P1:

本課程是研究生的課程

內(nèi)容梗概：

1. ODE-IVP 有限差分法
2. PDE:

有限差分法：橢圓、拋物、雙曲

有限元法：橢圓

譜方法（講有限元的時(shí)候可能涉及）

課程目標(biāo)：理論、算法、編程

第一章 ODE-IVP的數(shù)值解法

Euler法的誤差分析

局部階段誤差的兩種理解！

局部階段誤差的另一種理解

不同書上對(duì)于“局部階段誤差”有不同的界定方法

改進(jìn)Euler法的局部截?cái)嗾`差

關(guān)鍵是“梯形公式”的誤差

整體誤差

穩(wěn)定性：中途的誤差是否連續(xù)地依賴于初始誤差。

初始誤差來源：測(cè)量誤差、舍入誤差

P2:

復(fù)習(xí)第一節(jié)課講過的單步法

回憶顯式、隱式、改進(jìn)Euler的精度

第2節(jié) 線性多步法

思想：適當(dāng)選取節(jié)點(diǎn)，用Language插值多項(xiàng)式代替f(t, u(t)), 做數(shù)值積分。

(1)Adams外插法（顯式）

節(jié)點(diǎn)：t_n-k, ···, t_n（k+1步法）

k次多項(xiàng)式

(2)Adams內(nèi)插法（隱式）

節(jié)點(diǎn)：t_n-k, ···, t_n, t_n+1（k+1步法）

k+1次多項(xiàng)式

2.1 數(shù)值積分法

插值公式回顧

Adams外插法

教材式(1.2.6)

系數(shù)a_j的計(jì)算（生成函數(shù)法）

待定系數(shù)法

程序求解

P3：

誤差估計(jì)是更細(xì)致的收斂性

回顧k步法的一般表達(dá)式?。?！

“相容性”：差商算子對(duì)微分算子的逼近。

回顧顯式Euler法的相容性：

差分算子、差商算子、微分算子（注意微分算子和微分方程的區(qū)別）

k步法的相容性：

回顧P2：待定系數(shù)法

“穩(wěn)定性”：解對(duì)初值的穩(wěn)定依賴性。

回顧顯式、隱式Euler法穩(wěn)定性分析

穩(wěn)定性分析時(shí)沒有R，收斂性分析時(shí)有R

類似數(shù)值代數(shù)中的迭代法

1.1節(jié)后面線性差分方程的理論

k步法穩(wěn)定性定理

離散形式的Gronwall不等式

k步法穩(wěn)定性定理的應(yīng)用

收斂性

書上表達(dá)式有錯(cuò)

相容+穩(wěn)定=收斂

P4：

0:06:13：中點(diǎn)公式

1:13:58：講解之前4節(jié)課介紹過的數(shù)值算法的程序。

P5：

1.6 一階方程組的剛性問題

P6：

PDE數(shù)值解

兩類方法：

有限差分法（FDM）：從定解問題的微分形式或積分形式出發(fā)。

有限元方法（FEM）：從定解問題的變分形式出發(fā)

橢圓、拋物、雙曲

第二章 橢圓型方程的有限差分法

基本步驟：

1. 區(qū)域離散化
2. 微分算子離散化
3. 離散方程組求解

第1節(jié) 差分逼近的基本概念

一維情形

ODE-BVP，二階化成一階方程組

可用打靶法（shooting method），本課程不講。

直接離散化方法

1. 區(qū)域離散化：將[a,b]區(qū)間n等分
2. 微分算子離散化：中心差分格式
3. 離散化方程組： 寫成矩陣-向量形式

數(shù)值代數(shù)里有稀疏方程組解法

離散方程組求解的理論方法

方法1. 追趕法（Thomas法）

對(duì)角占優(yōu)矩陣

Thomas算法程序?qū)崿F(xiàn)

理論問題：

1. 差分方程是否存在唯一解？
2. 當(dāng)h->0時(shí)，數(shù)值解是否收斂到真解，何種意義下收斂？收斂速度如何？

網(wǎng)格函數(shù)及各種范數(shù)

相容性、收斂性、穩(wěn)定性

相容+穩(wěn)定=收斂

穩(wěn)定性是關(guān)鍵，常由先驗(yàn)估計(jì)得到

P7：

P8：

G為規(guī)則區(qū)域：有限差分法

G為不規(guī)則區(qū)域：有限元、有限體積法

困難：

1、網(wǎng)格剖分及其數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)；

2、邊界條件的處理

3.1 五點(diǎn)差分格式

1. 區(qū)域的離散化與幾個(gè)概念

由有限體積法推導(dǎo)五點(diǎn)差分格式

2. 矩形區(qū)域上五點(diǎn)差分格式的離散化方程組

具體程序?qū)崿F(xiàn)

P11：

編程格式推導(dǎo)

程序?qū)崿F(xiàn)

差分格式要考慮的因素：

1. 計(jì)算簡單
2. 收斂性與收斂速度
3. 穩(wěn)定性

P12：

3.2 穩(wěn)定性和收斂性

ODE-IVP Euler法和多步法的穩(wěn)定性：

按初值穩(wěn)定

橢圓方程BVP差分法的穩(wěn)定性：

按右端穩(wěn)定

Parabolic-IBVP：

1. 按初值穩(wěn)定
2. 按右端穩(wěn)定

Parabolic-IBVP差分格式的統(tǒng)一形式

四種格式的穩(wěn)定性

P13：

Fourier方法

P14：

編程實(shí)現(xiàn)

預(yù)估矯正法和局部一維法（某種意義下和ADI等價(jià)）

橢圓方程的ADI方法

P15：

依存域、決定域、影響域

二階雙曲方程的差分格式

1.2 顯格式

1.3 顯格式的穩(wěn)定性

微分方程中帶有時(shí)間時(shí)，穩(wěn)定性就十分重要

1.4 隱格式（類似于Crank-Nicolson格式的思想）

P16：

數(shù)值例子