黎曼 zeta ζ 函數(shù)的收斂性, 零點(diǎn)和極點(diǎn)

2023-07-05 00:50 作者:nyasyamorina 0人讀過(guò) | 我要投稿

簡(jiǎn)介

這篇東西大部分都是直接搬 wiki 和其他論壇的,? 只是當(dāng)作是一個(gè)匯總而已.? 內(nèi)容大概為:? 討論 ζ 的收斂性,? 求出平凡零點(diǎn),? 證明非平凡零點(diǎn)在臨界帶 0 < Re(s) < 1 上,? 以及證明 s = 1 時(shí) ζ 有一個(gè) 1 階極點(diǎn).

原 ζ 函數(shù)的定義和收斂性

ζ 函數(shù)定義為:

$%5Czeta(s)%3D%5Cfrac1%7B1%5Es%7D%2B%5Cfrac1%7B2%5Es%7D%2B%5Cfrac1%7B3%5Es%7D%2B%5Ccdots%3D%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5Cfrac1%7Bn%5Es%7D$

并且在 Re(s) > 1 上收斂.? 證明:

? ?? 在實(shí)軸上收斂

根據(jù)定義可以有:

$%5Czeta(s)%3D%5Cleft(%5Cfrac1%7B1%5Es%7D%5Cright)%2B%5Cleft(%5Cfrac1%7B2%5Es%7D%2B%5Cfrac1%7B3%5Es%7D%5Cright)%2B%5Cleft(%5Cfrac1%7B4%5Es%7D%2B%5Cfrac1%7B5%5Es%7D%2B%5Cfrac1%7B6%5Es%7D%2B%5Cfrac1%7B7%5Es%7D%5Cright)%2B%5Ccdots$

$%5Cleq%5Cleft(%5Cfrac1%7B1%5Es%7D%5Cright)%2B%5Cleft(%5Cfrac1%7B2%5Es%7D%2B%5Cfrac1%7B2%5Es%7D%5Cright)%2B%5Cleft(%5Cfrac1%7B4%5Es%7D%2B%5Cfrac1%7B4%5Es%7D%2B%5Cfrac1%7B4%5Es%7D%2B%5Cfrac1%7B4%5Es%7D%5Cright)%2B%5Ccdots$

$%3D%5Cleft(%5Cfrac1%7B1%5Es%7D%5Cright)%2B%5Cleft(%5Cfrac2%7B2%5Es%7D%5Cright)%2B%5Cleft(%5Cfrac4%7B4%5Es%7D%5Cright)%2B%5Ccdots$

$%3D%5Cleft(%5Cfrac2%7B2%5Es%7D%5Cright)%5E0%2B%5Cleft(%5Cfrac2%7B2%5Es%7D%5Cright)%5E1%2B%5Cleft(%5Cfrac2%7B2%5Es%7D%5Cright)%5E2%2B%5Ccdots%3D%5Csum_%7Bn%5Cgeq0%7D%5Cleft(2%5E%7B1-s%7D%5Cright)%5En$

看到 ζ(s) 的值小于等于比例?q = 2^(1-s)?等比數(shù)列的無(wú)窮項(xiàng)和,? 根據(jù)等比數(shù)列無(wú)窮項(xiàng)和的收斂條件 |q| < 1?得出 s > 1 時(shí) ζ(s) 收斂.

?????在復(fù)平面上收斂

$%5Cleft%7C%5Czeta(s)%5Cright%7C%3D%5Cleft%7C%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5Cfrac1%7Bn%5Es%7D%5Cright%7C%5Cleq%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5Cleft%7C%5Cfrac1%7Bn%5Es%7D%5Cright%7C%3D%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5Cfrac1%7Bn%5E%5Csigma%7D%3D%5Czeta(%5Csigma)$

其中 σ = Re(s),? 里面的 ≤ 由三角不等式給出.? 于是證明了 ζ 在 Re(s) > 1 時(shí)收斂.

如果對(duì) ζ 提取公因式,? 比如:

$%5Cfrac1%7B1%5Es%7D%2B%5Cfrac1%7B3%5Es%7D%2B%5Cfrac1%7B5%5Es%7D%2B%5Ccdots%2B%5Cfrac1%7B2%5Es%7D%5Cleft(%5Cfrac1%7B1%5Es%7D%2B%5Cfrac1%7B2%5Es%7D%2B%5Cfrac1%7B3%5Es%7D%2B%5Ccdots%5Cright)$

正如同所有正整數(shù)都可以表示為幾個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積一樣,? 把所有可能的公因式都提取出來(lái)后可以得到:

$%5Czeta(s)%3D%5Cleft(%5Cfrac1%7B2%5E%7B0s%7D%7D%2B%5Cfrac1%7B2%5E%7B1s%7D%7D%2B%5Cfrac1%7B2%5E%7B2s%7D%7D%2B%5Ccdots%5Cright)%5Cleft(%5Cfrac1%7B3%5E%7B0s%7D%7D%2B%5Cfrac1%7B3%5E%7B1s%7D%7D%2B%5Cfrac1%7B3%5E%7B2s%7D%7D%2B%5Ccdots%5Cright)%5Cleft(%5Cfrac1%7B5%5E%7B0s%7D%7D%2B%5Cfrac1%7B5%5E%7B1s%7D%7D%2B%5Cfrac1%7B5%5E%7B2s%7D%7D%2B%5Ccdots%5Cright)%5Ccdots$

$%3D%5Cprod_p%5Csum_%7Bn%5Cgeq0%7D%5Cfrac1%7Bp%5E%7Bns%7D%7D$

其中?Π_p 表示對(duì)所有質(zhì)數(shù)求積.? 可以看到后面的求和實(shí)際上是等比數(shù)列的無(wú)窮項(xiàng)和,? 于是得出了 ζ 的歐拉乘積形式:

$%5Czeta(s)%3D%5Cprod_p%5Cfrac1%7B1-p%5E%7B-s%7D%7D$

ζ 延拓到 Re(s) > 0

下面引入 Dirichlet η 函數(shù):

$%5Ceta(s)%3D%5Cfrac1%7B1%5Es%7D-%5Cfrac1%7B2%5Es%7D%2B%5Cfrac1%7B3%5Es%7D-%5Cfrac1%7B4%5Es%7D%2B%5Ccdots%3D%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5Cfrac%7B(-1)%5E%7Bn-1%7D%7D%7Bn%5Es%7D$

η 在 Re(s) > 0 時(shí)收斂.? 證明:

$%5Ceta(s)%3D%5Cleft(%5Cfrac1%7B1%5Es%7D-%5Cfrac1%7B2%5Es%7D%5Cright)%2B%5Cleft(%5Cfrac1%7B3%5Es%7D-%5Cfrac1%7B4%5Es%7D%5Cright)%2B%5Ccdots%3D-%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5Cfrac1%7B(2n)%5Es%7D-%5Cfrac1%7B(2n-1)%5Es%7D$

由定積分的定義? $f(b)-f(a)%3D%5Cint_a%5Ebf'(x)dx$ ?給出:

$%5Ceta(s)%3D-%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5Cint_%7B2n-1%7D%5E%7B2n%7D%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%5Cleft(x%5E%7B-s%7D%5Cright)dx%3Ds%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5Cint_%7B2n-1%7D%5E%7B2n%7Dx%5E%7B-s-1%7Ddx$

$%5Cleft%7C%5Ceta(s)%5Cright%7C%5Cleq%7Cs%7C%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5Cint_%7B2n-1%7D%5E%7B2n%7D%5Cleft%7Cx%5E%7B-s-1%7D%5Cright%7Cdx%3D%7Cs%7C%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5Cint_%7B2n-1%7D%5E%7B2n%7Dx%5E%7B-%5Csigma-1%7Ddx$

同樣,? 其中的 ≤ 由三角不等式給出.? 注意到,? 上式的?? $%5Csum%5Cint$ ?實(shí)際上是對(duì) x ≥ 1 的不連續(xù)定積分 (見下圖),? 并且因?yàn)? $x%5E%7B-%5Csigma-1%7D$ ?在 x ≥ 1 時(shí)恒大于 0,? 所以有

$%5Cleft%7C%5Ceta(s)%5Cright%7C%3C%7Cs%7C%5Cint_1%5E%5Cinfty%20x%5E%7B-%5Csigma-1%7Ddx%3D%7Cs%7C%5Cfrac%7B%5Cinfty%5E%7B-%5Csigma%7D-1%5E%7B-%5Csigma%7D%7D%7B-%5Csigma%7D%3D%5Cfrac%7B%7Cs%7C%7D%5Csigma%3C%5Cinfty$

第一個(gè)等號(hào)僅在 -σ-1 < -1 時(shí)成立,? 即 σ > 0,? 所以 η 在 Re(s) > 0 時(shí)收斂.

觀察到 η 與?ζ 之間的聯(lián)系:

$%5Ceta(s)%3D%5Cfrac1%7B1%5Es%7D-%5Cfrac1%7B2%5Es%7D%2B%5Cfrac1%7B3%5Es%7D-%5Cfrac1%7B4%5Es%7D%2B%5Ccdots$

$%3D%5Cfrac1%7B1%5Es%7D%2B%5Cfrac1%7B2%5Es%7D%2B%5Cfrac1%7B3%5Es%7D%2B%5Cfrac1%7B4%5Es%7D%2B%5Ccdots-%5Cfrac2%7B2%5Es%7D%5Cleft(%5Cfrac1%7B1%5Es%7D%2B%5Cfrac1%7B2%5Es%7D%2B%5Cfrac1%7B3%5Es%7D%2B%5Ccdots%5Cright)$

$%3D%5Czeta(s)-%5Cfrac2%7B2%5Es%7D%5Czeta(s)%3D%5Cleft(1-2%5E%7B1-s%7D%5Cright)%5Czeta(s)$

這個(gè)關(guān)系在 Re(s) > 1 時(shí)絕對(duì)守恒,? 所以通過(guò)定義? $%5Czeta(s)%3D%5Cfrac%7B%5Ceta(s)%7D%7B1-2%5E%7B1-s%7D%7D$ ?可以把 ζ 延拓到 Re(s) > 0 上.

η 在 Re(s) = 1 上的零點(diǎn)

根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的聯(lián)系 $%5Cleft(1-2%5E%7B1-s%7D%5Cright)%5Czeta(s)%3D%5Ceta(s)$ ,? 通過(guò)分析 η 的行為,? 可以進(jìn)一步推斷出 ζ 的行為.

解方程? $1-2%5E%7B1-s%7D%3D0$ :?? $2%5E%7B1-s%7D%3D1%3De%5E%7B2%5Cpi%20in%7D%2C%5C%2Cn%5Cin%5Cmathbb%20Z$ ,? ? $(1-s)%5Cln2%3D2%5Cpi%20in$ ,? 解得 $s_n%3D1%2Bn%5Cfrac%7B2%5Cpi%20i%7D%7B%5Cln2%7D$ .? 接下來(lái)求? $%5Ceta(s_n)$ :

定義兩個(gè)與 ζ, η 相似的函數(shù):?? $%5Czeta_%7B2N%7D(s)%3D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7B2N%7D%5Cfrac1%7Bk%5Es%7D$ ?和 $%5Ceta_%7B2N%7D(s)%3D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7B2N%7D%5Cfrac%7B(-1)%5E%7Bn-1%7D%7D%7Bk%5Es%7D$ ,? 并且兩函數(shù)有以下關(guān)系:

$%5Ceta_%7B2N%7D(s)%3D%5Cfrac1%7B1%5Es%7D-%5Cfrac1%7B2%5Es%7D%2B%5Ccdots%2B%5Cfrac%7B(-1)%5E%7B2N-1%7D%7D%7B(2N)%5Es%7D$

$%3D%5Cfrac1%7B1%5Es%7D%2B%5Cfrac1%7B2%5Es%7D%2B%5Ccdots%2B%5Cfrac1%7B(2N)%5Es%7D-%5Cfrac2%7B2%5Es%7D%5Cleft(%5Cfrac1%7B1%5Es%7D%2B%5Cfrac1%7B2%5Es%7D%2B%5Ccdots%2B%5Cfrac1%7BN%5Es%7D%5Cright)$

$%3D%5Cleft(1-2%5E%7B1-s%7D%5Cright)%5Czeta_%7B2N%7D(s)%2B%5Cfrac2%7B2%5Es%7D%5Cleft(%5Cfrac1%7B(N%2B1)%5Es%7D%2B%5Ccdots%2B%5Cfrac1%7B(2N)%5Es%7D%5Cright)$

當(dāng) s = s_n 時(shí),? 1-2^{1-s} = 0,? 即第一項(xiàng)為 0,? 所以

$%5Ceta_%7B2N%7D(s_n)%3D%5Cfrac2%7B2%5E%7Bs_n%7D%7D%5Cleft(%5Cfrac1%7B(N%2B1)%5E%7Bs_n%7D%7D%2B%5Ccdots%2B%5Cfrac1%7B(N%2BN)%5E%7Bs_n%7D%7D%5Cright)$

$%3D%5Cfrac2%7B(2N)%5E%7Bs_n%7D%7D%5Cleft(%5Cfrac1%7B(1%2B1%2FN)%5E%7Bs_n%7D%7D%2B%5Ccdots%2B%5Cfrac1%7B(1%2BN%2FN)%5E%7Bs_n%7D%7D%5Cright)$

$%3D%5Cfrac%7B(2N)%5E%7B1-s_n%7D%7DN%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5EN%5Cfrac1%7B(1%2Bk%2FN)%5E%7Bs_n%7D%7D$

根據(jù)黎曼和? $%5Cint_a%5Ebf(x)dx%3D%5Clim_%7BN%5Crightarrow%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bb-a%7DN%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5ENf%5Cleft(a%2Bk%5Cfrac%7Bb-a%7DN%5Cright)$ ,? 可以得出:

$%5Ceta(s_n)%3D%5Clim_%7BN%5Crightarrow%5Cinfty%7D%5Ceta_%7B2N%7D(s_n)%3D%5Clim_%7BN%5Crightarrow%5Cinfty%7D(2N)%5E%7B1-s_n%7D%5Cint_0%5E1%5Cfrac%7Bdx%7D%7B(1%2Bx)%5E%7Bs_n%7D%7D$

當(dāng) n = 0,? 即 s_n = 1 時(shí):

$%5Ceta(1)%3D%5Cint_0%5E1%5Cfrac%7Bdx%7D%7B1%2Bx%7D%3D%5Cln(1%2B1)-%5Cln(1%2B0)%3D%5Cln2$

當(dāng) s ≠ 0 時(shí),? 注意到 1-s_n 為純虛數(shù),? 所以 $%5Cleft%7C(2N)%5E%7B1-s_n%7D%5Cright%7C%3D1$ :

$%5Cleft%7C%5Ceta(s_n)%5Cright%7C%3D%5Cleft%7C%5Cint_0%5E1%5Cfrac%7Bdx%7D%7B(1%2Bx)%5E%7Bs_n%7D%7D%5Cright%7C$

$%3D%5Cleft%7C%5Cint_1%5E2x%5E%7B-s_n%7Ddx%5Cright%7C%3D%5Cleft%7C%5Cfrac1%7B1-s_n%7D%5Cleft(2%5E%7B1-s_n%7D-1%5E%7B1-s_n%7D%5Cright)%5Cright%7C%3D0$ .

由此可得,?? $1-2%5E%7B1-s%7D%3D0%5CRightarrow%5Ceta(s)%3D0%2C%5C%2Cs%5Cne1$ .

ζ 在 Re(s) ≥?1 上的零點(diǎn)和在 Re(s) > 0 上的極點(diǎn)

使用洛必達(dá)法則不難知道,? 1-2^{1-s} 的所有零點(diǎn)都是一階零點(diǎn):?

$%5Clim_%7Bs%5Crightarrow%20s_n%7D%5Cfrac%7B1-2%5E%7B1-s%7D%7D%7Bs-1%7D%3D%5Clim_%7Bs%5Crightarrow%20s_n%7D%5Cfrac%7B2%5E%7B1-s%7D%5Cln2%7D1%3D%5Cln2$

根據(jù) ζ 與?η 的關(guān)系可以知道:? $%5Czeta(s_n)%3C%5Cinfty%2C%5C%2Cs_n%5Cne1$ ,? 因?yàn)槿绻?ζ 在 s_n 處為極點(diǎn),? 那么? $%5Cleft%7C%5Cleft(1-2%5E%7B1-s_n%7D%5Cright)%5Czeta(s_n)%5Cright%7C%3E0$ , 這于 η(s_n) = 0 沖突.? 同理,? ζ 在 s = 1 處有一階極點(diǎn),? 并且 $%5Clim_%7Bs%5Crightarrow1%7D(s-1)%5Czeta(s)%3D1$ .

設(shè)函數(shù) f, g 在某個(gè) x 上分別為 m 階極點(diǎn)和 n 階零點(diǎn),? 考慮 y =?f(x)g(x)?的值:? 如果 m < n, 那么 y = 0,? 并且是 n-m 階零點(diǎn);? 如果 m = n,? 那么 y 為某個(gè)不為 0 的數(shù);? 如果 m > n,? 那么 y 為 ∞,? 并且是 m-n 階極點(diǎn).

因?yàn)?η 在 Re(s) > 0 上收斂,? 當(dāng)? $1-2%5E%7B1-s%7D%5Cne0$ ?時(shí),? ζ(s) 都必須收斂.? 綜上所述,? 就是 ζ 僅在 s = 1 有一階極點(diǎn),? 而在其余 Re(s) > 0 上都收斂.

記 s = σ + i * t,? 有:

$%5Cleft%7C%5Czeta(s)%5Cright%7C%3D%5Cleft%7C%5Cprod_p%5Cleft(1-p%5E%7B-s%7D%5Cright)%5E%7B-1%7D%5Cright%7C%3D%5Cleft%7C%5Cexp%5Cleft(-%5Csum_p%5Cln%5Cleft(1-p%5E%7B-s%7D%5Cright)%5Cright)%5Cright%7C%3D%5Cexp%5Cleft(-%5Csum_p%5CRe%5Cleft(%5Cln%5Cleft(1-p%5E%7B-s%7D%5Cright)%5Cright)%5Cright)$

其中 exp 是指數(shù)函數(shù),? 根據(jù) ln 的泰勒展開? $%5Cln(1-x)%3D-%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5Cfrac%7Bx%5En%7D%7Bn%7D$ ?得

$%7C%5Czeta(s)%7C%3D%5Cexp%5Cleft(%5Csum_p%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5CRe%5Cleft(%5Cfrac%7Bp%5E%7Bns%7D%7D%7Bn%7D%5Cright)%5Cright)%3D%5Cexp%5Cleft(%5Csum_p%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5Cfrac%7Bp%5E%7Bn%5Csigma%7D%7D%7Bn%7D%5CRe%5Cleft(p%5E%7Bint%7D%5Cright)%5Cright)$

根據(jù)歐拉公式? $e%5E%7Bix%7D%3D%5Ccos(x)%2Bi%5Csin(x)$ ?得

$%7C%5Czeta(s)%7C%3D%5Cexp%5Cleft(%5Csum_p%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5Cfrac%7Bp%5E%7Bn%5Csigma%7D%7D%7Bn%7D%5Ccos(nt%5Cln%20p)%5Cright)$

由這個(gè)表達(dá)式可以求得:

$%5Cleft%7C%5Czeta(%5Csigma)%5E3%5Czeta(%5Csigma%2Bit)%5E4%5Czeta(%5Csigma%2B2it)%5Cright%7C%3D%5Cexp%5Cleft(%5Csum_%7Bp%2Cn%7D%5Cfrac%7Bp%5E%7Bn%5Csigma%7D%7Dn%5Cleft(3%2B4%5Ccos(nt%5Cln%20p)%2B%5Ccos(2nt%5Cln%20p)%5Cright)%5Cright)$

其中求和項(xiàng)的括號(hào)有? $3%2B4%5Ccos(x)%2B%5Ccos(2x)%3D2(1%2B%5Ccos(x))%5E2%5Cgeq0$ ,? 所以求和后必定 ≥ 0,? 即

$%5Cleft%7C%5Czeta(%5Csigma)%5E3%5Czeta(%5Csigma%2Bit)%5E4%5Czeta(%5Csigma%2B2it)%5Cright%7C%5Cgeq%5Cexp(0)%3D1$

當(dāng)取? $%5Csigma%5Crightarrow1%5E%2B$ 時(shí),? ζ(σ) 變?yōu)橐浑A極點(diǎn),? 那么這時(shí)式子說(shuō)明:? 如果 ζ 在 1+it?為零點(diǎn),? 那么在 1+2it?必為極點(diǎn),? 這違反了上面 ζ 收斂的結(jié)論,? 所以在 Re(s) = 1 上?ζ 不存在零點(diǎn).

對(duì)于 Re(s) > 1,? 由歐拉乘積形式的 ζ 可以知道:? 如果存在 s 使得?ζ(s) = 0,? 那么必定對(duì)于某個(gè) p 有? $%5Cfrac1%7B1-p%5E%7B-s%7D%7D%3D0$ , 然而這是不可能的,? 所以 ζ 在 Re(s) > 1 上不存在零點(diǎn).

實(shí)際上,? ζ 在 Re(s) = 1 上不存在零點(diǎn)的結(jié)論等價(jià)于質(zhì)數(shù)定理?(prime number theorem),? 但這個(gè)是之后的話題了,? 現(xiàn)在先關(guān)注 ζ 本身.

ζ 在 Re(s) ≤ 0 上的收斂性, 零點(diǎn)和極點(diǎn)

黎曼給出了把 ζ 延拓至整個(gè)復(fù)平面的函數(shù)方程 (functional equation),? 因此 ζ 得名黎曼 ζ 函數(shù).? 這個(gè)函數(shù)方程為:

$%5Czeta(s)%3D2%5Es%5Cpi%5E%7Bs-1%7D%5Csin%5Cleft(%5Cfrac%5Cpi2s%5Cright)%5CGamma(1-s)%5Czeta(1-s)$

證明這個(gè)函數(shù)方程有點(diǎn)太復(fù)雜了,? 以后一定.? 其中?Γ 定義為:

$%5CGamma(s)%3D%5Cint_0%5E%5Cinfty%20t%5E%7Bs-1%7De%5E%7B-t%7Ddt%2C%5C%2C%5CRe(s)%3E0$

這里也不會(huì)討論 Γ 相關(guān)的東西,? 并且也不在乎它可以延拓到 Re(s) < 0,? 只需要知道 Γ(s) 在 Re(s) > 0 上都是收斂的,? 并且都不等于 0.

上面分析了 Re(s) > 0 時(shí) ζ(s) 只在 s = 1 有極點(diǎn),? 而指數(shù)函數(shù)和 sin 都是在整個(gè)復(fù)平面上定義的函數(shù),? 那么根據(jù)函數(shù)方程可以知道 ζ(s) 在 Re(s) ≤ 0, s ≠ 0 時(shí)不存在極點(diǎn).? 由此,? 就把 ζ 延拓到整個(gè)復(fù)平面上了 (除了 s = 0, 1 兩點(diǎn)).? 實(shí)際上,? 因?yàn)橛?η(0) = 1-1+1-1+...,? 右邊為 Grandi 級(jí)數(shù),? 它的值等于 1/2,? 那么通過(guò) ζ 與 η 的聯(lián)系可以得到 ζ(0) = -1/2.

注意到當(dāng) s 為負(fù)偶數(shù)時(shí),? sin(π/2 * s) = 0,? 根據(jù)函數(shù)方程知道此時(shí) ζ(s) 也為?0,? 這些"簡(jiǎn)單可得"的零點(diǎn)被稱為平凡零點(diǎn).? 綜上已經(jīng)求得了 Re(s)?? (0, 1) 上的所有零點(diǎn),? 而在臨界帶 0 < Re(s) < 1 里的零點(diǎn)稱為非平凡零點(diǎn),? 黎曼認(rèn)為非平凡零點(diǎn)的實(shí)部都為 1/2,? 這就是著名的黎曼猜想,? 黎曼猜想與數(shù)論息息相關(guān),? 但這就是一個(gè)超級(jí)大坑了,? 之后再說(shuō)吧.

標(biāo)簽：黎曼zeta 數(shù)學(xué)黎曼解析延拓