為什么0不能作為除數(shù)？

為什么1/3+2/3＝1？

2×0＝1×0，顯然這是成立的，因為結(jié)果就是0＝0。如果同時消去0，只剩下2＝1，它就是錯的了。為什么呢？

除法和減法，被稱為加法與減法的逆運算。減法的含義，是從一個“給定”的量中，拿走一些東西。如果拿走的方法是直接的，它就是減法，從而得到兩個量，一個是拿走的，一個是剩下的。由于拿走的與剩下的加在一起，正好就是給定的量，所以加法與減法是可逆的。

除法拿走的方法不是直接的。它是先確定一個“單量”，也就是除數(shù)，然后將這個單量作為“定量”，按照定量從給定的量里，每次拿一個。最后，統(tǒng)計拿了多少次，將次數(shù)作為得數(shù)。

因此，除法會有余數(shù)，余數(shù)就代表了，剩下的不夠定量，所以不能拿走。在這個余數(shù)中，余數(shù)的分母就是“單量”，所以分母一定也是除數(shù)。余數(shù)的分子，是剩下的量。剩下是因為它比單量少，所以余數(shù)的分子一定小于分母。

而已經(jīng)拿走的次數(shù)，則是得數(shù)中的整數(shù)部分。因為每次只能拿走單量，所以次數(shù)與單量的乘積，就是給定的量減去余數(shù)分子的量。如果余數(shù)分子為0，則表明，給定的量正好等于單量與次數(shù)的乘積，此時就稱為“整除”。所以乘法是除法的逆運算。

當(dāng)除數(shù)是0時，最終剩下的量就是給定的量。給定的量是2，它就剩下2。給定的量是1，它就剩下1。1當(dāng)然不等于2，所以不能得出等式。

0÷1＝0

得數(shù)的0，與除數(shù)的0，雖然都是0，但含義不同。除數(shù)的0，表示“單量”。

得數(shù)的0，表示“次數(shù)”。除數(shù)的單量與給定的量是無關(guān)的，這一步是事先完成的，它可以是任意的。設(shè)定了單量后，才開始與給定的量接觸，每次從給定的量中拿走單量。

給定的量是0，則一次也無法拿走。不僅如此，剩下的量也是0，所以余數(shù)也是0。這才是得數(shù)的全部含義。

由此也可以知道，整除的時候，得數(shù)雖然是整數(shù)，其實它是把“剩余為0”省略不寫了。

同樣的，得數(shù)小于1時，則“次數(shù)為0”。如果得數(shù)是分?jǐn)?shù)，這里就“省略不寫”。如果得數(shù)寫成數(shù)字形式，0就不能不寫，所以它就寫成小數(shù)。

0.333...+0.666...＝0.999...

＝1/3+2/3=1

從小數(shù)到分?jǐn)?shù)再到整數(shù)，完成了從無限到有限的轉(zhuǎn)換。

比如，一條線段長度是1。然后，讓這條線段再增加一個1的長度。這很容易做，將1的線段延長，在延長線上截取1的長度，得到的就是1+1＝2。

我們把這條新線段看做兩段，一段等于1，另一段也等于1。

在這兩個線段之間，還有一個點，也叫做中點，它把兩條線段分為相等的兩段。

以上都沒問題吧？好，現(xiàn)在要問，這個中點，是在前一條線段上呢，還是在后一條線段上呢？

如果它在前一條線段上，它當(dāng)然就不能在后一條線段上?？墒?，我們怎么把后一條線段截取出來的呢？我們是直接以這個點為后一條線段的起點。既然它是起點，當(dāng)然應(yīng)該在第二條線段上。

但是，它在第二條線段還沒有作出來之前，就已經(jīng)存在了，而且就是在第一條線段之上。所以，它怎么成為后一條線段的一部分呢？

因此，我們只能承認(rèn)，它既在第一條線段上，也在第二條線段上。我們會把這個點稱為“公共端點”，已經(jīng)表明，我們認(rèn)為它同時在兩條線段之上。

接下來就是這個問題了。如果我們再從頭截取1/3＋2/3的線段，應(yīng)該把中點也截去嗎？

如果截去，剩下的線段就少了一點。

如果不截，截去的線段就少了一點。

所以，我們的做法是，將這一點截去，然后在原來的位置，補上一點。

這個做法，表明了這樣一個事實。在這個中點的兩邊線段，長度是一樣的，必須加上這一點才等于一。所以，兩邊線段都等于

0.9999..

截取的時候，因為加了中點，所以是1。而剩下的線段，因為添了一點，所以也是1。

以上還是沒錯吧？好，現(xiàn)在我們看這個長度2的線段。前面說了，它是由三個部分組成，公共端點也就是中點，左邊一條，右邊一條。

我們把這三部分加在一起，等于多少呢？左邊加中點，所以它是1。

但是，右邊少了一點，它就不是1了。即使我們在中點的位置添上這一點也沒用，因為它與中點的位置重合，而中點現(xiàn)在已經(jīng)是，也必須是歸為左邊了。

這樣必然的結(jié)果是，如果在一條線段的延長線上，再作一條線段，它將永遠(yuǎn)少掉一個點。

這樣一來，我們就有了兩個“1”。一個，是第一條線段，它是完整的“1”。另一個，是接下來的線段，它永遠(yuǎn)少一點，可是它才是真正與后面的線段相等，因為后面的每一條線段也都少了一個點。所以它也是“1”。

這一矛盾的出現(xiàn)，就在于我們把0.999...與1分開了。只要把這兩個點看做一個點，則這兩個點必定重合。所以，我們在截取一條線段后，才可以添上。