我們可以從之前的示例里看到，它們的推導(dǎo)過程很清晰，但總感覺少了一點什么。下面我們來看看這些引起我們思考的地方。

Part 1?同宮定理

第一個我們要介紹的內(nèi)容就是同宮定理。同宮定理是一種神奇的定理，但使用范圍有限。我們先來看看它到底是怎么用的。

如圖所示，這個結(jié)構(gòu)是一個標(biāo)準(zhǔn)的JE，我們已經(jīng)不用再去敘述邏輯了，刪數(shù)就是這里淺紅色r2c4(26)和r3c7(9)?，F(xiàn)在我們嘗試來看看它還能得到什么結(jié)論。

我們嘗試觀察b5689里的所有1、5、8的確定值的分布。我們發(fā)現(xiàn)1和8是同宮的，而5是單獨處于b6和b8的。同宮定理是：假設(shè)基準(zhǔn)單元格里涉及的數(shù)字是a、b、c三種不同的數(shù)字，那么去嘗試找交叉線單元格所屬的六個宮里，和兩個基準(zhǔn)單元格不同行列的剩下四個宮里，a、b、c的確定值的分布。如果其中兩種數(shù)字處于同宮的分布，那么基準(zhǔn)單元格里就一定是這一組數(shù)字，即，基準(zhǔn)單元格就是這兩個數(shù)字構(gòu)成的數(shù)對形式。

這句話有些繞，我們一步一步分析。首先，1、5、8就是這個定理說到的a、b、c三種數(shù)字，然后觀察交叉線單元格分屬的六個宮b456789，然后發(fā)現(xiàn)，基準(zhǔn)單元格所在行列包含b47，所以剩下我們要觀察的四個宮是b5689。然后發(fā)現(xiàn)1、5、8的確定值里，1和8是同宮的，所以基準(zhǔn)單元格就是關(guān)于1和8的數(shù)對。于是，刪除掉r1c12(5)。

這個定理非常好用，但具有一定的局限性。目前從定理來看，首先基準(zhǔn)單元格必須是兩個，而且必須涉及的是三種不同數(shù)字，如果是四個甚至更多，是都不行的。而且就目前來看，我們無法給出這個定理的證明。而且，使用上也有局限性。

如圖所示，我們發(fā)現(xiàn)5和7同宮（b8），但這個示例依舊不能直接使用。我們所認(rèn)為的同宮，必須是對角分布都需要存在同宮的要求。比如這一則示例里，b8是同宮的，但與之對角的b6卻不是5和7同宮的；而b6卻只有5沒有7。所以這一個示例無法使用同宮定理得到結(jié)論。

對比之前的示例，1和8是同宮的，而處于對角的兩個宮b5和b9都是同宮的，所以它才滿足了同宮定理的要求。

所以，這一點很重要。

至于這個定理的論證，我們不會在這里提到，因為它的思路比較復(fù)雜。我們還有一個定理，它的邏輯和論證將在后面給出，而且它恰好包含了同宮定理的內(nèi)容。

Part 2?T數(shù)對定理

第一個最容易想到的推論，就是目標(biāo)單元格的跨區(qū)數(shù)對了。由于最后兩處的填數(shù)是不同的，所以兩個單元格只能一個a一個b，它們便形成了關(guān)于a和b的跨區(qū)數(shù)對，只是刪數(shù)我們還不知道，因為a和b是未知數(shù)。如果我們后續(xù)的推導(dǎo)里可以得到a和b究竟是什么的時候，我們就可以順理成章地得到跨區(qū)數(shù)對的刪數(shù)了。

因為同宮定理目前不能使用在涉及四種數(shù)字的情況下，所以我們也無法使用同宮定理來進行刪數(shù)。但是，如果只有三種數(shù)，那么就可以得到結(jié)論了：

如圖所示，我們可以利用同宮定理得到的是，基準(zhǔn)單元格里是2和9，那么根據(jù)JE的理論，我們還可以得到的是目標(biāo)單元格里也是2和9，因為基準(zhǔn)單元格是a和b，那么目標(biāo)單元格里也是a和b，而且填數(shù)還不一樣。

那么，由于是2和9的跨區(qū)數(shù)對的關(guān)系，r1c46和r3c89就顯然不能放其它的2和9了，刪掉它們。

這個定理跟目標(biāo)單元格有關(guān)，而目標(biāo)單元格target的首字母是T，所以稱為T數(shù)對（Target Pair）。

我們再來看一則比較難理解的例子。

如圖所示，我們可以根據(jù)基本的JE的刪數(shù)形式得到目標(biāo)單元格的刪數(shù)。不過還不夠，此時我們著重去看伴單元格r4c1和r6c4的鏡面單元格r4c23和r6c56。

我們發(fā)現(xiàn)，r5僅剩下四個單元格。我們小范圍使用代數(shù)法，假設(shè)r5c89是a和b，那么1、2、3、8的剩下兩個數(shù)假設(shè)為c和d，此時只能放在r5c14里，我們可以隨意假設(shè)c和d的位置，反正都是一樣的。

a和b也是一樣，目標(biāo)單元格有兩個，隨便哪一個是a都行，這并不影響后續(xù)的推導(dǎo)。那么此時，我們可以得到上圖這樣的填數(shù)模式。顯然，我們必然得到了r4c4是b，而r5c1是c，r6c1是a，而發(fā)現(xiàn)r4c23里只有1、2、3、8和額外的數(shù)字9。因為a、b、c都出現(xiàn)了，那么這兩個單元格里只能放下一個d和一個9，否則的話，兩個單元格只剩下1、2、3、8，而其中三種數(shù)都不能放入r4c23里，所以必須讓9放進去，故r4c23里存在一個9區(qū)塊；同理，下面的r6c56也應(yīng)當(dāng)通過類似的結(jié)論得到含有5區(qū)塊的結(jié)論。

顯然，由于5區(qū)塊和9區(qū)塊的成立，圖中對應(yīng)的區(qū)域里自然就可以刪除掉這些數(shù)字，這里就不畫出來了。

Part 3?T鄰/鏡面單元格定理

和目標(biāo)單元格有關(guān)的還有一個定理，我們稱為T鄰定理，或鏡面單元格定理，因為它跟鏡面單元格有關(guān)。

3-1 原理

如圖所示，我們通過之前的定理可以確定的刪數(shù)，能做到這里。不過，我這次把鏡面單元格也涂上了顏色，這意味著鏡面單元格也有結(jié)論，不過是什么結(jié)論呢？

我們知道基準(zhǔn)單元格一定是2和9了，那么r1c7和r3c5就一定是2和9，不過究竟哪一個單元格是2，哪一個是9我們目前還不知道。不過請思考一下。假如r1c7填入的是2，那么r3c5就是9，那么會如何呢？

如果r1c7是2，而r2c13里必有一個2，這就使得了r3c5的兩個鏡面單元格r3c46必須有一個是填2的，因為2在b2里只剩下這兩個單元格可以填入2了；同理，由于r3c5是9，所以b3里此時能放9的位置只有r1c89，所以r1c7的鏡面單元格r1c89里必須有一個9。

這就是T鄰定理的內(nèi)容：如果我們確定了基準(zhǔn)單元格一定是填入a和b的，而某一個目標(biāo)單元格填入了數(shù)字a，那么它自己的鏡面單元格就必須有一個單元格是填入b的；或者把a和b換過來也可以。

那么，這個定理能不能反過來用呢？當(dāng)然可以。根據(jù)逆否命題，如果鏡面單元格里不包含我們需要的數(shù)字a和b的話（取原命題的反面情況），那么對應(yīng)的目標(biāo)單元格里就不能說明填入的數(shù)字一定是a和b，此時的JE就不一定成立了。因為原命題和逆否命題等價，所以這樣理解是完全可以的。

這個內(nèi)容有什么用處呢？我們來看一些示例。

3-2?示例1：帶死鎖區(qū)塊的JE

如圖所示。仔細(xì)觀察這個結(jié)構(gòu)，它有點不像是之前熟悉的JE結(jié)構(gòu)，因為基準(zhǔn)單元格里含有的數(shù)字9在交叉線單元格里有確定值的出現(xiàn)。我們之前的推導(dǎo)邏輯里，基準(zhǔn)單元格里涉及的所有數(shù)字在交叉線單元格里都沒有確定值的出現(xiàn)的。

顯然，這個結(jié)構(gòu)的數(shù)字9出現(xiàn)了這樣的情況，我們就無法當(dāng)作JE來使用，不過我們可以換一種思考方式：正難則反。假設(shè)基準(zhǔn)單元格r4c23里不含有候選數(shù)9的話，那么JE就明顯是成立的了，因為1、2、3、8四種數(shù)字在交叉線單元格里最多都只能出現(xiàn)兩個，所以在c147的剩余部分r456c147里，1、2、3、8都最少需要出現(xiàn)一次。假設(shè)r4c23填入的是a和b（此時a和b是1、2、3、8的其二，且不相同），那么我們可以順理成章地得到目標(biāo)單元格r5c4和r6c7里都只能是a和b。而1、2、3、8顯然就是這里a和b的候選情況，所以自然就刪掉和1、2、3、8無關(guān)的數(shù)字。

不過可以從圖上看出，r6c7似乎把1、2、3、8這些需要的數(shù)字全刪掉了，說明上述推導(dǎo)有錯。那么錯誤在哪里呢？錯誤在于，我們說過，如果JE成立，那么就可以嘗試使用T鄰定理來得到鏡面單元格的結(jié)論。顯然，如果r5c4填入a，而r6c7填入b的話，那么r5c4的鏡面單元格r5c56里就必須有一個是數(shù)字b（且b一定是1、2、3、8的其一）。不過可以從圖上看出，r5c56都是確定值，且是6和9，跟1、2、3、8全部無關(guān)。這就說明了矛盾的出現(xiàn)：原本我們要求JE成立后，一定會得到鏡面單元格必須是1、2、3、8的其一，結(jié)果卻出現(xiàn)的是6和9，這顯然不對，所以原假設(shè)錯誤，即r4c23里必須有一個9，即形成了9區(qū)塊。

那為什么刪除的數(shù)字是r6c7(1238)呢？顯然，我們可以通過9的確定值看出，b6此時能放9的位置只有r6c7，所以r6c7 = 9。

類似于這種使用的，還有一些示例。

3-3?示例2：另一則帶死鎖區(qū)塊的JE

如圖所示。我們嘗試假設(shè)r1c46沒有候選數(shù)6，那么交叉線單元格就不需要看6的相關(guān)填數(shù)位置，此時1、3、4、8都最多出現(xiàn)兩次，所以r123c158里至少出現(xiàn)一次1、3、4、8。而假設(shè)r1c46填入a和b（此時a和b是1、3、4、8的其二，且不相同），那么最終a和b只能放在r2c1和r3c8里。

不過根據(jù)T鄰定理，我們可以看到r2c1的鏡面單元格含有5和6的確定值，但它們跟1、3、4、8無關(guān)，所以出現(xiàn)矛盾。所以，原本假設(shè)錯誤，即r1c46(6)區(qū)塊是成立的，故我們可以利用這個區(qū)塊，得到r3c8 = 6的結(jié)論。

3-4?示例3：只有T鄰定理刪數(shù)的JE

如圖所示，我們可以通過基本的推理邏輯得到目標(biāo)單元格r7c4和r8c9填入的是2、6、8、9的其二，不過此時依然沒有刪數(shù)。不過我們不能氣餒，因為這個例子隱藏了一個巨大的T鄰定理的使用方法。

可以發(fā)現(xiàn)，假如我們設(shè)r9c13填入a和b，且r7c4是a、r8c9是b的話，那么根據(jù)T鄰定理可以得到，r8c8一定是a，而r7c56里有一個是b。那么，r8c8為啥一定是a呢？因為r8c9的鏡面單元格r8c78里必須有一個a，這是T鄰定理規(guī)定的結(jié)論；而其中的r8c7是4的確定值，而它并不在2、6、8、9其中，所以能放a的地方就只剩下r8c8了。

所以，r8c8是a。換而言之，r8c8不應(yīng)當(dāng)是2、6、8、9外的數(shù)字，刪掉它們。此時又可以發(fā)現(xiàn)，r8c8填入的是a，根據(jù)代數(shù)法的原理，原本假設(shè)為a的地方，就必須是填入a的，所以目標(biāo)單元格r7c4就一定也是這些候選數(shù)。r8c8只有2和9，那么r7c4也只能有2和9，刪除掉6和8。

3-5?示例4：需要T鄰定理刪數(shù)的第二類JE

如圖所示，它的邏輯和前面這一則示例推導(dǎo)邏輯完全一樣，不過用到的是第二類JE的論證出現(xiàn)至少兩次的邏輯。推導(dǎo)只有這一點不同，所以這里就不再給出示例的說明了，請你自己分析。

需要注意的是，刪數(shù)一定要是同步的。比如T鄰定理得到的候選數(shù)是怎么樣的，可以根據(jù)代數(shù)法代入回原本的目標(biāo)單元格，得到候選數(shù)一致的結(jié)論，這一點別漏掉了。

3-6?示例5：同時有共軛對和死鎖區(qū)塊的JE

如圖所示，首先我們可以通過JE直接得到目標(biāo)單元格內(nèi)的刪數(shù)。接著我們可以觀察r3c7的鏡面單元格r3c89有什么結(jié)論。

我們按照期望先假設(shè)r23c7填入的是b和7（7是共軛對導(dǎo)致的），而r2c4假設(shè)填入的是a。那么r23c7究竟哪一個是7，哪一個是b，我們不清楚，所以分兩種情況來分析。

假如r2c7 = b，那么此時形成的目標(biāo)單元格就位于同一側(cè)了，而此時r1c12這一對基準(zhǔn)單元格填入的肯定是a和b，所以我們把a提出來，針對于b3作出排除，可以發(fā)現(xiàn)a只能放到r3c89里，而b3（或者說r3）上存在5的共軛對，這意味著r3c89里必須有一個是a，另外一個是5。而r3c89填入的數(shù)字跟a（1、2、3其一）和5以外的數(shù)字無關(guān)，所以可以刪除掉它們；

假設(shè)r3c7 = b，那么此時更容易地確定到a的填數(shù)位置在r3c89，因為這里可以直接利用T鄰定理得到結(jié)論。所以照樣r3c89是a和5，跟其余的候選數(shù)無關(guān)，刪除掉它們。

Part 4?三鏈列/劍魚定理

當(dāng)然，還是前面這個示例那道題。除了我們可以刪除這些以外，還有一些刪數(shù)，是通過三鏈列得到的，所以這個定理稱為劍魚定理或者三鏈列定理（Swordfish Theorem）。這個理論的名稱是我自己本人給出的。

如圖所示，圖上給出了關(guān)于2和9的三鏈列結(jié)構(gòu)。注意，r1c7(2)和r3c5(2)是可以通過弱關(guān)系連起來的，同理，r1c7(9)和r3c5(9)也是一樣。為什么呢？因為它們不同真，同真就違背了JE的原則——目標(biāo)單元格的填數(shù)是不同的。那么，形成劍魚后，我們就可以通過2和9找到各自額外的刪除域的刪數(shù)，至于r1c7和r3c5弱關(guān)系連起來的對應(yīng)區(qū)域，我們已經(jīng)通過跨區(qū)數(shù)對刪除了，就是跨區(qū)數(shù)對可以刪掉的那些2和9。所以這個定理能夠刪除的數(shù)字如下。

顯然，這個定理依舊需要先得到跨區(qū)數(shù)對的結(jié)論。

Part 5?X致命定理

下面來說一個得到比較困難的定理：X致命定理（Bi-Bi Pattern）。這個定理將同宮定理進行了推廣，但證明邏輯就會麻煩一些。

這個定理的英文名里的Bi是數(shù)字2的含義的前綴，讀作[ba?]。該理論由發(fā)明區(qū)分度理論、提出淑芬致命結(jié)構(gòu)和宇宙法的中國數(shù)獨玩家邱言哲和探長兩人提出以及說明基本猜想，并由探長驗證邏輯的正確性和嚴(yán)謹(jǐn)性，稍后將給出理論的證明。

5-1?使用

如圖所示，我們只看JE的構(gòu)型，可以通過基本的推導(dǎo)思路得到r7c9 <> 3的結(jié)論。因為這里我們著重解釋該定理，所以我們就暫時不管這個刪數(shù)，去看基準(zhǔn)單元格到底有什么刪數(shù)。

下面我們?yōu)榱朔奖忝枋龊捅磉_，我們給出X區(qū)域的定義：

X區(qū)域（X-Region/Dual Region）：交叉線單元格里，以確定值為軸心，與交叉格分部方向正交的單元格排開，并排開基準(zhǔn)格和交叉格能夠直接對應(yīng)的兩個宮外的剩下四個宮的格子外，剩下的16格。例如圖示里，所有淺紅色（含深綠色和深青色）的16格為一個X區(qū)域。

該定理如下：X區(qū)域里，如果某兩種數(shù)字的提示數(shù)能出現(xiàn)在對角的兩個宮里，那么這兩個數(shù)就一定不能組合產(chǎn)生于基準(zhǔn)格里。舉個例子，數(shù)字7出現(xiàn)于對角兩個宮，而另外一個對角宮里2和4都是對角出現(xiàn)的，則就使得如果7出現(xiàn)到組合里，那另外一格填數(shù)必須不能是2或4，否則2、7和4、7組合均滿足推論的要求，這就會使得基準(zhǔn)單元格一定不允許為2、7和4、7組合。

接著因為基準(zhǔn)格r12c7里有一個單元格含有候選數(shù)1，而另外一格又沒有這個數(shù)字。如果這一個單元格填入7，則另外一格由于沒有1的關(guān)系，只剩下2和4的填數(shù)情況，這必然形成了2和7以及4和7的組合。所以這必然是不允許的。所以假設(shè)錯誤，故r1c7不能填入7。

這個定理用起來非常神奇，而且非常匪夷所思，它把確定值和候選數(shù)層面直接關(guān)聯(lián)起來了，而且也有固定的刪數(shù)模式和原理。下面我們來看看這個定理如何證明。

5-2 證明

如圖所示，我們構(gòu)造出簡圖。為了滿足題目所證明的需求，我們就構(gòu)造出X致命原則的主要形成條件：a和b各自得在對角宮出現(xiàn)，并且不是相同的對角兩宮；基準(zhǔn)格就假設(shè)為a、b、c和d即可（假設(shè)a、b、c也是類似的證明）。

現(xiàn)有如圖的推理情況的其一。我們繼續(xù)向下推導(dǎo)。由于r4c8只能填a和b了，所以該行里r4c12和r4c45里，a和b的填數(shù)位置顯然不可同真（即r4c12(b)和r4c45(a)形成弱關(guān)系）。注意，a和b的提示數(shù)此時已經(jīng)在X區(qū)域里表示到圖上了，所以圖中的a和b的位置顯然分別只能填入到r4c45和r4c12里面了。

同樣地，下面的r7c12和r7c45也有此類似的關(guān)系。此時我們使用鏈表示出來：

此時繼續(xù)觀察該圖。由于下面r89c45里有一個a，而上面r4c45里也能有a，那請問r34c45四格里a的位置能有幾個呢？是不是只有一個了！交叉格里只能有最多兩個a，上面r4c45里如有a，那上面的r3c45就不能有a，不然r34c45都有a的話，就一定會有一個a和下面r89c45里的a的提示數(shù)重復(fù)，違背要求。因此r4c45(a)和r3c45(a)不可同為真；另外一方面，能不能同為假呢？如果同為假的話，那a要保證恰好兩個的地方只有r3c12和r7c12了。之所以此處說恰好兩個而不是至少兩個的原因很簡單：結(jié)論一個a和一個b的結(jié)果已經(jīng)得到，這使得此時填入a的位置在交叉格里必須得是兩個，畢竟r4c8和r7c9里已經(jīng)有一個a了。

那既然r37c12里有a的話，那可不可能填兩個呢？顯然不能。因為r37c12同時都可以“對應(yīng)到”r56c12的a的提示數(shù)上，如果r37c12同為a，顯然會有一個a會和a的提示數(shù)矛盾。這下，r3c45(a)和r4c45(a)更不能同為假。既然不能同為真，也不能同為假，那么r3c45(a)和r4c45(a)只能是一個真和一個假（即它同時滿足強關(guān)系也同時滿足弱關(guān)系）。

繼續(xù)。我們此處為了能夠繼續(xù)推理，我們使用r3c45(a)和r4c45(a)的強關(guān)系，為了能把鏈串起來。剛才的結(jié)論只能得到這么一點結(jié)論嗎？顯然不是，我們來看看真正能連上的位置：

所有強弱關(guān)系的證明方式，都可以從剛才的證明邏輯之中得到，這里就不一一證明了。

試想一下。這樣構(gòu)成了兩條鏈，一條是“內(nèi)線”，一條是“外線”。b假得a真，a假又得b真，又恰好涉及的是同樣的兩個部分r3c12和r3c45，那么這就只可能說明一點：a和b是挨著的，而不是讓r3c12和r3c45一邊一個。既然a和b是挨著的，我們就可以粗略地敘述為“a和b在此處的填數(shù)是同宮的”。如果同宮，則就表示這里形成了顯然的a和b的數(shù)對。那么形成數(shù)對又會怎么樣呢？

如圖所示，假設(shè)我們的a和b的數(shù)對在第一個宮挨著的地方，根據(jù)排除效果，顯然r3c6就不能是a和b了；而根據(jù)剛才的原理，r12c45此時是不可以為a和b的。那此時a和b就只可以填到r12c6里。至此r12c6形成a和b的數(shù)對。

此時再結(jié)合上r12c7的a和b，此時r12c67形成關(guān)于a和b的唯一矩形的致命形式，所以矛盾了。證畢。

如果你把這個證明邏輯套用到三個數(shù)的JE結(jié)構(gòu)，同宮定理是適用的，原理可通過X致命定理的原理直接證明得到。

1、3、6里，1和3的組合，以及1和6的組合是不可以同時出現(xiàn)的，否則形成上述的致命形式（當(dāng)然也可能中途就沒辦法填數(shù)導(dǎo)致死亡了），所以三個數(shù)的組合只剩下3和6是可以的，而正是因為組合只能是3和6的關(guān)系，這就看起來好像3和6恰好同宮，就可以用了，所以這便通過X致命定理簡單地證明了同宮定理。

下面我們來看一些例子。

5-3?一些使用示例

如圖所示，我們發(fā)現(xiàn)，5和6是不能形成組合放到r1c12里的，因為b5689里5和6的確定值的分布構(gòu)成了X形狀，這樣就保證了X致命定理的出現(xiàn)。所以r1c12不能是5和6的數(shù)對。

那么，r1c2 <> 56就很好理解了。假設(shè)r1c2 = 5，則r1c1只能放入5或者6，使其形成5、6數(shù)對，必然出錯；r1c6 = 6時也是一樣。所以r1c12 <> 56。

如圖所示。r5c8(7)刪數(shù)的原理就不再贅述了。我們發(fā)現(xiàn)，b1379里，9和1、8組合都會形成X致命形式，所以基準(zhǔn)單元格r6c56里不能是1、9數(shù)對和8、9數(shù)對。

如果r6c6 = 9，那么r6c5此時只能放入1或8，而這都是不行的，所以r6c6 <> 9的結(jié)論就直接通過這個定理得到了。

Part 6 小練習(xí)

那么，基本的一些定理就說完了，下面來看一個示例，可以通過基本的定理刪除掉這些候選數(shù)。請自行理解，并嘗試找到每一個刪數(shù)的真正刪數(shù)原因。