????信號的不確定性原理，也就是量子力學(xué)里的海森堡測不準(zhǔn)原理。它指出：信號的時(shí)寬和頻寬不可能同時(shí)任意地窄，這也就意味著，不可能通過任何方法上的改進(jìn)同時(shí)得到完全精確的信號時(shí)間、頻率信息。當(dāng)使用短時(shí)窗進(jìn)行傅里葉變換，信號的時(shí)間信息變得精確，同時(shí)頻率信息變得不精確；當(dāng)使用長時(shí)窗進(jìn)行傅里葉變換，信號的頻率信息變得精確，同時(shí)時(shí)間分布信息變得不精確，因?yàn)槟愕玫降念l率信息是分布在整個(gè)時(shí)窗中的。

????因此，之后介紹的任何方法，都受制于不確定性原理。

為了說明這一點(diǎn)，也為了讓大家能看懂過程，首先引入一些簡單的概念：

1.波形中心

首先我們思考一個(gè)一維的、密度不均勻的線段。我們想知道它的質(zhì)心位置，也就是等效于全部質(zhì)量集中一點(diǎn)。那么根據(jù)定義，我們?nèi)∫粋€(gè)原點(diǎn)，把線段分為一個(gè)個(gè)有質(zhì)量的小段dx，每個(gè)小段都有一個(gè)位置矢量。我們把各個(gè)小段dx的質(zhì)量貢獻(xiàn)矢量相加，就得到了最后的質(zhì)心位置。

對于一個(gè)信號，我們同樣想知道它的“質(zhì)心”所在。這個(gè)“質(zhì)心”就是波形中心，又叫平均時(shí)間。

如果把信號的模的平方看作時(shí)間域的“密度”，那么波形中心定義為：

s(t)是時(shí)變信號，也就是一個(gè)隨時(shí)間變化的函數(shù)。

順便給出均方平均——也就是時(shí)間先平方——的定義，下面要用。

2.時(shí)寬

知道了“質(zhì)心”位置，我們自然想到，其他質(zhì)量關(guān)于質(zhì)心的分布如何？是均勻分布，還是不均勻分布？這個(gè)時(shí)候自然想到要算一下標(biāo)準(zhǔn)差。這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差就是時(shí)寬。

為防止讀者一時(shí)半會兒緩不過來，展開推導(dǎo)一下：

按照定義，時(shí)寬描述了信號的集中程度。如果時(shí)寬小，表示信號是短持續(xù)信號；時(shí)寬大，則是長持續(xù)信號。

3.中心頻率

和波形同理，中心頻率就是在信號的頻率域上做個(gè)積分。

4.頻寬（帶寬）

和時(shí)寬同理，頻寬就是信號在頻域的標(biāo)準(zhǔn)差。

好了我保證不會再有一個(gè)概念出現(xiàn)了！正式介紹信號的不確定性原理：

不確定性原理

證明：

為簡化公式，不妨假設(shè)信號的時(shí)間平均、頻率平均都是0，則有

由傅里葉變換的微分性質(zhì)（意思就是時(shí)間信號每求一次導(dǎo)數(shù)，對應(yīng)的傅里葉變換都要乘一個(gè)omega）

和Plancherel定理，它指出函數(shù)的傅里葉轉(zhuǎn)換的平方和的積分等于函數(shù)本身平方的積分。就一維情形而言，對于??∈?L2(R)，我們有

因此，我們把

中的omega*s(omega)項(xiàng)用-i*ds/dt替換一下。

改寫為：

又根據(jù)柯西-施瓦茨不等式，對于一個(gè)內(nèi)積空間所有向量x和y，

或者寫作

所以，對于下式：

有不等式關(guān)系：

積分一下不等式右邊，利用了分部積分、和信號能量歸一化的定義。

注意一下為什么

是因?yàn)槲覀円?guī)定了”質(zhì)心“在0，這也就意味著，在正負(fù)無窮遠(yuǎn)處，應(yīng)該是對稱的，否則不可能質(zhì)心在0，所以兩個(gè)方向的極限值相減就是0。

代入就得到了

實(shí)際上海森堡的不確定性原理證明和信號的不確定性原理是類似的呦，可以思考一下。

參考資料：

維基百科

《時(shí)頻分析與小波變換》 唐向宏 李齊良