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最近我們被客戶要求撰寫(xiě)關(guān)于馬爾可夫鏈模型的研究報(bào)告，包括一些圖形和統(tǒng)計(jì)輸出。

本示例說(shuō)明如何創(chuàng)建并可視化Markov鏈模型的結(jié)構(gòu)和演化??？紤]從隨機(jī)轉(zhuǎn)移矩陣中創(chuàng)建馬爾可夫鏈的四狀態(tài)馬爾可夫鏈，該模型模擬了國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）的動(dòng)態(tài)?

創(chuàng)建實(shí)際GDP的馬爾可夫鏈模型。指定狀態(tài)名稱。

P = [0.5 0.5 0.0 0.0; ? ? 0.5 0.0 0.5 0.0; ? ? 0.0 0.0 0.0 1.0; ? ? 0.0 0.0 1.0 0.0];stateNames = ["Regime 1" "Regime 2" "Regime 3" "Regime 4"];mc = mc(P,'StateNames'

可視化馬爾可夫鏈的一種方法是繪制轉(zhuǎn)移矩陣的熱圖。

figure;imagesc(P);colormap(jet);colorbar;axis squar

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R語(yǔ)言連續(xù)時(shí)間馬爾科夫鏈模擬案例 Markov Chains

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有向圖

有向圖將鏈中的狀態(tài)顯示為節(jié)點(diǎn)，并將狀態(tài)之間的可行轉(zhuǎn)換顯示為有向邊。

繪制馬爾可夫鏈的默認(rèn)有向圖。

figure;plot(mc);

通過(guò)基于轉(zhuǎn)移概率指定邊緣顏色來(lái)比較轉(zhuǎn)移概率。

figure;plot(mc,'ColorEdges'

通過(guò)根據(jù)狀態(tài)類型指定節(jié)點(diǎn)顏色和標(biāo)記來(lái)識(shí)別循環(huán)狀態(tài)和瞬態(tài)狀態(tài)。

figure;h = hplot(mc,'ColorEdges',true,

?

低均值狀態(tài)是瞬態(tài)的，最終轉(zhuǎn)移到遞歸的高均值狀態(tài)。

節(jié)點(diǎn)標(biāo)簽的默認(rèn)字體大小為8。將字體大小減少到7。

FontSize = 7;

?

混合圖

可以通過(guò)在有向圖中繪制目標(biāo)概率和預(yù)期的第一次命中時(shí)間來(lái)可視化。

?從馬爾可夫鏈中的每個(gè)狀態(tài)開(kāi)始計(jì)算命中目標(biāo)狀態(tài)的指定子集的概率。其中節(jié)點(diǎn)顏色表示命中概率。

繪制馬爾可夫鏈的有向圖，其中節(jié)點(diǎn)顏色表示命中方案1的概率。

htp(mc,"Regime 1",'Graph

?

?從馬爾可夫鏈中的每個(gè)狀態(tài)開(kāi)始，計(jì)算目標(biāo)狀態(tài)的指定子集的預(yù)期首次命中時(shí)間。其中節(jié)點(diǎn)顏色表示命中時(shí)間。

繪制馬爾可夫鏈的有向圖，其節(jié)點(diǎn)顏色表示包含狀態(tài)3和4的目標(biāo)子類的預(yù)期首次命中時(shí)間。

target = ["Regime 3" "Regime 4"];htime(mc,target

從方案1開(kāi)始，該子類的預(yù)期首次命中時(shí)間為6個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)。

特征值圖

特征值圖顯示了復(fù)平面上的特征值。特征值圖并標(biāo)識(shí)：

• Perron-Frobenius特征值，使用粗體星號(hào)為非負(fù)矩陣。

• 光譜間隙，即長(zhǎng)度等于第二大特征值幅度（SLEM）的半徑和長(zhǎng)度為1的半徑之間的區(qū)域。光譜間隙決定了馬爾可夫鏈的混合時(shí)間。大間隙表示混合較快，而細(xì)間隙表示混合較慢。

在復(fù)雜平面上繪制并返回轉(zhuǎn)換矩陣的特征值。

figure;eigplt(mc)

?

eVals = 4×1 ? ?0.8090 ? -0.3090 ? ?1.0000 ? -1.0000

兩個(gè)特征值的模量為1，表明馬爾可夫鏈的周期為2。

重新分配圖

重新分布圖從初始分布繪制了狀態(tài)重新分布。?使用馬爾可夫鏈對(duì)象生成的數(shù)據(jù)來(lái)繪制重新分布??？梢詫⒅匦路植祭L制為靜態(tài)熱圖或動(dòng)畫(huà)直方圖或有向圖。

從初始分布生成10步重新分布。

redis(mc,numSteps,'X0',x0);

將重新分布繪制為熱圖。

?

由于狀態(tài)1和狀態(tài)2是瞬態(tài)的，因此馬爾可夫鏈最終將概率集中在狀態(tài)3和狀態(tài)4。此外，如特征值圖所示，狀態(tài)3和狀態(tài)4的周期為2。

繪制動(dòng)畫(huà)直方圖。將幀速率設(shè)置為一秒。

?

仿真圖

仿真圖繪制了從特定初始狀態(tài)開(kāi)始的馬爾可夫鏈的隨機(jī)游動(dòng)圖。?

生成100個(gè)十步隨機(jī)游走，其中每個(gè)狀態(tài)都會(huì)初始化游走25次。

simu(mc,numSteps,

將模擬繪制為熱圖，以顯示每個(gè)步驟達(dá)到的狀態(tài)比例。

?

繪制已實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)移矩陣的熱圖。

figure;simp(mc,X,'Type','transition');

所實(shí)現(xiàn)的轉(zhuǎn)移矩陣看起來(lái)類似于理論轉(zhuǎn)移矩陣。

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本文選自《matlab對(duì)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）建立馬爾可夫鏈模型（MC）并可視化》。

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