世界基數(shù) 如果一個k滿足Vκ是ZFC的一個模型，那么κ是一個世界基數(shù)。 不可達(dá)基數(shù) 這個基數(shù)不與自然數(shù)集等勢，>N0，其序數(shù)為α， 設(shè)定β是序數(shù)，稱β∪{β}為β的后繼.可以證明，β是序數(shù)，則β的后繼也是序數(shù)，記為β+1. 而序數(shù)α，不可以找到序數(shù)β，使α為β的后繼，即不存在?β(α=β+1)。 不可達(dá)基數(shù)I強不可達(dá)基數(shù) cfκ=K(正則基數(shù))，滿足κ>??，如果?<κ,那么P(?)或者其他任何運算也<κ(強極限基數(shù))κ就是一個強不可達(dá)基數(shù),一般把強不可達(dá)基數(shù)叫做不可達(dá)基數(shù),在GCH之下，每個弱不達(dá)基數(shù)也是強不可達(dá)基數(shù)，每個強不可達(dá)基數(shù)也都是弱不可達(dá)。 不可達(dá)基數(shù)是第一個大基數(shù),比它小的稱為小基數(shù) 這只是第一個不可達(dá)基數(shù)， 暫記作l(0)還會有第二個不可達(dá)：l(1)…… K是l(l)時便是2-不可達(dá)基數(shù),暫記l? K是Ⅰ?(l)便是3-不可達(dá)基數(shù)…… 當(dāng)K是l-不可達(dá)基數(shù)時便是超不可達(dá)基數(shù) 馬洛基數(shù) 又稱馬赫羅基數(shù) 對于所有K，正則基數(shù) β 的初始段（即 β 以下的所有基數(shù)）中都包含一個K基數(shù)。這里的K在這個基數(shù)以上所有的正則無限基數(shù)的并集中，刪去所有小于K的基數(shù)后，剩余的基數(shù)集合是一個K的閉集。 也就是一個馬洛基數(shù)κ之下的不可達(dá)基數(shù)組成駐集，小于κ的所有正則基數(shù)集合是κ的駐子集，則κ為馬洛基數(shù)，說明白點就是任意不可達(dá)基數(shù)k，其他不可達(dá)基數(shù)在這個k前面形成無界閉集 取駐集族為{a {0,1} 都存在一個κ個元素的子集使f在這個集上的值相同。 不可描述基數(shù) 基數(shù)K稱為∏n 不可描述基數(shù)如果對于每個∏m命題(φ，并且設(shè)置A?∨κ與(Vκ+n,∈，A)╞φ存在一個α<κ與(V α+n，∈,A ∩Vα)╞φ。這里看一下具有m-1個量詞交替的公式，最外層的量詞是通用的?！莕 不可描述基數(shù)以類似的方式定義。這個想法是，即使具有額外的一元謂詞符號（對于A）的優(yōu)勢，也無法通過具有m-1次量詞交替的n+1 階邏輯的任何公式將κ與較小的基數(shù)區(qū)分開來（從下面看）。這意味著它很大，因為這意味著必須有許多具有相似屬性的較小基數(shù)。 如果基數(shù)κ是∏nm，則稱它是完全不可描述的——對于所有正整數(shù)m和n都難以描述。 可迭代基數(shù) 將基數(shù)κ定義為可迭代的，前提是κ的每個子集都包含在弱κ-模型M中，其中在κ上存在一個M-超濾器，允許通過任意長度的超冪進(jìn)行有根據(jù)的迭代。Gitman給出了一個更好的概念，其中一個基數(shù)κ被定義為α-iterable 如果僅需要長度為α的超冪迭代才能有充分根據(jù)。 拉姆齊基數(shù)： 構(gòu)造： 讓[ κ ]<ω表示κ的所有有限子集的集合。如果 對于每個函數(shù)， 基數(shù) κ稱為 Ramsey f : [ κ ]<ω→{0,1} 存在基數(shù)為κ的集合A對于f是齊次的。也就是說，對于每個n，函數(shù)f在A的基數(shù)n的子集上是常數(shù)。如果A可以被選為κ的固定子集，則基數(shù)κ被稱為不可言說的Ramsey。如果 對于每個函數(shù)， 基數(shù)κ實際上 被稱為Ramsey f : [ κ ]<ω→{0,1} 存在C，它是κ的一個閉無界子集，因此對于C中具有不可數(shù)共尾性的每個λ，都存在一個與 f 齊次的入的無界子集；稍微弱一點的是lamost Ramsey的概念，其中對于每個λ<κ，需要有序類型λ的f的同質(zhì)集。 將基數(shù)κ定義為可迭代的，前提是κ的每個子集都包含在弱κ-模型M中，其中在κ上存在一個M-超濾器，允許通過任意長度的超冪進(jìn)行有根據(jù)的迭代。Gitman給出了一個更好的概念，其中一個基數(shù)κ被定義為α-iterable 如果僅需要長度為α的超冪迭代才能有充分根據(jù) 可測基數(shù) 為了定義這個概念，人們在基數(shù)κ上或更一般地在任何集合上引入了一個二值度量。對于基數(shù)κ，它可以描述為將其所有子集細(xì)分為大集和小集，使得κ本身很大，?并且所有單例{ α }，α ∈ κ很小，小集的 補集很大，并且反之亦然。小于的交集κ大集又大了。 事實證明，具有二值測度的不可數(shù)基數(shù)是無法從ZFC證明其存在的大基數(shù)。 形式上，可測基數(shù)是不可數(shù)基數(shù)κ，使得在κ的冪集上存在κ加性、非平凡、0-1值測度。（這里術(shù)語k-additive意味著，對于任何序列A α，α<λ的基數(shù)λ<κ，A α是成對相交的小于κ的序數(shù)集，A α的并集的度量等于個人A α的措施。)為了 強基數(shù)： 如果λ是任何序數(shù)，κ是λ-strong意味著κ是基數(shù)并且存在從宇宙V到具有臨界點κ和 Vλ?M 也就是說，M在初始段上與V一致。那么κ是強的意味著它對所有序數(shù)λ都是λ-強的。 伍丁基數(shù)： 構(gòu)造： f : λ→λ 存在一個基數(shù)κ<λ和 {f(β)|β<κ} 和基本嵌入 j : V→M 超強基數(shù)： 構(gòu)造： 當(dāng)且僅當(dāng)存在基本嵌入 j ：V→M從V到具有臨界點κ和 V_j(κ)?M 類似地，基數(shù)κ是n-超強當(dāng)且僅當(dāng)存在基本嵌入j : V→M從V到具有臨界點κ和V_jn(κ)?M 。Akihiro Kanamori已經(jīng)表明，對于每個n>0，n+1-超強基數(shù)的一致性強度超過n-huge 基數(shù)的一致性強度。 超強基數(shù) 當(dāng)且僅當(dāng)存在基本嵌入 j ：V→M從V到具有臨界點κ和 V_j(κ)?M 類似地，基數(shù)κ是n-超強當(dāng)且僅當(dāng)存在基本嵌入j : V→M從V到具有臨界點κ和V_jn(κ)?M 。Akihiro Kanamori已經(jīng)表明，對于每個n>0，n+1-超強基數(shù)的一致性強度超過n-huge 基數(shù)的一致性強度。 強緊致基數(shù) 當(dāng)且僅當(dāng)每個κ-完全濾波器都可以擴(kuò)展為κ-完全超濾器時，基數(shù)κ是強緊湊的。 強緊基數(shù)最初是根據(jù)無限邏輯定義的，其中允許邏輯運算符采用無限多的操作數(shù)。常規(guī)基數(shù)κ的邏輯是通過要求每個運算符的操作數(shù)數(shù)量小于κ來定義的；那么κ是強緊致的，如果它的邏輯滿足有限邏輯緊致性的模擬。具體來說，從其他一些陳述集合中得出的陳述也應(yīng)該從基數(shù)小于κ的某個子集合中得出。 強緊性意味著可測性，并被超緊性所暗示。鑒于相關(guān)基數(shù)存在，與ZFC一致的是第一個可測基數(shù)是強緊基數(shù)，或者第一個強緊基數(shù)是超緊基數(shù)；然而，這些不可能都是真的。強緊基數(shù)的可測極限是強緊的，但至少這樣的極限不是超緊 的。 強緊性的一致性強度嚴(yán)格高于伍丁基數(shù)。一些集合論學(xué)家推測強緊基數(shù)的存在與超緊基數(shù)的存在是等一致的。然而，在開發(fā)出超緊基數(shù)的規(guī)范內(nèi)模型理論之前，不太可能提供證明。 可擴(kuò)展性是強緊湊性的二階類比。 超緊致基數(shù) 如果M?M，則稱κ為λ超緊基數(shù)；如果對任意為λ≥κ，κ為λ超緊基數(shù)，則稱k為超緊基數(shù)。 若κ是超緊基數(shù)，則存在κ個小于k的超強基數(shù)。 假設(shè)N是一個ZFC的模型, δ是一個超緊基數(shù), 如果對任意λ>δ, 存在Pδ (λ) 一個δ-完全的正則精良超濾U滿足 伊卡諾斯基數(shù)：存在一個L(V_λ+1，lcuras)非平凡基本嵌入，其臨界點低于λ，伊卡洛斯存在于V_λ+2-L(V_λ+1)。 公理I3~I0 ：I3： 存在Vλ到自身的非平凡基本嵌入。 I2：V存在一個非平凡基本嵌入到包含Vλ的傳遞類M，λ為臨界點上方的第一個不動點。 I1：Vλ+1到自身的非平凡基本嵌入。 I0：存在 L(Vλ+1 ) 的非平凡基本嵌入，其臨界點<λ公理。 萊因哈特基數(shù) 萊因哈特基數(shù)是非平凡基本嵌入的臨界點 j : V→V的V進(jìn)入自身。 這個定義明確地引用了適當(dāng)?shù)念恓.在標(biāo)準(zhǔn)ZF中，類的形式為{x|Φ(x,a)}對于某些集合a和公式Φ.但是在 Suzuki中表明沒有這樣的類是基本嵌入j ：V→V. 還有其他已知不一致的萊因哈特基數(shù)公式。一是新增功能符號j用ZF的語言，連同公理說明j是的基本嵌入V，以及所有涉及的公式的分離和收集公理j.另一種是使用類理論，如NBG或KM，它們承認(rèn)在上述意義上不需要定伯克利基數(shù) 伯克利基數(shù) 伯克利基數(shù)基數(shù)是Zermelo-Fraenkel集合論模型中的基數(shù)κ，具有以下性質(zhì)： 對于包含κ和α<κ的每個傳遞集M，存在M的非平凡初等嵌入，其中α<臨界點<κ. Berkeley 基數(shù)是比Reinhardt基數(shù)嚴(yán)格更強的基數(shù)公理，這意味著它們與選擇公理不兼容。 作為伯克利基數(shù)的弱化是，對于Vκ上的每個二元關(guān)系R，都有（Vκ，R)的非平凡基本嵌入到自身中。這意味著我們有基本的 j 1，j 2，j 3....j 1 : (Vκ，∈)→(Vκ,∈), j 2 :（Vκ，∈,j 1 )→(Vκ,∈，j 1 )，j 3 :(Vκ,∈，j 1 ,j 2 )→(Vκ，∈,j 1 ,j 2 ) 等等。這可以持續(xù)任意有限次，并且在模型具有依賴性選擇的范圍內(nèi)無限。因此，似乎可以通過斷言更多依賴性選擇來簡單地加強這一概念。 對于每個序數(shù)λ，存在一個ZF + Berkeley 基數(shù)的傳遞模型，該模型在λ序列下是封閉的。義的類。 『馮·諾依曼宇宙』 V?=? V＿α+1=P(V＿α) 若λ為極限序數(shù)， 則V_λ=∪_k<λ V_k， V=∪_k V_k， k跑遍所有序數(shù) 令ord為所有序數(shù)的類 則V=∪_k∈ord V_k，