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copula是將多變量分布函數(shù)與其邊緣分布函數(shù)耦合的函數(shù)，通常稱(chēng)為邊緣。在本視頻中，我們通過(guò)可視化的方式直觀(guān)地介紹了Copula函數(shù)，并通過(guò)R軟件應(yīng)用于金融時(shí)間序列數(shù)據(jù)來(lái)理解它。

視頻：Copula算法原理和R語(yǔ)言股市收益率相依性可視化分析

Copula算法原理和R語(yǔ)言股市收益率相依性可視化分析

，時(shí)長(zhǎng)16:34

為什么要引入Copula函數(shù)？

當(dāng)邊緣分布（即每個(gè)隨機(jī)變量的分布）不同的隨機(jī)變量，互相之間并不獨(dú)立的時(shí)候，此時(shí)對(duì)于聯(lián)合分布的建模會(huì)變得十分困難。

讓我們從一個(gè)示例問(wèn)題案例開(kāi)始。假設(shè)我們測(cè)量?jī)蓚€(gè)非正態(tài)分布且相關(guān)的變量。例如，我們查看各種河流，我們查看該河流在特定時(shí)間段內(nèi)的最高水位。此外，我們還計(jì)算了每條河流造成洪水的月份。對(duì)于河流最高水位的概率分布，我們可以參考極值理論，它告訴我們最大值是Gumbel分布的。洪水發(fā)生的次數(shù)將根據(jù)beta分布進(jìn)行建模，該分布只是告訴我們發(fā)生洪水的概率是洪水與非洪水發(fā)生次數(shù)的函數(shù)。

假設(shè)洪水的最高水位和數(shù)量是相關(guān)的，這是非常合理的。然而，這里我們遇到了一個(gè)問(wèn)題：我們應(yīng)該如何對(duì)概率分布進(jìn)行建模？上面我們只指定了各個(gè)變量的分布，而與另一個(gè)變量無(wú)關(guān)（即邊緣分布）。實(shí)際上，我們正在處理這兩者的聯(lián)合分布。

此時(shí)，在已知多個(gè)已知 邊緣分布的隨機(jī)變量下，Copula函數(shù)則是一個(gè)非常好的工具來(lái)對(duì)其相關(guān)性進(jìn)行建模。

copula 的主要吸引力在于，通過(guò)使用他們，您可以分別對(duì)相關(guān)結(jié)構(gòu)和邊緣分布（即每個(gè)隨機(jī)變量的分布）進(jìn)行建模。

因?yàn)閷?duì)于某些邊緣分布組合，沒(méi)有內(nèi)置函數(shù)來(lái)生成所需的多元分布。例如，在 R 中，很容易從多元正態(tài)分布中生成隨機(jī)樣本，但是對(duì)于邊緣分別為 beta、Gamma 和 Student 的分布來(lái)說(shuō)，這樣做并不容易。

copula 將邊緣分布與研究它們的“關(guān)系”分開(kāi)，因此您無(wú)需擔(dān)心考慮可能的單變量分布類(lèi)型的所有可能組合，從而大大簡(jiǎn)化了所需的代碼量。

Copula可以同時(shí)處理多個(gè)變量，例如您可以在一個(gè)群組中處理多只股票，而不僅僅是一對(duì)，以創(chuàng)建最終交易組合，以在更高的維度上發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤定價(jià)。

什么是copula

Copula 在拉丁語(yǔ)中的意思是“鏈接”，copula 是將多元分布函數(shù)與其邊緣分布函數(shù)耦合的函數(shù)，通常稱(chēng)為邊緣或簡(jiǎn)稱(chēng)為邊緣。Copulas 是用于建模和模擬相關(guān)隨機(jī)變量的絕佳工具。

總的來(lái)說(shuō)，copula 是一種統(tǒng)計(jì)方法，用于理解多元分布的聯(lián)合概率。

Copula是模擬多元相關(guān)數(shù)據(jù)的流行方法，是一個(gè)表示多元均勻分布的概率模型，它檢查許多變量之間的關(guān)聯(lián)或依賴(lài)關(guān)系。

今天，copulas 被用于高級(jí)財(cái)務(wù)分析，以更好地理解涉及厚尾和偏度的結(jié)果。用于幫助識(shí)別市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)、信用風(fēng)險(xiǎn)和操作風(fēng)險(xiǎn)。它依賴(lài)于兩種或多種資產(chǎn)收益的相互依賴(lài)關(guān)系。相關(guān)性最適合?正態(tài)分布，而金融市場(chǎng)中的分布本質(zhì)上通常是非正態(tài)分布。因此，copula 已應(yīng)用于諸如期權(quán)定價(jià)和投資組合風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值等金融領(lǐng)域，以處理偏斜或不對(duì)稱(chēng)分布。

如何使用copula 分析數(shù)據(jù)

回想一下，您可以使用累積分布函數(shù)將任何分布轉(zhuǎn)換為均勻分布。同樣，您可以使用逆累積分布函數(shù)將均勻分布轉(zhuǎn)換為任何分布。例如要模擬來(lái)自高斯 copula 的相關(guān)多元數(shù)據(jù)，請(qǐng)執(zhí)行以下三個(gè)步驟：

1.從相關(guān)矩陣模擬相關(guān)的多元正態(tài)數(shù)據(jù)。邊緣分布都是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

2.使用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)累積分布函數(shù)將正態(tài)邊緣轉(zhuǎn)換為均勻分布。

3.使用逆累積分布函數(shù)將均勻邊緣分布轉(zhuǎn)換為 您想要的任何分布。

第二步和第三步中的轉(zhuǎn)換是在數(shù)據(jù)矩陣的各個(gè)列上執(zhí)行的。變換是單調(diào)的，這意味著它們不會(huì)改變列之間的等級(jí)相關(guān)性。因此，最終數(shù)據(jù)與第一步中的多元正態(tài)數(shù)據(jù)具有相同的秩相關(guān)性。

首先我們可以生成均勻分布的隨機(jī)變量

下面，我們想要轉(zhuǎn)化這些樣本使他們變成正態(tài)分布。那么，我們只需要以 x為累積分布函數(shù)值，對(duì)正態(tài)分布求逆即可，

如果我們將 x 和轉(zhuǎn)化后的x ?的分布畫(huà)在一張圖中，就可以直觀(guān)的看出逆累積分布函數(shù)的樣子。

同理，我們也可以基于 beta 分布或者gumbel ?分布來(lái)得到類(lèi)似的圖像，這種概率積分變換的本質(zhì)是相同的。

而我們?nèi)绻胍獜囊粋€(gè)任意的分布到均勻分布，那么我們只需要進(jìn)行一次累積分布函數(shù)就可以了。這里我將?轉(zhuǎn)換后的x 再做一次轉(zhuǎn)化

簡(jiǎn)單的高斯Copula例子

我們構(gòu)建一個(gè)簡(jiǎn)單的例子，來(lái)看如何利用概率積分變換來(lái)認(rèn)識(shí)高斯copula。首先從二元正態(tài)分布中生成樣本：

通過(guò)給 x1和x2的累積分布函數(shù)進(jìn)行采樣，我們可以將其轉(zhuǎn)化成均勻分布。

現(xiàn)在，我們?cè)谏厦娴幕A(chǔ)上（構(gòu)建的高斯Copula函數(shù)），把邊緣分布換成beta分布和Gumbel分布：

那如果沒(méi)有二者的耦合關(guān)系，這個(gè)圖是怎樣的呢？

兩張圖對(duì)比一下，還是很容易看出區(qū)別的吧！這就是我們使用copula函數(shù)內(nèi)在的方法了，其核心還是通過(guò)均勻分布。

Copula的數(shù)學(xué)定義

它是一個(gè)多元分布C，邊緣分布為均勻分布。它實(shí)際上只是一個(gè)具有均勻分布邊緣屬性的函數(shù)。它確實(shí)只有在與另一個(gè)變換結(jié)合以獲得我們想要的邊緣分布時(shí)才有用。

我們也可以更好地理解高斯 copula 的數(shù)學(xué)描述：

對(duì)于給定的R, 具有參數(shù)矩陣的高斯copula可以寫(xiě)成 ??，其中Φ??1是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)的逆累積分布函數(shù)，并且ΦR是平均向量為零且協(xié)方差矩陣等于相關(guān)矩陣的多元正態(tài)分布的聯(lián)合累積分布函數(shù)R.

請(qǐng)注意，在上面的例子中，我們采用相反的方式從該分布創(chuàng)建樣本。此處表示的高斯 copula 采用 均勻分布輸入，將它們轉(zhuǎn)換為高斯，然后應(yīng)用相關(guān)性并將它們轉(zhuǎn)換回均勻分布。

Copula函數(shù)主要應(yīng)用在哪里呢？

該工具最初是用在金融衍生品領(lǐng)域，該函數(shù)建模作為衍生品風(fēng)險(xiǎn)度量的工作進(jìn)行使用。在2008年金融危機(jī)中，這個(gè)工具被人廣泛的提及，認(rèn)為當(dāng)時(shí)采用的高斯copula沒(méi)有能夠完整度量衍生品連帶之間的風(fēng)險(xiǎn)，從而導(dǎo)致一系列的違約，進(jìn)而引發(fā)次貸危機(jī)、經(jīng)濟(jì)危機(jī)。

也有人事后寫(xiě)了文章來(lái)介紹這個(gè)工具和現(xiàn)實(shí)社會(huì)經(jīng)濟(jì)的關(guān)系，包括很有名的電影《大空頭》，也有這段的描寫(xiě)。

說(shuō)回工具本身，除了金融領(lǐng)域，現(xiàn)在很多研究概率分布的領(lǐng)域都在使用copula，例如電力系統(tǒng)領(lǐng)域研究風(fēng)電、光伏等間歇性能源，也在使用這種方法進(jìn)行建模。

接下來(lái)我們?cè)赗軟件中對(duì)金融時(shí)間序列進(jìn)行copula建模。

copulas如何工作?

首先，讓我們了解copula的工作方式。

我們使用和散點(diǎn)圖矩陣檢查樣本相關(guān)性。

這是包含新隨機(jī)變量的散點(diǎn)圖矩陣。?

我們可以繪制矢量的3D圖表示。?

現(xiàn)在，作為最后一步，我們只需要選擇邊緣并應(yīng)用它。我選擇了邊緣為Gamma，beta和Student，并使用下面指定的參數(shù)。

下面是我們模擬數(shù)據(jù)的3D圖。?

這是隨機(jī)變量的散點(diǎn)圖矩陣：

使用copula

讓我們使用copula復(fù)制上面的過(guò)程。

現(xiàn)在我們已經(jīng)通過(guò)copula（普通copula）指定了相依結(jié)構(gòu)并設(shè)置了邊緣，函數(shù)生成了所需的分布。然后我們可以使用函數(shù)生成隨機(jī)樣本。

模擬數(shù)據(jù)當(dāng)然非常接近之前的數(shù)據(jù)，顯示在下面的散點(diǎn)圖矩陣中：

簡(jiǎn)單的應(yīng)用示例

現(xiàn)在為現(xiàn)實(shí)世界的例子。我們將擬合兩個(gè)股票 ，并嘗試使用copula模擬 。?

讓我們?cè)赗中加載 ：

在直接進(jìn)入copula擬合過(guò)程之前，讓我們檢查兩個(gè)股票收益之間的相關(guān)性并繪制回歸線(xiàn)：

我們可以看到 正相關(guān) ：

在上面的第一個(gè)例子中，我選擇了一個(gè)正態(tài)的copula模型，但是，當(dāng)將這些模型應(yīng)用于實(shí)際數(shù)據(jù)時(shí)，應(yīng)該仔細(xì)考慮哪些更適合數(shù)據(jù)。例如，許多copula更適合建模非對(duì)稱(chēng)相關(guān)，其他強(qiáng)調(diào)尾部相關(guān)性等等。我對(duì)股票收益率的猜測(cè)是，t-copula應(yīng)該沒(méi)問(wèn)題，但是猜測(cè)肯定是不夠的。本質(zhì)上， 允許我們通過(guò)函數(shù)使用BIC和AIC執(zhí)行copula選擇 ：

擬合算法確實(shí)選擇了t-copula并為我們估計(jì)了參數(shù)。?
讓我們嘗試擬合建議的模型，并檢查參數(shù)擬合。

我們來(lái)看看我們剛估計(jì)的copula的密度

現(xiàn)在我們只需要建立Copula并從中抽取3965個(gè)隨機(jī)樣本。

這是包含的樣本的圖：

t-copula通常適用于在極值（分布的尾部）中存在高度相關(guān)性的現(xiàn)象。
現(xiàn)在我們面臨困難：對(duì)邊緣進(jìn)行建模。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們將假設(shè)正態(tài)分布 。因此，我們估計(jì)邊緣的參數(shù)。

直方圖顯示如下：

現(xiàn)在我們?cè)诤瘮?shù)中應(yīng)用copula，從生成的多變量分布中獲取模擬觀(guān)測(cè)值。最后，我們將模擬結(jié)果與原始數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。

這是在假設(shè)正態(tài)分布邊緣和相依結(jié)構(gòu)的t-copula的情況下數(shù)據(jù)的最終散點(diǎn)圖：

正如您所看到的，t-copula導(dǎo)致結(jié)果接近實(shí)際觀(guān)察結(jié)果 。?

讓我們嘗試和

顯然，該參數(shù)對(duì)于確定分布的形狀非常重要。隨著增加，t-copula傾向于正態(tài)分布copula。

本文摘選《R語(yǔ)言實(shí)現(xiàn) Copula 算法建模相依性案例分析報(bào)告》，點(diǎn)擊“閱讀原文”獲取全文完整資料。

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