A-2-3剛體平衡

2023-08-30 22:06 作者:夏莉家的魯魯 0人讀過 | 我要投稿

2.3.1 力矩平衡

在高考中我們研究物體的受力平衡，可以把物體看成質(zhì)點，只研究物體的平動。但是當我們研究剛體的平衡時，除了滿足受力平衡，還需要滿足力矩平衡。

初中我們就學(xué)習(xí)過杠桿原理，

$F_1L_1%3DF_2L_2$

其中力臂是從支點到作用線的距離，利用矢量的運算，我們可以定義力矩

$%5Cvec%20M%3D%5Cvec%20r%5Ctimes%5Cvec%20F$

滿足杠桿原理，其實就是滿足力矩平衡，動力與阻力我們可以用力矩的方向來區(qū)分。我們將選取的轉(zhuǎn)動中心稱為矩心。

平衡方程

由以上討論，物體的平衡方程有兩組

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20%5Csum%20%5Cvec%20F_i%3D0%5C%5C%20%5Csum%20%5Cvec%20M_i%3D0%20%5Cend%7Bcases%7D$

對于空間力系，上式對應(yīng)6個分量方程：

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20%5Csum%20%5Cvec%20F_%7Bix%7D%3D0%2C%5Csum%20%5Cvec%20M_%7Bix%7D%3D0%5C%5C%20%5Csum%20%5Cvec%20F_%7Biy%7D%3D0%2C%5Csum%20%5Cvec%20M_%7Biy%7D%3D0%5C%5C%20%5Csum%20%5Cvec%20F_%7Biz%7D%3D0%2C%5Csum%20%5Cvec%20M_%7Biz%7D%3D0%20%5Cend%7Bcases%7D$

對于平面力系，則對應(yīng)3個分量方程：

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20%5Csum%20%5Cvec%20F_%7Bix%7D%3D0%5C%5C%20%5Csum%20%5Cvec%20F_%7Biy%7D%3D0%5C%5C%20%5Csum%20%5Cvec%20M_i%3D0%20%5Cend%7Bcases%7D$

例1.如圖所示，一根長為l的桿靠在高為d的矮墻上，桿的質(zhì)量為m，桿與地面間的摩擦因數(shù)足夠大（可以保證桿與地面的接觸點A處不滑動），桿與矮墻間的摩擦因數(shù)為 $%5Cmu$ .已知A點與矮墻的距離為a，試求：

（1）桿與地面間的夾角 $%5Ctheta$ 的最小值是多少？（2） $%5Ctheta$ 最小時，墻對桿的支持力為多少？

作受力分析如圖，需要注意的是，由于桿在ABCD平面上滑動，C點所受支持力垂直平面，摩擦力平行于平面。

分別以DA和過A點且垂直ABCD平面的直線為轉(zhuǎn)軸，作受力分析平面圖：

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20N%5Ccdot%5Coverline%7BAB%7D%3DG%5Cdfrac%7Bl%5Ccos%5Calpha%7D%7B2%7D%5Ccos%5Cbeta%5C%5C%20f%5Ccdot%5Coverline%7BAC%7D%3DG%5Csin%5Cbeta%5Cdfrac%7Bl%7D%7B2%7D%5Csin%5Calpha%20%5Cend%7Bcases%7D$

這里需要注意一下，不同視角的線段長度是不一樣的。代入幾何關(guān)系：
$%5Cbegin%7Bcases%7D%20N%5Csqrt%7Ba%5E2%2Bd%5E2%7D%3DG%5Cdfrac%7Bl%7D%7B2%7D%20%5Cdfrac%7B%5Csqrt%7Ba%5E2%2Bd%5E2%7D%5Csin%5Ctheta%7D%7Bd%7D%5Cdfrac%7Ba%7D%7B%5Csqrt%7Ba%5E2%2Bd%5E2%7D%7D%5C%5C%20f%5Cdfrac%7Bd%7D%7B%5Csin%5Ctheta%7D%3DG%5Cdfrac%7Bd%7D%7B%5Csqrt%7Ba%5E2%2Bd%5E2%7D%7D%20%5Cdfrac%7Bl%7D%7B2%7D%5Cdfrac%7B%5Csqrt%7Bd%5E2%5Ccot%5E2%5Ctheta-a%5E2%7D%5Csin%5Ctheta%7D%7Bd%7D%20%5Cend%7Bcases%7D$
解得

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20N%3D%5Cdfrac%7Bla%5Csin%5Ctheta%7D%7B2d%5Csqrt%7Ba%5E2%2Bd%5E2%7D%7DG%20%5Cdfrac%7B%7D%7B%7D%5C%5C%20f%3D%5Cdfrac%7Bl%5Csqrt%7Bd%5E2%5Ccot%5E2%5Ctheta-a%5E2%7D%5Csin%5E2%5Ctheta%7D%7B2d%5Csqrt%7Ba%5E2%2Bd%5E2%7D%7DG%20%5Cend%7Bcases%7D$
故

$%5Cdfrac%7Bf%7D%7BN%7D%3D%5Cdfrac%7B%5Csqrt%7Bd%5E2%5Ccos%5E2%5Ctheta-a%5E2%5Csin%5E2%5Ctheta%7D%7D%7Ba%7D%5Cle%5Cmu$
解得

$%5Ctheta%5Cge%5Carccos%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7B(%5Cmu%5E2%2B1)a%5E2%7D%7Ba%5E2%2Bd%5E2%7D%7D$
代入臨界值，得此時

$N%3D%5Cdfrac%7Bla%5Csqrt%7Bd%5E2-%5Cmu%5E2a%5E2%7D%7D%7B2d(a%5E2%2Bd%5E2)%7Dmg%20%5Cdfrac%7B%7D%7B%7D$
①要使結(jié)果有意義，一方面桿不能從墻上掉下，即 $l%5Csin%5Ctheta%3Ed$ ，化簡得

$l%5Cge%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7Ba%5E2%2Bd%5E2%7D%7Bd%5E2-%5Cmu%5E2a%5E2%7D%7Dd$
另一方面，根號下非負，即

$%5Cmu%5Cle%5Cdfrac%7Bd%7D%7Ba%7D$
②當 $%5Cmu%3E%5Cdfrac%7Bd%7D%7Ba%7D$ 時，此時桿在任意位置均可以平衡， $%5Ctheta$ 取最小值時，棒的端點恰好擱在墻上：

$%5Ctheta_%7Bmin%7D%3D%5Carcsin%5Cdfrac%7Bd%7D%7Bl%7D$
對應(yīng)支持力

$N%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2l%7D%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7Bl%5E2-d%5E2%7D%7B1%2B%5Cmu%5E2%7D%7Dmg$

由上例可見，空間的剛體平衡問題還是比較復(fù)雜的，需要較好的空間想象力。大部分情況下，我們研究的還是平面情況。

平面力系

1.物體平衡時，矩心（轉(zhuǎn)軸）的選取是任意的。

比如物體受力對A點合力矩為零，A點到第i個力作用點的位置矢量用 $%5Cvec%20r_i$ 表示，我們選取另一矩心B，B點到第i個力作用點的位置矢量用 $%5Cvec%20r'_i$ 表示，令 $%5Coverrightarrow%7BAB%7D%3D%5Cvec%20d$ .

則

$%5Csum%20%5Cvec%20r_i%5Ctimes%5Cvec%20F_i%3D%5Csum%5Cvec%20r'_i%5Ctimes%5Cvec%20F_i%2B%5Cvec%20d%5Ctimes%5Csum%5Cvec%20F_i$

其中 $%5Csum%5Cvec%20r'_i%5Ctimes%5Cvec%20F_i$ 表示以A點為矩心的力矩。受力平衡時， $%5Csum%5Cvec%20F_i%3D0$

故

$%5Csum%20%5Cvec%20r_i%5Ctimes%5Cvec%20F_i%3D0%E4%B8%8E%5Csum%20%5Cvec%20r'_i%5Ctimes%5Cvec%20F_i%3D0$ 等效

即在寫力矩平衡方程時，矩心的選取不影響最終結(jié)果。由此，我們可以選擇無需計算的力的作用點，或者幾個力的作用線交點為矩心，來減少方程的未知數(shù)個數(shù)，從而簡化運算。

2.力矩平衡方程可以代替受力平衡方程。

在寫平衡方程時，我們可以分別以A、B為矩心寫2個力矩平衡方程，再加上一個受力平衡方程。令 $%5Coverrightarrow%7BAB%7D%3D%5Cvec%20d$ ，有

$%5Csum%20%5Cvec%20r_i%5Ctimes%5Cvec%20F_i%3D%5Csum%5Cvec%20r'_i%5Ctimes%5Cvec%20F_i%2B%5Cvec%20d%5Ctimes%5Csum%5Cvec%20F_i$

上式中，由2個力矩平衡方程，前兩項為0，則第三項也為0：

$%5Cvec%20d%5Ctimes%5Csum%5Cvec%20F_i%20%3D%5Cvec%20d%5Ctimes%5Csum%5Cvec%20F_%7Bix%7D%2B%5Cvec%20d%5Ctimes%5Csum%5Cvec%20F_%7Biy%7D%3D0$

此時再加一個受力平衡方程，由 $%5Csum%20%5Cvec%20F_%7Bix%7D%3D0$ 可以推得

$%5Csum%20%5Cvec%20F_%7Biy%7D%3D0$

但是要求 $%5Cvec%20d%5Cnot%5Cperp%20%5Chat%20x$ ，否則

$%5Cvec%20d%5Ctimes%5Csum%5Cvec%20F_%7Biy%7D%3D0$

恒成立。同理，我們也可以分別以A、B、C為矩心，寫3個力矩平衡方程，令

$%5Coverrightarrow%7BAB%7D%3D%5Cvec%20d_1%EF%BC%8C%5Coverrightarrow%7BBC%7D%3D%5Cvec%20d_2$

同上可得

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20%5Cvec%20d_1%5Ctimes%5Csum%20%5Cvec%20F_i%20%3D%5Cvec%20d_1%5Ctimes%5Csum%20%5Cvec%20F_%7Bix%7D%20%2B%5Cvec%20d_1%5Ctimes%5Csum%20%5Cvec%20F_%7Biy%7D%3D0%5C%5C%20%5Cvec%20d_2%5Ctimes%5Csum%20%5Cvec%20F_i%20%3D%5Cvec%20d_2%5Ctimes%5Csum%20%5Cvec%20F_%7Bix%7D%20%2B%5Cvec%20d_2%5Ctimes%5Csum%20%5Cvec%20F_%7Biy%7D%3D0%20%5Cend%7Bcases%7D$

該方程能解得唯一解

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20%5Csum%20%5Cvec%20F_%7Bix%7D%3D0%5C%5C%20%5Csum%20%5Cvec%20F_%7Biy%7D%3D0%5C%5C%20%5Cend%7Bcases%7D$

的要求是 $%5Cvec%20d_1$ 與 $%5Cvec%20d_2%20$ 不共線，即3個矩心不共線。

例2.如圖，半徑分別為 $r_1$ 和 $r_2$ 的兩個均勻圓柱體置于同一水平面上，在大圓柱上繞有一根細繩，通過細繩對大圓柱施以水平拉力P.設(shè)所有接觸處的靜摩擦因數(shù)均為 $%5Cmu$ .為使在力P的作用下，大圓柱能翻過小圓柱，問 $%5Cmu$ 的最小值是多少？

畫出受力分析圖：

對1，分別選 $O_1$ 、F、B為矩心，得

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20f_1r_1%3Df_2r_1%5C%5C%20N_1%5Coverline%7BFC%7D%2BG_1%5Coverline%7BBF%7D%3DN_2%5Coverline%7BBF%7D%5C%5C%20N_1r_1%5Csin%5Ctheta%3Df_1%5Coverline%7BBF%7D%5Csin%5Ctheta%20%5Cend%7Bcases%7D$
對2，分別選 $O_2$ 、E為矩心，得

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20f_1r_2%3DPr_2%5C%5C%20G_2%5Coverline%7BEA%7D%3DN_1%5Coverline%7BEC%7D%5C%5C%20%5Cend%7Bcases%7D$
上述方程組化簡得
$%5Cbegin%7Bcases%7D%20f_1%3Df_2%3DP%5C%5C%20N_1%3DN_2-G_1%3DG_2%5C%5C%20%5Cdfrac%7Bf_1%7D%7BN_1%7D%3D%5Ctan%5Cdfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D%20%5Cend%7Bcases%7D$
由于 $N_2%3EN_1$ ，只要C處不滑動即可，即求 $%5Cdfrac%7Bf_1%7D%7BN_1%7D$ 的最大值，也就是 $%5Ctheta$ 的最大值。

由圖可知，初始時刻 $%5Ctheta$ 最大，此時

$%5Cmu%5Cge%5Ctan%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D%3D%5Cdfrac%7BCF%7D%7BR%7D%3D%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7Br_1%7D%7Br_2%7D%7D$
其中f_1和N_1的比值也可以由下一節(jié)的共點力平衡直接得到。

2.3.2 共點力平衡

在力矩平衡方程中，物體一共受到n個力，如果其中n-1個作用力交于同一點O，選O點為矩心時，有

$%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn-1%7D%20%5Cvec%20r_i%5Ctimes%5Cvec%20F_i%3D0$

由于

$%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20%5Cvec%20r_i%5Ctimes%5Cvec%20F_i%3D0$

二者作差得

$%5Cvec%20r_n%5Ctimes%5Cvec%20F_n%3D0$

故 $%5Cvec%20r_n$ 一定也過O點。

特殊的，當物體只受3個力，三力不平行時，一定交于同一點。當2個力作用點相同時，我們可以將兩個力等效為一個力，而不影響力矩。比如同一點的支持力和摩擦力，可以等效為全反力。

由此，2個受力平衡方程我們可以用力的閉合矢量圖來代替，1個力矩平衡方程可以用三力交于同一點來代替。用幾何視角解決力學(xué)問題，往往比較快捷。

例3.如圖所示，對均勻細桿的一端施力F，力的方向垂直于桿．要將桿從地板上慢慢地?zé)o滑動地抬起，試求桿與地面間的最小摩擦因數(shù).

作受力分析圖如圖，其中已經(jīng)將摩擦力和支持力等效為全反力，則三力交于同一點。

要求摩擦系數(shù)的最小值，即求 $%5Ctan%5Ctheta$ 的最大值。設(shè)桿長為l，找到 $%5Ctheta$ 和 $%5Calpha$ 的關(guān)系：

$l%5Ccot(%5Calpha%2B%5Ctheta)%3D%5Cdfrac%7Bl%7D%7B2%7D%5Ccot%5Calpha$
化簡得

$%5Ccot%5Ctheta%3D2%5Ctan%5Calpha%2B%5Ccot%5Calpha%5Cge2%5Csqrt%7B2%7D$
故

$%5Cmu%5Cge(%5Ctan%5Ctheta)_%7Bmax%7D%3D%5Cdfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B4%7D$

例4.如圖，一架均勻梯子AB，質(zhì)量為M，長AB=10m，靠在光滑墻壁上，A、B兩端到墻角O的距離分別為AO=8m、BO=6m，已知梯子與水平地面間的靜摩擦因數(shù)為 $%5Cmu%3D0.5$ .試回答下列問題：（1）地面對梯子的作用力為多大？（2）一個質(zhì)量為5M的人沿此梯子向上爬，他最多能沿梯子上升多遠而不致使梯子傾倒？

對人和桿整體作受力分析，這里人的重力和桿的重力平行，可以將2者等效為一個重力G'，等效作用點在O，人的中心為 $O_2$ ，桿的中心為 $O_1$ .

恰好滑動時

$%5Ctan%5Ctheta%3D%5Cmu%3D0.5$
由幾何關(guān)系

$%5Cdfrac%7BAO%7D%7BAB%7D%3D%5Cdfrac%7BAD%7D%7BCB%7D%3D%5Cdfrac%7B%5Ctan37%C2%B0-%5Ctan%5Ctheta%7D%7B%5Ctan37%C2%B0%7D%3D%5Cdfrac%7B1%7D3%7B%7D$
又

$AO_1%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7DAB%2C%5Cdfrac%7BOO_1%7D%7BOO_2%7D%3D5$
故人爬的最大高度

$BO_2%3D%5Cdfrac%7B7%7D%7B10%7DAB%3D7m$