第二章 隨機(jī)變量及其概率分布

第一節(jié) 離散型隨機(jī)變量

一、隨機(jī)變量的概念

定義：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間S={e},X=X(\omega)是定義在樣本空間S上的單值實(shí)值函數(shù)，稱X=X(e)為隨機(jī)變量

不管試驗(yàn)結(jié)果是否與數(shù)值有關(guān)，我們都可以通過引入某個(gè)變量，使試驗(yàn)結(jié)果與數(shù)建立了對(duì)應(yīng)關(guān)系

二、離散型隨機(jī)變量及其分布律

隨機(jī)變量的分類：離散型，連續(xù)型

離散型隨機(jī)變量的定義：隨機(jī)變量所取得可能值是有限多個(gè)或無限可列個(gè)，則該隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量。如觀察擲一個(gè)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，隨機(jī)變量X的可能值是：1，2，3，4，5，6

離散型隨機(jī)變量的分布律：

設(shè)離散型隨機(jī)變量X所有可能取的值及相應(yīng)的概率為

$$
P(X=x_k)=P_k,k=1,2,...
$$

稱此為離散型隨機(jī)變量X的分布律

說明：由概率的定義，P_k滿足如下兩個(gè)條件：

• P_K\geq 0,k-1,2,...

• \sum \limits _{k=1}^ \infty P_k=1

表示方法：

1. 列表法

2. 公式法

三、0-1分布與二項(xiàng)分布

1. 兩點(diǎn)分布（0-1分布）

   隨機(jī)變量X只可能取0和1兩個(gè)值，其概率函數(shù)為：

   $$
   P(X=k)=p^k(1-p)^{1-k},k=0,1
   $$

   
   

   或

   $$
   \begin{array}{c|lcr} ? ?X & \text0 & \text1 & ?\\ ? ?\hline ? P_k& 1-P & P \\ \end{array}
   $$

   
   

2. 二項(xiàng)分布

   隨機(jī)變量X的所有可能值為0,1,2,...,n，其概率函數(shù)為：

   $$
   P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k},k-0,1,2,...,n
   $$

   
   

   則稱X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布，記作

   $$
   X\backsim B(n,p)
   $$

   
   

   當(dāng)n=1時(shí)，P(X=k)=p^k(1-p)^{1-k},k=0,1，X化為0-1分布

四、泊松分布

泊松分布：設(shè)隨機(jī)變量X所有可能取的值為0,1,2...，取各個(gè)值的概率為

$$
P(X=k)=\frac {\lambda^ke^{-k}}{k!},k=0,1,2...
$$

其中\lambda >0是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為\lambda的泊松分布，記為X\backsim \pi(\lambda)

第二節(jié) 隨機(jī)變量的分布函數(shù)

一、分布函數(shù)的概念

定義：設(shè)X是隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，函數(shù)

$$
F(x)=P(X\leq x)
$$

稱為隨機(jī)變量X的概率分布函數(shù)或分布函數(shù)。

當(dāng)X為離散型隨機(jī)變量時(shí)，設(shè)X的分布律為

$$
p_k=P(X=k),k=0,1,2,...
$$

由于{X \leq x}= \mathop{\cup}\limits_{x_k \leq x}{\{X_1=x_k\}}，由概率性質(zhì)知，

$$
F(x)=P(X\leq x)= \mathop{\sum}\limits_{x_k \leq x}P{\{X=x_k\}},F(x)=\mathop\sum\limits_{X_k \leq x}{P_k}
$$

其中，求和是對(duì)所有滿足x_k \leq x時(shí)x_k相應(yīng)的概率P_k求和

二、分布函數(shù)的性質(zhì)

分布函數(shù)的性質(zhì)

• 0\leq F(x) \leq 1

• F(x)非減，即若x_1 \leq x_2，則F(x_1 \leq x_2)

• F(-\infty)=\lim_\limits{x \to-\infty}F(x)=0,F(+\infty)=\lim_\limits{x \to +\infty}F(X)=1

• F(x)右連續(xù)，即\lim \limits_{x \to x_0^+}F(x)=F(x_0)

第三節(jié) 連續(xù)性隨機(jī)變量及其概率密度

一、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度

定義：設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(X)，如果存在實(shí)數(shù)軸上的一個(gè)非負(fù)函數(shù)f(x)，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有

$$
F(X)=\int_{-\infty}^xf(t)dt
$$

則稱X為連續(xù)隨機(jī)變量，f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡稱密度函數(shù)，或密度

顯然F'(X)=f(x)

密度函數(shù)的性質(zhì)

1. f(x) \geq 0

2. \int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1

   注：連續(xù)型隨機(jī)變量在單點(diǎn)處的概率為零：P\{X=c\}=0

   證明：0 \leq P{\{X=c}\} \leq P\{{c-\Delta <X\leq c}\}=\lim\limits_{\Delta x \to 0+} \int_{c- \Delta{x}} ^{x}f(x)dx=0

   \therefore P(X=c)=0

3. P{a<X<b}=P{a<X\leq b} = \int_a^bf(x)dx

二、均勻分布與指數(shù)分布

1. 均勻分布：若X的概率密度為

   $$
   f(x)=\begin{cases} \frac 1 {b-a}, & \text a \leq x \leq b \\ 0, & \text 其它 \end{cases}
   $$

   
   

   則稱X服從區(qū)間[a,b]上的均勻分布，記作X~U(a,b)

   它的實(shí)際背景是：X取值在區(qū)間[a,b]上，并且取值在[a,b]中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個(gè)小區(qū)間的長度成正比

   則X具有[a,b]上的均勻分布

   分布函數(shù)

   $$
   f(x)=\begin{cases} 0,& \text ?x <a \\ \frac {x-a}{b-a}, & \text a \leq x \leq b \\ 1,&\text x\geq b \end{cases}
   $$

   
   

   均勻分布常見于下列情形：

   如在數(shù)值計(jì)算中，由于四舍五入，小數(shù)點(diǎn)后某一位小數(shù)引入的誤差

   公交線路上兩輛公共汽車前后通過某汽車停車站的時(shí)間，即乘客的候車時(shí)間等

2. 指數(shù)分布

   若隨機(jī)變量X具有概率密度

   $$
   f(x)=\begin{cases} \lambda e^{-\lambda x},& \text ?x > 0 \\ 0, & \text 其它 \\ \end{cases}
   $$

   
   

   其中\lambda > 0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為\lambda的指數(shù)分布

   記作：X ?\backsim E(\lambda)

   其分布函數(shù)為：F(x)=P\{X \leq x\}=\begin{cases} 1-e^{-\lambda x},& \text ?x > 0 \\ 0, & \text 其它 \\ \end{cases}

   指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計(jì)研究中，如元件的壽命

三、正態(tài)分布

正態(tài)分布：設(shè)隨機(jī)變量X具有一下概率密度

$$
f(x)=\frac 1{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{- \frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}},-\infty<x<+\infty,\sigma>0
$$

分布函數(shù)F(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma}\int_{-\infty}^{x}e^{- \frac {(t- \mu)^2}{2\sigma^2}}dt,-\infty<x<\infty

則稱X服從一\mu,\sigma^2為參數(shù)的正態(tài)分布。記作X \backsim N(\mu,\sigma^2)

\mu,\sigma=1的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。記為X\backsim N(0,1)

其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用\varphi(x)和\Phi(x)表示：

$$
\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{x^2}{2}},-\infty<x<\infty \\ \Phi (x)=\frac {1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^xe^{-\frac{t^2}{2}}dt,- \infty<x<\infty
$$

\Phi(x)的性質(zhì)：

1. \Phi(0)=\frac{1}{2}

2. \forall x\in R, \Phi(-x)=1- \Phi(x)

若X\backsim N(\mu,\sigma^2)，則Z=\frac {X-\mu}{\sigma} \backsim N(0,1).

X\backsim N(\mu,\sigma^2)

\Rightarrow F_x(x)=P\{X \leq x\}=P{\{\frac {X- \mu}{\sigma}} \leq \frac{x- \mu}{\sigma}\}

=\Phi(\frac{x-\mu}{\sigma})

第四節(jié) 隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布

一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布

一般，若離散型隨機(jī)變量X的概率分布為：

$$
\begin{array}{c|lcr} ? ?X & \text x_1 & \text x_2 & \text ... ?& \text x_k & \text ...\\ ? ?\hline ? ?P_k & P_1 & P_2 & ... & P_k & ... \end{array}
$$

則Y=g(x)的概率分布為：

$$
\begin{array}{c|lcr} ? ?Y=g(X) & \text g(x_1) & \text g(x_2) & \text ... ?& \text g(x_k) & \text ...\\ ? ?\hline ? ?P_k & P_1 & P_2 & ... & P_k & ... \end{array}
$$

如果g(X_k)中有一些是相同的，把它們作適當(dāng)并項(xiàng)即可

二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布

問題：已知X的概率密度f_x(x)，求隨機(jī)變量函數(shù)Y=g(X)的概率密度f_Y(y)

一般方法

1. 求Y 的分布函數(shù)F_Y(y)

   $$
   F_Y(y) \underrightarrow{根據(jù)分布函數(shù)的定義} P(Y \leq y)=P(g(X) \leq y)\\ =P(X \in \{x \mid g(x)\leq y \})
   $$

   
   

2. 對(duì)F_Y(y)求導(dǎo)，得到f_Y(y)：f_Y(y)=F_Y^y(y)

定理：設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度f_x(x),- \infty < x < \infty，又設(shè)函數(shù)g(x)處處可導(dǎo)，且有g^\prime(x) > 0（或恒有g^\prime (x)<0

則Y=g(X)是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量Y，其概率密度為

$$
f_y(y)= \begin{cases} ? ? ? ? ? ?f_x[h(y)]|[h\prime(y)|, ?& \text\ \alpha < \beta \\ ? ? ? ? ? ?0, & \text 其它 \\ ? ? ? ?\end{cases}
$$

其中h(y)是g(x)的反函數(shù)

即x=g\prime (y)=h(y)