我們比較容易判斷的情況，第二顆行星軌道半徑（R2）無限接近于0的情況，那么我們應(yīng)該得到的就是到太陽的距離，即一個天文單位。

測試無誤，數(shù)值的誤差看來也很小。繼續(xù)推進(jìn)來研究不同R2情況下，平均距離的結(jié)果吧。先來看個比較大范圍的，0到5個天文單位的情況下：

我們可以清楚地看到，當(dāng)?shù)诙w行星的公轉(zhuǎn)半徑超過地球時，和地球的平均距離幾乎就是在線性增長了。

這也比較好理解，越過地球軌道后，無論兩者在太陽的同一側(cè)還是在互相的對面，最小距離和最大距離都在隨著其公轉(zhuǎn)半徑增大而變大。

有意思的是公轉(zhuǎn)半徑比較小的范圍，我們再放大研究下 0 -- 1.2 A.U. 范圍內(nèi)的情況

這樣來看結(jié)論就很清楚了，在比較小的公轉(zhuǎn)半徑范圍內(nèi)，和地球的平均距離依然和公轉(zhuǎn)半徑是單調(diào)遞增關(guān)系。

所以我們通過更嚴(yán)格的分析，也得到了一樣的結(jié)論：

公轉(zhuǎn)軌道半徑越小的行星，其距離地球（或其他任何行星）的距離也越小。

太陽系中所有行星平均距離最近的行星鄰居，皆為 水星！

（驚不驚喜，意不意外～是不是突破了你的直覺呢？是的話請務(wù)必點贊吧～）

完整的視頻講解請看：?

這個小項目里用到的程序，和做好的PPT，可以在我的這個Github地址里下載到：

https://github.com/Pure-Cosmos/closest_planet

有興趣的歡迎下載把玩。

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