最近在抖音上看到一個(gè)視頻：一個(gè)大爺在街上擺攤，用一個(gè)袋子裝了紅綠藍(lán)各8個(gè)珠子。玩家把手伸進(jìn)口袋摸出12個(gè)珠子，數(shù)出不同顏色珠子個(gè)數(shù)，就能夠獲得相應(yīng)的獎(jiǎng)金。

比如摸出的12個(gè)珠子里，顏色最多的珠子有8個(gè)，顏色次多的珠子有4個(gè)，還有一種顏色沒(méi)有，就叫840，玩家會(huì)獲得100元！如果珠子個(gè)數(shù)是831，就能獲得10元，如果是444，就能獲得1元等等。

但是還有一種情況，如果三種顏色珠子的個(gè)數(shù)是543，玩家還得給老板10元。全部的情況和中獎(jiǎng)金額如下：

這個(gè)游戲看起來(lái)贏面很大——13種情況中12種都掙錢(qián)，只有一種輸錢(qián)。可是這個(gè)小朋友玩了好幾次，還把自己的親戚朋友都叫來(lái)玩，結(jié)果一直輸錢(qián)，這是為什么呢？

很顯然，這是一個(gè)概率游戲。我們首先要計(jì)算從24個(gè)珠子中摸出12個(gè)珠子一共有多少種可能，然后再計(jì)算每一種中獎(jiǎng)的情況對(duì)應(yīng)多少種可能，就能計(jì)算中獎(jiǎng)的概率了。

一.總共的情況數(shù)

從n個(gè)元素里取出m個(gè)元素的方法數(shù)叫做組合數(shù)，數(shù)學(xué)告訴我們：組合數(shù)等于

一共有24個(gè)球，取出12個(gè)，按照組合數(shù)公式

即從袋子中取出的球，不計(jì)算先后次序，一共有二百七十萬(wàn)四千一百五十六種情況。

二.中獎(jiǎng)的情況數(shù)

我們需要把中獎(jiǎng)的情況分為三類：三個(gè)數(shù)字不同、兩個(gè)數(shù)字相同、三個(gè)數(shù)字都相同。

01

三個(gè)數(shù)字不同

如果取出三種顏色的球數(shù)量彼此不同，比如840這樣的情況，首先要區(qū)分紅、綠、藍(lán)三種顏色的球，誰(shuí)最多，誰(shuí)其次，誰(shuí)最少。對(duì)顏色進(jìn)行排序有6種可能，分別是紅綠藍(lán)、紅藍(lán)綠、綠紅藍(lán)、綠藍(lán)紅、藍(lán)紅綠、藍(lán)綠紅。

然后，在第一種顏色的8個(gè)球中取8個(gè)，第二種顏的8個(gè)球中取4個(gè)，第三種顏色的8個(gè)球中取0個(gè)，所以840對(duì)應(yīng)的情況數(shù)是：

類似的，我們可以計(jì)算出其他幾種結(jié)果的情況數(shù)：

02

兩個(gè)數(shù)字相同

如果取出的的球，有兩種球個(gè)數(shù)一樣多，比如822，又該怎么計(jì)算呢？

這時(shí)，首先要在三種顏色中選出一種，讓它的個(gè)數(shù)與另外兩種不同，比如紅色、綠色、藍(lán)色哪種顏色有8個(gè)球？這有三種情況。確定了個(gè)數(shù)不同的球的顏色，另外兩個(gè)顏色的球個(gè)數(shù)相同，就不用區(qū)分了。你應(yīng)該能計(jì)算出822這種結(jié)果對(duì)應(yīng)的情況數(shù)：

類似的我們可以計(jì)算出其他幾種情況：

03

三個(gè)數(shù)字相同

如果摸出12個(gè)球，每種顏色各有4個(gè)，就屬于第三種情況。這時(shí)我們不需要再對(duì)顏色排序，只需要從每種顏色的8個(gè)球中取出4個(gè)即可，方法數(shù)有：

三. 概率和期望

從24個(gè)球中摸出12個(gè)，共有2704156種方法。13種中獎(jiǎng)的可能，每一種對(duì)應(yīng)的情況數(shù)從420種到1317120不等。某種結(jié)果的情況數(shù)越多，出現(xiàn)的概率越大，概率等于這種結(jié)果的情況數(shù)除以24個(gè)球中摸出12個(gè)總的情況數(shù)：

如此我們就能計(jì)算出每一種結(jié)果出現(xiàn)的概率：

你會(huì)發(fā)現(xiàn)：概率最大的結(jié)果是543，概率48.7%，概率最小的結(jié)果是840，只有0.02%的可能。幾乎玩2把就有一把是543，玩5000把才會(huì)出現(xiàn)一把840!

不同的情況，獲得的獎(jiǎng)金不同。用概率乘以對(duì)應(yīng)情況的獎(jiǎng)金，就得到了期望。所謂期望，就是這種獲獎(jiǎng)規(guī)則下平均能夠給玩家的回報(bào)。

我們把表格補(bǔ)充完整：

你發(fā)現(xiàn)了什么嗎？贏錢(qián)的結(jié)果有12種，但是每一種情況下贏錢(qián)的期望都是幾分錢(qián)到一毛多。輸錢(qián)的結(jié)果只有543一種，但是這一種情況的期望卻是-4.87元！把所有結(jié)果的期望相加，就會(huì)得到這個(gè)游戲的總期望值：-4.25元！每次玩游戲，玩家平均輸?shù)?.25元！

敢開(kāi)飯店就不怕大肚漢，敢街頭擺攤就不怕你來(lái)玩。想從大爺手里掙錢(qián)，你還是太天真了！