今天你將面對的是一道拔高題，對于所有moc玩家來說，這篇內(nèi)容也許會(huì)挑戰(zhàn)你的全部數(shù)學(xué)知識(shí)貯備，但請相信我，讀物之后對你會(huì)有很大啟發(fā)的。

首先問幾個(gè)問題，你在平時(shí)拼樂高的時(shí)候是否看到了蘊(yùn)藏在里面的數(shù)學(xué)奧秘？以及數(shù)學(xué)是如何運(yùn)用在樂高當(dāng)中，進(jìn)行一次完美的搭建？

為了幫助回答這些問題，我們很高興編譯這篇來自bricknerd的Deep Shen的客座文章，討論那些隱藏的樂高當(dāng)中的數(shù)學(xué)謎題。

隱藏的數(shù)學(xué)謎題

每次當(dāng)我搭建官方套裝的時(shí)候，我都感覺這是一個(gè)讓我身心非常愉悅的過程，我相信，所有的AFOL也大多會(huì)有這樣的感覺。當(dāng)我們打開包裝盒，排列所有編號(hào)的零件包，然后根據(jù)說明書開始將所有搭建好的成品放在一起的時(shí)候，總是令人感到興奮。但是久而久之，我們會(huì)遇到一種讓我們感到困惑的問題，總是讓我們想去了解和挖掘：“這些設(shè)計(jì)師是怎么知道應(yīng)該這樣去搭建的？”

可以肯定的是，答案就潛伏在所有樂高積木背后隱藏的數(shù)學(xué)奧秘中。當(dāng)我們搭建一些建筑物的時(shí)候，將樂高零件置在規(guī)則方形網(wǎng)格的范圍之外，以創(chuàng)建有角度的墻壁或者圓形。在這個(gè)過程當(dāng)中，我們就會(huì)遇到很多關(guān)于數(shù)學(xué)的問題。

但是如果數(shù)學(xué)是樂高搭建過程中不可或缺的一部分，這是否意味著樂高設(shè)計(jì)師需要隨時(shí)準(zhǔn)備好計(jì)算器或白板來計(jì)算數(shù)字？

然而并不是，樂高搭建的美妙之處在于，有無數(shù)種不同的方式將各個(gè)部分組合在一起。如果您能花足夠的時(shí)間玩樂高，那么您一定會(huì)發(fā)現(xiàn)一些新的有趣的技術(shù)，而并不總是了解底層的數(shù)學(xué)邏輯。

有時(shí)我想知道新的套裝中的出色連接是由數(shù)字計(jì)劃出來的，還是只是設(shè)計(jì)過程中的發(fā)生的偶然事件。不管是什么原因，作為一個(gè)技術(shù)控，我對官方套裝中使用的一些巧妙技術(shù)，進(jìn)行逆向工程以試圖揭示使它們起作用的數(shù)學(xué)邏輯，是非常令人著迷的。

注：今天的文章可能有些枯燥，各位看官，請耐心看完，小編我盡量將這些枯燥的數(shù)學(xué)原理，說得有趣一點(diǎn)。

用到勾股定理的斜面墻壁

讓我們從街景系列——10297精品酒店開始說起。它于2022年1月1日發(fā)布。看到這個(gè)套裝的第一感覺，就是讓小編注意到，這座街景建筑，它的斜角設(shè)計(jì)，并不是尋常的三角形形狀。

眾所周知，樂高是基于規(guī)則的方形網(wǎng)格進(jìn)行搭建的，那么它們是如何做出這個(gè)形狀的，我們能弄清楚它背后的數(shù)學(xué)原理嗎？

如果我們經(jīng)常搭建樂高，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，將樂高積木放在相對于樂高平面網(wǎng)格0/90/270/360度以外的任何角度方向，都很難確保將磚或板兩端的顆粒對齊。

樂高網(wǎng)格上的顆粒，僅在得到的直角三角形滿足勾股定理 (a2+b2=c2) 時(shí)才有效。最小的勾股定理是 (3,4,5)，這就是精品酒店里使用的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)。但它使用勾股定理表現(xiàn)的方式并不明顯。實(shí)際上，如果您查看此建筑中的斜面墻壁，您可以數(shù)出六個(gè)獨(dú)立的 (3,4,5) 三角形，甚至包括兩個(gè)彼此相交的三角形（下圖三角形序號(hào)4和6）。

鑒于三角形1-4的斜邊（最長邊）是用長板連接在一起的一條直線，我們甚至不需要連接三角形 1 和 4 的外端。三角形 5 和 6 的斜邊位于與連接三角形 1-4 的斜邊成直角的直線上。

鏡像斜邊搭建技巧

當(dāng)我們分析精品酒店這棟建筑的時(shí)候，分隔建筑物三層的地板部分和屋頂部分是使用普通板和楔形板建造的，并且不知何故，它們的傾斜側(cè)面與建筑物的傾斜墻壁能夠完美對齊。難道這都是巧合？小編發(fā)現(xiàn)并不是。我們需要進(jìn)入一些基本的三角幾何數(shù)學(xué)來解釋這一點(diǎn)。

在直角三角形中，對于任何一個(gè)較小的角，與角相對的邊與相鄰邊的長度之比稱為切線。無論三角形的大小如何，這個(gè)比率對于給定的角度都是固定的。如果我們已經(jīng)知道比率，我們可以使用正切函數(shù)的倒數(shù)或反正切函數(shù)（在大多數(shù)科學(xué)計(jì)算器中可用）來計(jì)算角度。在 (3,4,5) 三角形中，最小角的切線為 3/4 = 0.75，其反正切值為 36.8 度。

如果您查看精品酒店的地板部分或屋頂部分，您會(huì)發(fā)現(xiàn)他們使用兩個(gè)鏡像的 6×3 楔形板來創(chuàng)建傾斜的一面。每個(gè)楔形板都有一個(gè)直角三角形，其切線為 2/6 = 0.333，其反正切值為 18.4 度。因此，這些楔形板中的兩個(gè)將給我們一個(gè) 36.8 度的組合角度，與我們在傾斜墻上的角度相匹配，這是有道理的。

我們可以使用公式來計(jì)算給定角度兩倍的正切來確認(rèn)這一點(diǎn)。

代入數(shù)字，我們看到由楔形板產(chǎn)生的角度的兩倍的正切為 (2 x 1/3) / (1 – 1/9) = 2/3 x 9/8 = 3/4，這與由 (3,4,5) 勾股定理創(chuàng)建的角度的正好吻合。這樣搭建，就讓作品看起來很整潔，是不是？

此處使用楔形板的方式是“鏡像斜邊”技術(shù)的常見應(yīng)用。這繞過了這樣一個(gè)事實(shí)，即對于任意直角三角形，斜邊的長度并不總是整數(shù)。由 6x3 楔形板創(chuàng)建的三角形的斜邊是 √(62 + 22) = 6.32 個(gè)顆粒。即使我們不能沿斜邊放置樂高元素，我們也可以通過沿斜邊直角三角形并將樂高零件沿第二個(gè)三角形的其他兩側(cè)放置來創(chuàng)建傾斜的墻。這兩個(gè)三角形必須使用鉸鏈板固定在一起，這正是10297精品酒店套裝中所做的。

使用轉(zhuǎn)盤進(jìn)行斜墻的搭建

有角度的墻也可以用轉(zhuǎn)盤建造，你可以在多個(gè)官方套裝中看到這一點(diǎn)。讓我們以80107新春燈會(huì)為例，其中使用 4×4 轉(zhuǎn)盤將拱形人行天橋以一定角度連接在錦鯉池上方。

樂高轉(zhuǎn)盤由一個(gè)可以像普通板件一樣安裝的底座（2×2 或 4×4）和一個(gè)可以 360 度自由旋轉(zhuǎn)的頂部組成。2×2 底座需要匹配的頂部元件，而 4×4 底座可以容納各種樂高零件，包括 4×4 圓板。

即使我們使用轉(zhuǎn)盤來創(chuàng)建傾斜的墻（或以一定角度連接的結(jié)構(gòu)，如下圖所示），我們本質(zhì)上是在創(chuàng)建滿足勾股定理的直角三角形。這個(gè)三角形的邊與轉(zhuǎn)盤上的旋轉(zhuǎn)軸（頂板的中心點(diǎn)）相交。本例中使用的勾股定理三元組是 (6,8,10)。

使用“三倍數(shù)”的斜墻

正如我們所看到的，如果我們只限于勾股定理三元組，我們就沒有更多的選擇。勾股定理的大多數(shù)應(yīng)用都使用最小和最常見的三元組（3,4,5），如精品酒店套裝或新春燈會(huì)中的倍數(shù)（6,8,10）。

但是在某些情況下，可以稍微逃脫嚴(yán)格勾股定理三元組，但對于實(shí)際目的來說足夠接近的三元組（三個(gè)數(shù)字的倍數(shù)）。我喜歡稱這些為“三倍數(shù)”。

當(dāng)我們使用“三倍數(shù)”創(chuàng)建有角度的墻壁時(shí)，使用像鉸鏈這樣自然有一點(diǎn)擺動(dòng)空間的零件，總會(huì)有出人意料的效果。這可以最大限度地減少您在連接有角度的部分時(shí)對樂高元件施加的壓力。

我經(jīng)常在我的構(gòu)建中使用像 (5,5,7) 和 (7,7,10) 這樣的“近三倍”，其中一些具有額外的優(yōu)勢，允許我們以 45 度角創(chuàng)建墻壁（這不是畢達(dá)哥拉斯三元組可能）。在查看樂高于2019年初發(fā)布的10264街角汽車維修站的說明之前，我不知道有任何官方套裝使用了“三倍數(shù)” 。

這個(gè)套裝的一個(gè)很明顯的地方是車庫前立面的很大一部分是以 45 度角建造的。加油站上方還有一個(gè)遮陽篷，該遮陽篷垂直于該立面（最終與底座成 45 度角）。

如果我們深入研究這個(gè)套裝的說明書，我們會(huì)看到傾斜部分是建立在一個(gè) 2×16 板上的，該板使用 1×2 圓板以 45 度角連接。傾斜部分的總長度為 17 個(gè)顆粒，在兩個(gè)連接點(diǎn)的顆粒之間進(jìn)行測量。

如果我們將此視為直角三角形的斜邊，則其他兩側(cè)各有 12 個(gè)顆粒長（如果您想象從兩個(gè)連接點(diǎn)處的顆粒沿樂高網(wǎng)格繪制的水平和垂直線，它們將相交顆粒在每個(gè)方向上相距 12 個(gè)顆粒）。

現(xiàn)在我們來看，(12,12,17) 嚴(yán)格來說不是勾股定理三元組。但是直角三角形的斜邊的長度是 √(122 + 122) = 16.97，它足夠接近 17。1×2 圓板就像鉸鏈一樣，提供牢固的連接，同時(shí)允許一點(diǎn)回旋的余地。

“三倍數(shù)”也以 45 度角（相對于底板）連接遮陽篷的方式發(fā)揮作用。但是這里的數(shù)學(xué)是如何工作的并不那么明顯。仔細(xì)觀察，我們看到遮陽篷是 16×10 顆粒寬，圓角。它使用鉸鏈組件連接到車庫的斜墻上，該鉸鏈組件由頂部有一根手指的 1×3 光面磚（連接到斜墻上）和帶有兩個(gè)圓角 1×2 板（并入遮陽篷本身）組成）。

遮陽篷由使用十字軸和軸連接器創(chuàng)建的兩個(gè)垂直柱支撐。這些柱子將遮陽篷連接到加油站，但加油站本身僅在一個(gè)位置與基地相連。這樣的搭建，就顯得更加的合理了。

加油站島有兩個(gè) 4×4 圓板，它們相隔 6 個(gè)顆粒（中心到中心），但鑒于沒有“三倍數(shù)”，最大的 6 個(gè)，因此無法以 45 度角連接它們數(shù)字。所以設(shè)計(jì)師選擇將加油站島的一側(cè)連接到一個(gè)帶孔的 2×2 光面板上（這連接到 4×4 圓板的底部形成一個(gè)轉(zhuǎn)盤），另一側(cè)不連接（它只是休息在 2×2 黑色轉(zhuǎn)盤底座上）。

我們可以看看實(shí)際有連接的那一面，并嘗試找出其中涉及的數(shù)學(xué)原理。連接點(diǎn)距離連接傾斜立面末端的線正好 13.5 個(gè)顆粒。這可以分為兩個(gè)“接近三元組”。首先，我們從代表原始“三倍數(shù)”（12,12,17）的直角三角形開始。

如果我們從與最長邊（或斜邊）相對的頂點(diǎn)（角）畫一條線，使其與斜邊成直角相交，我們將得到兩個(gè)尺寸相同的直角三角形（8.5,8.5,12）。這也是一個(gè)“近三倍”，所以我們可以認(rèn)為 13.5 中的 8.5 是這個(gè)較小直角三角形的一條腿（較短的邊）。剩下的 5 個(gè)是另一個(gè)“三倍數(shù)”（3.5,3.5,5）的斜邊（最長邊）。很酷，對吧??？

使用圓盤零件制作出一個(gè)圓形

轉(zhuǎn)盤也可以以其他有趣的方式使用，例如創(chuàng)建圓形。2022年4月，樂高宣布為其植物系列產(chǎn)品線新增兩款產(chǎn)品。下面我就以今年剛剛發(fā)布的10311 蘭花套裝為例。各位肯定想不到，在一個(gè)有花的套裝中可能會(huì)涉及到什么樣的數(shù)學(xué)？

如果你猜對了我說的是花瓶，當(dāng)然可以加分！乍看之下，凹槽花瓶是如何組合在一起的，它的完美圓形和雙斜面連在一起，幾乎沒有任何間隙，它們之間幾乎是奇跡般的存在。

當(dāng)我看到蘭花套裝的公告時(shí)，花瓶是第一個(gè)引起我注意的東西（盡管我不得不承認(rèn)它的其余部分也很整潔）。但是使用樂高創(chuàng)建圓形并不是那么容易。蘭花套裝的設(shè)計(jì)師Mike Psiaki提出了一個(gè)非常聰明的方法，它主要依賴于 8×8 圓盤的數(shù)學(xué)特性進(jìn)行創(chuàng)作，現(xiàn)在我們看看他是怎么做到的。

8×8 圓盤是樂高目錄中一個(gè)相對較新的零件，加入了它的較小兄弟姐妹（例如 4×4 和 6×6 圓盤）的行列里。但是關(guān)于 8×8 圓板的一個(gè)巧妙之處在于，其外圍的所有顆粒與板邊緣的距離大致相同，這包括沿對角線的顆粒。這不適用于 6×6 圓板，其中沿對角線的顆粒從板的邊緣稍微插入一點(diǎn)。

為了理解原理，讓我們考慮兩個(gè)顆粒之間的對角線距離，它是顆粒尺寸（0.8 厘米）的 √2 倍，等于 1.13 厘米。在 6×6 圓板上，沿對角線的最外側(cè)顆粒之間的距離為 3 x 1.13 = 3.39 cm = 4.24 顆粒，而在 8×8 圓板上它是 5 x 1.13 = 5.65 cm = 7.06 顆粒，非常接近沿水平軸和垂直軸的最外側(cè)顆粒之間的 7 顆粒間距。

這使我們能夠做的是沿著 8×8 圓板的外邊緣放置機(jī)械孔磚，并在所有側(cè)面突出大約相同數(shù)量的機(jī)械銷零件。當(dāng)然，沿對角線的 1×1 機(jī)械孔磚積木需要旋轉(zhuǎn) 45 度角。8×8 圓盤帶有 8 個(gè)32054 十字軸孔長栓，這只是使用轉(zhuǎn)盤堆疊和旋轉(zhuǎn)的四層之一，以構(gòu)成花瓶的核心。

偶數(shù)層（第 2、4 層）的旋轉(zhuǎn)角度是 45 度或 22.5 度的一半。這會(huì)將偶數(shù)層上的八個(gè)機(jī)械孔磚的基座位置恰好位于奇數(shù)層上的八個(gè)機(jī)械孔磚的基座位置之間。當(dāng)所有四層都堆疊起來時(shí)，我們總共有 16 列機(jī)械孔磚的基座，沿著核心的圓周均勻分布。

16 個(gè)機(jī)械件1×7 提升臂件可以連接到這些機(jī)械銷上，這樣我們就可以連接創(chuàng)建凹槽外觀所需的雙斜面件。請注意，在頂部添加 4×4 通心粉光面板時(shí)，每層的高度為 5 個(gè)板，這確保了堆疊層時(shí)機(jī)械孔磚的基座之間的正確垂直間距。

為什么我們甚至需要機(jī)械孔臂零件？為什么不使用 SNOT 積木，或者不是科技件積木并將雙坡塊直接連接到它們之上？我們再次需要一些數(shù)學(xué)邏輯來幫助解釋這一點(diǎn)。8×8圓板的直徑為8個(gè)螺柱或20個(gè)板。將機(jī)械孔臂（與普通磚的高度一樣厚）連接在兩側(cè)，總直徑變?yōu)?20+3+3=26 個(gè)板。

核心的周長現(xiàn)在是 π x 26 = 81.64 個(gè)板。現(xiàn)在將它除以 16，你得到 5.1 個(gè)板，它非常接近每個(gè)雙斜塊的 5 個(gè)板（2 個(gè)顆粒）寬度?，F(xiàn)在我們看到提升臂部件如何幫助使內(nèi)核足夠大以將雙斜度部件連接到周圍，它們之間幾乎沒有間隙

結(jié)束語

小編希望本文能成功激發(fā)您對隱藏在您使用樂高構(gòu)建的所有東西背后的數(shù)學(xué)的興趣。只要你不介意用一點(diǎn)枯燥的數(shù)學(xué)來解決搭建過程中的難題，你可以從官方樂高套裝中學(xué)到很多很酷的技術(shù)，當(dāng)你設(shè)計(jì)自己的 MOC 時(shí)，它們甚至可以派上用場。說到 MOC，我希望在后續(xù)文章中至少介紹其中的一些。同時(shí)，如果官方樂高套裝中使用的任何技術(shù)仍然讓您摸不著頭腦，請隨時(shí)在此處發(fā)表評(píng)論。最后，祝各位都有一個(gè)能讓自己身心愉悅的搭建體驗(yàn)！