剛看到這里時(shí)有很多困惑，現(xiàn)在想清楚了，幫助同樣有困惑的朋友。

首先，步驟一，二，三都用到了首一多項(xiàng)式，這是因?yàn)樵诓襟E二中需要這樣的一個(gè)結(jié)論來(lái)保證分解的唯一性：即每個(gè)首一多項(xiàng)式都能被唯一的分解為首一多項(xiàng)式的乘積，證明如下：

先證明它的存在性：

記這個(gè)首一多項(xiàng)式為f，條件中這個(gè)多項(xiàng)式環(huán)在域P上，所以它是唯一因子分解環(huán)，固對(duì)f有形如up1p2...pn的分解，u為可逆元，p1...pn為素多項(xiàng)式。

如果p1....pn都首一，則u=1，因?yàn)樗鼈兊某朔ef首一。若p1....pn中有不首一的素多項(xiàng)式，設(shè)為g1,設(shè)g1的首系數(shù)為x1，因?yàn)閤1的逆和x1相乘為1，所以可以將x1的逆與g1結(jié)合使之首系數(shù)為1，將x1與u結(jié)合(確保等式仍然成立)，對(duì)所有不首一的素元都這樣做，我們就得到了一組首一的素元分解wq1q2.....qn，其中q1q2....qn都首一，而它們的乘積f也首一，固w只能為1。

再證明它的唯一性:

如果還有另一組首一的素元分解p11p22...pnn，適當(dāng)排序，可以使得p11=u1p1,p22=u2p2。u1，u2是可逆元。（這是唯一因子分解環(huán)的定義）因?yàn)閜ii和pi都首一，固ui的選取只能是1，否則首系數(shù)就不為1了，所以這種分解是唯一的。

于是，步驟一，二，三就分別確保了最簡(jiǎn)分式分解的唯一性。

接著書(shū)上的證明給出了以下結(jié)論（以下符號(hào)不再繼承上面證明代表的含義）：分母g首一的真分式可唯一地表示成p為首一多項(xiàng)式的最簡(jiǎn)分式之和，需要注意到這個(gè)結(jié)論還沒(méi)有推廣到它們的等價(jià)分式【】和【】上。

接下來(lái)來(lái)說(shuō)明這個(gè)結(jié)論和“任何真分式【】可唯一表示成最簡(jiǎn)分式【】之和”是等價(jià)的。

定理一：設(shè)是g首一的真分式，那么在【】也就是? ? ?，a屬于域P??? 中只存在唯一的分母首一的等價(jià)分式，即本身（ag必須首一，g首一，固a=1）。

情況一：若存在另外一組分母p全為首一的最簡(jiǎn)分式，它們的和等于，則a=1，（因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Cfrac%7Bq%7D%7Bp%5En%20%7D%20" alt="%5Cfrac%7Bq%7D%7Bp%5En%20%7D%20">之和的分母首一,用定理一）固它就是? ?,g首一? 的唯一最簡(jiǎn)分式分解。

情況二：若存在一組分母p不全為首一的最簡(jiǎn)分式分解，設(shè)其中一個(gè)分母p不首一的最簡(jiǎn)分式為，p的首項(xiàng)系數(shù)為x,則它的一個(gè)等價(jià)分式是一個(gè)分母首一的最簡(jiǎn)分式。我們對(duì)所有分母p不首一的最簡(jiǎn)分式都這樣做，最后會(huì)得到分母p都是全首一的最簡(jiǎn)分式之和，它們相加起來(lái)等于,根據(jù)定理一，有a=1，固我們得到了? ?,g首一??的唯一最簡(jiǎn)分式分解，根據(jù)我們的構(gòu)造方法，這組分母p不全為首一的最簡(jiǎn)分式就是這個(gè)唯一分解的最簡(jiǎn)分式的等價(jià)分式，（相反地，對(duì)應(yīng)的分子分母各乘上x(chóng)的n次方即可）這樣就完成了證明。