如果有人要問(wèn)我，在學(xué)習(xí)幾何的這些年中，你見(jiàn)過(guò)的最美的幾何定理是什么，我相信，斯坦納鏈一定會(huì)列入候選之位。而且，不像其他令人驚嘆的定理，如彭賽列閉合定理等，斯坦納鏈的證明方法相比之下要簡(jiǎn)單許多，而且易于理解。所以，若要向其他人展示幾何之美，我認(rèn)為，斯坦納連鏈?zhǔn)亲詈线m的選擇之一。

那么，什么是斯坦納鏈呢？如下圖，小圓內(nèi)含于大圓，在某一位置做一個(gè)圓（1），同時(shí)與已知兩圓相切（外切于小圓，內(nèi)切于大圓）再做圓（2）同時(shí)與大圓，小圓和圓（1）相切，類似做圓（2），圓（3），直到圓（n）。一般的，圓（n）與圓（1）有三種關(guān)系：相離，相切，相交。斯坦納鏈描述的就是，若圓（n）恰好與圓（1）相切，那么在兩圓之間任意另做一個(gè)圓（1'）,如此再做到圓（n'），則圓（n'）也恰好與圓（1'）相切。

可以認(rèn)為斯坦納鏈在描述一個(gè)運(yùn)動(dòng)中的不變量，圓（1）運(yùn)動(dòng)時(shí)，其余各圓跟隨運(yùn)動(dòng)，但相切的結(jié)論保持不變。一般的證明方法是利用反演變換，即把不同心的小圓和大圓反演為同心的情況，得到的反像中，圓（i）與圓（j）必定相等，這樣就能夠輕輕松松的讓圓們轉(zhuǎn)起來(lái)，就像滾珠軸承那樣。這里不再贅述證明的詳細(xì)步驟。

那么，為什么反演變換可以證明斯坦納鏈呢？其本質(zhì)在于，不經(jīng)過(guò)反演中心的圓在反演后還是一個(gè)圓，且反演變換是一種“保形變換”，即變換前后個(gè)幾何元素之間的關(guān)系保持不變。相切的圓反演后還是相切的圓?，F(xiàn)在，我們大致認(rèn)清了證明這個(gè)問(wèn)題的思路：尋找某種“保形變換“同是圓在變換后還是圓，這樣就有望將不同心的兩圓變換為同心兩圓，繼而解決問(wèn)題?？墒牵朔囱葑儞Q，真的還有其它的變換能滿足以上要求嗎？有！那就是“球極投影”。

如下圖，球O與平面α切于S點(diǎn)，點(diǎn)S的對(duì)徑點(diǎn)為點(diǎn)N，P為球面上任意一點(diǎn)，射線NP交平面α于Q點(diǎn)，那么，不與點(diǎn)N重合的所有點(diǎn)P，在平面上均有點(diǎn)Q與之對(duì)應(yīng)。點(diǎn)Q稱之為點(diǎn)P的球極投影。特殊地，我們定義點(diǎn)N的球極投影為平面上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。這樣，球面上所有的點(diǎn)都可以找到它的球極投影。

球極投影有一條很重要的性質(zhì)：圓的球極投影還是圓。這是我們利用它證明問(wèn)題的關(guān)鍵之一。下面我們來(lái)證明這條性質(zhì)。如圖我們?cè)谇蛎嫔献龀鲆粋€(gè)圓，并做出它的球極投影，由對(duì)稱性易得投出的曲線是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸即為藍(lán)色平面與灰色平面交點(diǎn)。

我們發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)有的信息還不足以證明投影曲線是圓，畢竟，投影的位置并不那么“理想”，那么，有辦法將投影的位置改變一下嗎？有的。利用位似變換的性質(zhì)，過(guò)圓心做與灰色平面α平行的平面β，則射線與平面β的相交得到的曲線a與球極投影曲線相似。我們只要證明曲線a是一個(gè)圓就可以了。

如上圖，設(shè)Q為球面圓上的一點(diǎn)，NQ交平面β于點(diǎn)P ，易得曲線a與球面圓的交點(diǎn)為M，L，且M，L，球面圓圓心H三點(diǎn)共線（利用點(diǎn)，線，面的從屬關(guān)系即可證明，篇幅原因不再贅述，讀者可自證）由圓冪定理，只需證MH*HL=PH*HF=QH*HT,即證QPTR四點(diǎn)共圓（R為直線PM與曲線β的交點(diǎn)）

我們利用對(duì)視角相等證明這個(gè)共圓，即證∠QPM=∠QTR。又因?yàn)槠矫姒痢位疑矫?，于是綠色平面與兩平面的交線平行，∠QPM=角QVU。于是我們只需證UVQT四點(diǎn)共圓。現(xiàn)在，問(wèn)題被我媽轉(zhuǎn)化成了一個(gè)很簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題。如下圖，我們把視角轉(zhuǎn)換為正對(duì)綠色平面。

做QW平行于PR，利用共圓得到的對(duì)視角相等可得所有橙色角相等，于是我們證出了UVQT四點(diǎn)共圓，也即證明了曲線β是圓。

球極投影的第二個(gè)關(guān)鍵性質(zhì)是“保形”性，這里我們不用證明一般的保形性，只需要證明投影前后兩圓的位置關(guān)系不變即可。由不同位置關(guān)系的兩圓有不同的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，根據(jù)球極投影是一一映射，不難得到投影圓與球面圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)相等，這樣就間接說(shuō)明了這個(gè)性質(zhì)。

現(xiàn)在，我們里成功證明問(wèn)題只差一步之遙：是否所有不同心的內(nèi)含兩圓都可以找到一個(gè)球，使得在其經(jīng)過(guò)球極變換的逆變換后，在球面上得到兩圓心連線過(guò)球心（類似于平面上的同心）的兩圓呢？

我們先考慮在球面上，這樣的兩圓具有什么性質(zhì)。如圖，我們?nèi)巫饕黄矫媾c兩圓交于ABCD四點(diǎn)，點(diǎn)E在平面與球的交線上，由圓的性質(zhì)可得∠AEB=∠CED。慶幸的是，我們只需要這個(gè)簡(jiǎn)單的性質(zhì)，為了方便我們稱其為性質(zhì)1。

如下圖，平面上有兩個(gè)內(nèi)含的圓，在其圓心連線上構(gòu)造南極點(diǎn)S以及與平面相切的球O，那么，將兩圓投影到球O表面后，兩圓圓心連線過(guò)球心的充要條件即∠ENG=∠HNI。由點(diǎn)N的定義可知N在過(guò)兩圓圓心連線，垂直于灰色平面的青色平面中，那么，對(duì)于任意內(nèi)含兩圓是否都存在這樣的點(diǎn)N呢？

答案是存在的，我們利用極線思想來(lái)證明這個(gè)問(wèn)題。我們將視角正對(duì)青色平面，為了方便研究，現(xiàn)將點(diǎn)N固定在以EI為直徑的圓上。如下圖，當(dāng)N無(wú)限靠近點(diǎn)I時(shí)，∠HNI趨于90°（由切線），而∠ENG趨于0°，∠ENG＜∠HNI，當(dāng)N無(wú)限趨于點(diǎn)E時(shí)，類似的，有∠ENG＞∠HNI，又因?yàn)辄c(diǎn)N從E到I的變化是連續(xù)的，那么在圓上就一定存在一點(diǎn)N使得∠ENG=∠HNI。這樣，我們便證明了點(diǎn)N的存在性，雖然不是很嚴(yán)謹(jǐn)，但還是很直觀的。

終于，萬(wàn)事俱備，我們可以著手證明斯坦納鏈了。考慮某個(gè)滿足存在一個(gè)初始圓，使得圓（n）與初始圓相切的兩圓，若兩圓同心，則顯然任意另取一個(gè)初始圓，結(jié)論仍成立。因?yàn)閮蓤A間不同位置的圓大小相等，圓們可以轉(zhuǎn)起來(lái)。若不同心，則由球極投影的逆投影的“保圓性”，可將兩圓投射成在球面上的，圓心連線過(guò)球心的兩圓，由“保形性”，圓（i）（i=2，3，...，n-1）與兩圓及圓（i-1），圓（i+1）均相切，且初始圓與圓（n）相切。由性質(zhì)1及等角對(duì)等弧對(duì)等邊，可得圓（i）（i=1，2，3，...，n）半徑相等，雖然現(xiàn)在兩圓并不同心（因?yàn)椴辉谕黄矫妫┑捎趫A（i）在運(yùn)動(dòng)中半徑不變，不影響圓們能夠轉(zhuǎn)起來(lái)，于是，在球上的投影中，改變初始圓位置，相切的結(jié)論不變，由保形性，在平面中，初始圓位置改變，相切的結(jié)論不變。至此，我們成功的證明了斯坦納鏈。