前言：雖然本文發(fā)表得有點(diǎn)晚，但是由于明日方舟的抽卡機(jī)制總體上保持不變，所以本文的結(jié)論對(duì)所有卡池都成立，可以作為今后大家抽卡的參考。

另外，UP本人也曾向其他人咨詢(xún)過(guò)這個(gè)問(wèn)題，我聽(tīng)到的所有回答都是在大量模擬實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上給出的，沒(méi)有純理論上的推導(dǎo)。本文將嘗試從純理論的角度出發(fā)，來(lái)得到與模擬實(shí)驗(yàn)相一致的結(jié)果。如果有錯(cuò)誤之處，還請(qǐng)大家斧正。

Part? 0 ?? 研究的問(wèn)題

本文的目的是算出來(lái)我總共抽x次，最后得到某個(gè)六星（比如W）的概率。

Part? 1 ?? 抽卡規(guī)則

這一部分在游戲里寫(xiě)得很清楚，我不多贅述，直接放圖：

Part? 2 ? 分析

這是最關(guān)鍵的部分，決定了我們是否可以得到正確的結(jié)果。

首先，我們可以想到，在每次抽卡前，計(jì)數(shù)器總會(huì)記錄一個(gè)數(shù)，我們稱(chēng)這個(gè)數(shù)為a。由于Part1中介紹的抽卡機(jī)制，我們不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)0<=a<50時(shí)，抽到六星的概率一直是2%；當(dāng)a>=50時(shí)，抽到六星的概率是[2*(a-48)]%，那么當(dāng)a=98時(shí)，抽到六星的概率為100%，抽卡后計(jì)數(shù)器必然歸零，所以a的取值有一個(gè)范圍，即0<=a<=98。

其次，對(duì)于每一次抽卡，a的值有且只有一個(gè)。那么，對(duì)于每一次抽卡，如果a的取值我們無(wú)法確定，那么我們可以假設(shè)某個(gè)值a_0出現(xiàn)的概率為p(a_0)。顯然，p(0)+p(1)+···+p(98)=1。對(duì)于某個(gè)a值，我們抽到非六星的概率p(a)*P(a)為：

p(a)*0.98 ? {0<=a<50}

p(a)*[0.98-(a-49)*0.02] ?? {50<=a<=98}

這樣一來(lái)，在某次抽卡時(shí)a不確定的情況下，我們得到了抽到非六星的概率，同時(shí)確定了抽到六星的概率。

接著，我們引進(jìn)一個(gè)新記號(hào)：p(x,a)。它的含義為：當(dāng)我在一個(gè)池子里抽第x次時(shí)，計(jì)數(shù)器記錄的數(shù)為a的概率。

那么讓我們來(lái)想一下這種情況：如果a不等于零，這意味著什么？顯然，對(duì)于某個(gè)確定的a，這意味著在前a次抽卡中，我一直抽到非六星。那么我們知道：p(x,a)=p(x-1,a-1)*P(a)=···=p(x-a,0)*P(a)*···*P(1)。其中從P(a)到P(1)的值我們已經(jīng)可以確切地知道。

如果a=0，又會(huì)怎樣呢？顯然，這意味著我在前一次抽卡中抽到了六星（也有可能是我一次都沒(méi)抽過(guò)，這是特殊情況），使得計(jì)數(shù)器歸零了。那么就有：p(x,0)=sigma(0<=i<=98)[p(x-1,i)*(1-P(i))]。其中sigma是累加符號(hào)。

最后回到我們?cè)赑art0中提出的問(wèn)題。假設(shè)我們抽了x次后得到目標(biāo)六星的概率是m，那么抽不到的概率就是(1-m)。假設(shè)目標(biāo)六星的出率占所有六星出率的k%，那么記我們抽了x次抽不到目標(biāo)六星的概率為m(x)，計(jì)數(shù)器記錄的數(shù)為a的概率為p_(x,a)。

根據(jù)上面的分析，我們很容易得到：

m(x)=sigma(0<=i<=98)[p_(x,a)]

p_(x,a)=p_(x-a,0)*P(a)*···*P(1) ? ?? （a不等于0）

p_(x,0)=sigma(0<=i<=98)[p(x-1,i)*(1-P(i))*(1-k%)] ?? （這里乘上(1-k%)是為了區(qū)分其余六星）

再加上一些限制條件和初始條件：

p_(x,a)=0 ? (x<=a)

p_(1,0)=1

然后按照這個(gè)思路寫(xiě)出程序，就可以算出具體概率。

Part? 3 ? 一些數(shù)據(jù)

為了對(duì)比結(jié)果，我挑出一些數(shù)據(jù)，供大家檢查。（以抽出W為例

x=10,m=0.0678

x=50,m=0.2962

x=100,m=0.6290

x=150,m=0.7955

x=200,m=0.8859

x=250,m=0.9361

x=300,m=0.9642

如有謬誤，歡迎在評(píng)論區(qū)中指正！