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第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

第八節(jié) 方程的近似解

求方程的近似解：

1. 根的隔離：確定根的大致范圍，具體地說，就是確定一個(gè)區(qū)間[a,b]，使所求的根是位于這個(gè)區(qū)間內(nèi)的唯一實(shí)根——區(qū)間[a,b]稱為所求實(shí)根的隔離區(qū)間；

2. 以根的隔離區(qū)間的端點(diǎn)作為根的初始近似值，逐步改善根的近似值的精確度，直至求得滿足精確度要求的近似解。

方法：

1. 二分法

2. 切線法
   

一、二分法

步驟：

1. 設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，f(a)f(b)<0，且方程f(x)=0在(a,b)內(nèi)僅有一個(gè)實(shí)根ξ，于是[a,b]即是這個(gè)根的一個(gè)隔離區(qū)間；

2. 取[a,b]的中點(diǎn)ξ1=(a+b)/2，計(jì)算f(ξ1)；

3. 分類討論：

1. 如果f(ξ1)=0，那么ξ=ξ1；

2. 如果f(ξ1)與f(a)同號(hào)，那么取a1=ξ1，b1=b，由f(a1)f(b1)<0，即知a1<ξ<b1，且b1-a1=(b-a)/2；

3. 如果f(ξ1)與f(b)同號(hào)，那么取a1=a，b1=ξ1，由f(a1)f(b1)<0，即知a1<ξ<b1，且b1-a1=(b-a)/2；

   ——總之，當(dāng)ξ≠ξ1時(shí)，可求得a1<ξ<b1，且b1-a1=(b-a)/2；

4. 以[a1,b1]作為新的隔離區(qū)間，重復(fù)上述做法，當(dāng)ξ≠ξ2=(a1+b1)/2時(shí)，可求得a2<ξ<b2，且b2-a2=(b-a)/2^2；

5. 如此重復(fù)n次，可求得an<ξ<bn，且bn-an=(b-a)/2^n，由此可知，如果以an或bn作為ξ的近似值，那么其誤差小于(b-a)/2^n。
   

二、切線法

切線法：用曲線弧一端的切線來代替曲線弧，從而求出方程實(shí)根的近似值，這種方法叫做切線法——如果在縱坐標(biāo)與f"(x)同號(hào)的那個(gè)端點(diǎn)作切線，這切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1就比x2更接近方程的根ξ。