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務(wù)必注意漸近線（2018課標(biāo)Ⅲ（文）導(dǎo)數(shù)）

2022-09-29 12:55 作者:數(shù)學(xué)老頑童 0人讀過(guò) | 我要投稿

（2018課標(biāo)Ⅲ文，21）已知函數(shù) $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3D%5Cfrac%7Bax%5E2%2Bx-1%7D%7B%5Cmathrm%7Be%7D%5Ex%7D$ .

（1）求曲線 $y%3Df%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$ 在點(diǎn) $%5Cleft(%200%2C-1%20%5Cright)%20$ 處的切線方程；

（2）證明：當(dāng) $a%5Cgeqslant%201$ 時(shí)， $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%2B%5Cmathrm%7Be%7D%5Cgeqslant%200$ .

解：（1）求導(dǎo)，得

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%09%5Ccolor%7Bred%7D%7Bf'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%7D%20%26%3D%5Cfrac%7B%5Cleft(%202ax%2B1%20%5Cright)%20%5Cmathrm%7Be%7D%5Ex-%5Cleft(%20ax%5E2%2Bx-1%20%5Cright)%20%5Cmathrm%7Be%7D%5Ex%7D%7B%5Cleft(%20%5Cmathrm%7Be%7D%5Ex%20%5Cright)%20%5E2%7D%5C%5C%0A%09%26%3D%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac%7B-%5Cleft(%20ax%2B1%20%5Cright)%20%5Cleft(%20x-2%20%5Cright)%7D%7B%5Cmathrm%7Be%7D%5Ex%7D%7D%5C%5C%0A%5Cend%7Baligned%7D$

所以點(diǎn) $%5Cleft(%200%2C-1%20%5Cright)%20$ 處的切線斜率為 $f'%5Cleft(%200%20%5Cright)%20%3D%5Ccolor%7Bred%7D%7B2%7D$ ，

所以該點(diǎn)處的切線方程為

$y-%5Cleft(%20-1%20%5Cright)%20%3D2%5Ccdot%20%5Cleft(%20x-0%20%5Cright)%20$ ，

化簡(jiǎn)得 $%5Ccolor%7Bred%7D%7By%3D2x-1%7D$ .

（2）當(dāng) $a%5Cgeqslant%201$ 時(shí)，

$%5Ccolor%7Bred%7D%7Bf%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%2B%5Cmathrm%7Be%7D%5Cgeqslant%20%5Cfrac%7Bx%5E2%2Bx-1%7D%7B%5Cmathrm%7Be%7D%5Ex%7D%2B%5Cmathrm%7Be%7D%7D$ ，

欲證 $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%2B%5Cmathrm%7Be%7D%5Cgeqslant%200$ ，

只需證 $%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac%7Bx%5E2%2Bx-1%7D%7B%5Cmathrm%7Be%7D%5Ex%7D%2B%5Cmathrm%7Be%7D%5Cgeqslant%200%7D$ .

令 $g%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3D%5Cfrac%7Bx%5E2%2Bx-1%7D%7B%5Cmathrm%7Be%7D%5Ex%7D%2B%5Cmathrm%7Be%7D$ ，

則 $g'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3D%5Cfrac%7B-%5Cleft(%20x%2B1%20%5Cright)%20%5Cleft(%20x-2%20%5Cright)%7D%7B%5Cmathrm%7Be%7D%5Ex%7D$ ，

令 $g'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3D0$ ，得 $x%3D-1$ 或 $x%3D2$ ，

當(dāng) $x%5Cin%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft(%20-%5Cinfty%20%2C-1%20%5Cright)%20%7D$ , $g'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3C0$ , $g%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Csearrow%20%7D$ ;

當(dāng) $x%5Cin%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft(%20-1%2C2%20%5Cright)%20%7D$ , $g'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3E0$ , $g%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cnearrow%20%7D$ ;

當(dāng) $x%5Cin%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft(%202%2C%2B%5Cinfty%20%5Cright)%20%7D$ , $g'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3C0$ , $g%5Cleft(%20x%20%5Cright)%5Ccolor%7Bred%7D%7B%20%5Csearrow%20%7D$ .

故 $g%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$ 在 $x%3D-1$ 處取得極小值，

在 $x%3D2$ 處取得極大值.

當(dāng) $x%5Cin%20%5Cleft(%20-%5Cinfty%20%2C2%20%5Cright%5D%20$ ， $g%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Cgeqslant%20g%5Cleft(%20-1%20%5Cright)%20%3D0$ ，

當(dāng) $x%5Cin%20%5Cleft(%202%2C%2B%5Cinfty%20%5Cright)%20$ ，

因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Ccolor%7Bred%7D%7Bx%5E2%2Bx-1%7D%3E5%5Ccolor%7Bred%7D%7B%3E0%7D" alt="%5Ccolor%7Bred%7D%7Bx%5E2%2Bx-1%7D%3E5%5Ccolor%7Bred%7D%7B%3E0%7D">，

所以 $%5Cfrac%7Bx%5E2%2Bx-1%7D%7B%5Cmathrm%7Be%7D%5Ex%7D%3E0$ ，

所以 $%5Ccolor%7Bred%7D%7Bg%5Cleft(%20x%20%5Cright)%7D%20%3D%5Cfrac%7Bx%5E2%2Bx-1%7D%7B%5Cmathrm%7Be%7D%5Ex%7D%2B%5Cmathrm%7Be%7D%3E%5Cmathrm%7Be%7D%5Ccolor%7Bred%7D%7B%3E0%7D$ .