預(yù)備知識(shí)：

1. 設(shè)lim an=a，若a>0，an>0，則lim an^（1/n）=1；
   

2. lim（1+1/n）^n=e.

3. 公式：（axb）^2+（ab）^2=a^2b^2；

4. 雙重向量積：給定空間三向量，先作其中兩個(gè)向量的向量積，再作所得向量與第三個(gè)向量的向量積，那么最后的結(jié)果仍然是一向量，叫做所給三向量的雙重向量積。例如（axb）xc就是三向量a，b，c的一個(gè)雙重向量積；

5. 性質(zhì)：（axb）xc是和a，b共面且垂直于c的向量；

6. （axb）xc=（ac）b-（bc）a；

7. 拉格朗日恒等式：（axb）（a'xb'）=（aa'）（bb'）-（ab'）（ba'）；

8. （axb）x（a'xb'）=（a，b，b'）a'-（a，b，a'）b'=（a，a'，b'）b-（b，a'，b'）a；

9. （axb，cxd，exf）=（a，b，d）（c，e，f）-（a，b，c）（d，e，f）；

10. 右手系/左手系：設(shè)有不共面的三個(gè)向量a，b，c，將它們移到同一始點(diǎn)，則a，b決定一個(gè)平面，而c指向平面的一旁，將右手四指并攏與拇指分開，使四指向掌心彎曲的方向，表示從a的方向經(jīng)過小于平角的轉(zhuǎn)動(dòng)達(dá)到b的方向，此時(shí)若拇指方向與c方向指向平面的同一旁，則稱向量組{a，b，c}構(gòu)成右手系，否則稱為左手系；

11. 直角標(biāo)架/直角坐標(biāo)系：設(shè)i，j，k是空間中以O(shè)為起點(diǎn)的三個(gè)向量，它們兩兩垂直并且都是單位向量，則O；i，j，k稱為空間的一個(gè)以O(shè)為原點(diǎn)的直角標(biāo)架或直角坐標(biāo)系，記為{O；i，j，k}；

    右手直角標(biāo)架/右手直角坐標(biāo)系：如果向量i，j，k成右手系，那么{O；i，j，k}稱為一個(gè)右手架標(biāo)或右手直角坐標(biāo)系；否則稱為左手直角架標(biāo)或左手直角坐標(biāo)系；

    直角坐標(biāo)系的基向量：我們把i，j，k稱為該直角坐標(biāo)系的基向量；

12. 仿射架標(biāo)/仿射坐標(biāo)系：如果我們不要求i，j，k單位長度且兩兩正交，只要求它們不共面，那么{O；i，j，k}稱為空間一個(gè)以O(shè)為原點(diǎn)的仿射架標(biāo)或仿射坐標(biāo)系；

    右手仿射架標(biāo)/右手仿射坐標(biāo)系：如果向量i，j，k成右手系，那么{O；i，j，k}稱為一個(gè)右手仿射架標(biāo)或右手仿射坐標(biāo)系；否則稱為左手仿射架標(biāo)或左手直仿射坐標(biāo)系；

    仿射坐標(biāo)系的基向量：我們把i，j，k稱為該仿射坐標(biāo)系的基向量；

13. 坐標(biāo)：O；i，j，k是空間的一個(gè)仿射坐標(biāo)系（直角坐標(biāo)系），則任意一個(gè)向量v可以唯一表示成v=xi+yj+zk，稱（x，y，z）為向量v在該坐標(biāo)系{O；i，j，k}下的坐標(biāo)，記為v=（x，y，z）；

    點(diǎn)的坐標(biāo)：設(shè){O；i，j，k}是空間的一個(gè)以O(shè)為原點(diǎn)的仿射坐標(biāo)系（直角坐標(biāo)系），規(guī)定P點(diǎn)的坐標(biāo)為向量OP的坐標(biāo)，向量OP成為P點(diǎn)的定位向量或矢徑，若P點(diǎn)的坐標(biāo)為{x，y，z}，記為P（x，y，z）；

14. 坐標(biāo)軸/坐標(biāo)平面/卦限：i，j，k所在的直線通常成為坐標(biāo)軸或分別成為x，y，z軸，每兩根坐標(biāo)軸所決定的平面稱為坐標(biāo)平面或xOy，yOz，zOx坐標(biāo)平面，3個(gè)坐標(biāo)平面把空間分割成8個(gè)部分，稱為該坐標(biāo)系的8個(gè)卦限；

15. 兩向量的內(nèi)積等于它們的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積之和；

    向量的長度等于它的坐標(biāo)的平方和的平方根。

16. 矩陣乘法運(yùn)算律——
    

    a.結(jié)合律：（AB）C=A（BC）

    b.左分配律：A（B+C）=AB+AC

    c.右分配律：（B+C）D=BD+CD

    d.若A是n級(jí)矩陣，單位矩陣為E，則有：AE=EA=A

    e.矩陣乘法與數(shù)量乘法滿足：k（AB）=（kA）B=A（kB）

    f.可逆方陣：設(shè)A為n階方陣，若存在n階方陣B，使AB=BA=E，則稱B為A的逆方陣，而稱A為可逆方陣。

17. 矩陣A可逆的充要條件：|A|不為0——|A|為矩陣A對(duì)應(yīng)的行列式。

18. 矩陣對(duì)應(yīng)行列式滿足：|AB|=|A||B|；

19. 設(shè)A與B都是數(shù)域K上的n級(jí)矩陣，如果AB=E，那么A與B都是可逆矩陣，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。

20. A的伴隨矩陣A*滿足：A*=|A|A^（-1）

21. E（i，j）為單位矩陣i，j行對(duì)調(diào)——
    

    方陣A可逆，A對(duì)調(diào)i，j行成B矩陣：B=E（i，j）A

    方陣A可逆，A對(duì)調(diào)i，j列成B矩陣：B=AE（i，j）

22. 矩陣的轉(zhuǎn)置：把n級(jí)矩陣A的行與列互換得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置，記作A'，|A'|=|A|。

23. 定義：設(shè)A為方陣，若A'=A，則稱A為對(duì)稱矩陣，若A'=-A，則稱A為反/斜對(duì)稱矩陣。

24. 定義：如果AB=BA，則稱A與B可交換。

25. 矩陣轉(zhuǎn)置運(yùn)算律——

    （A+B）'=A'+B'

    （kA）'=kA'

    （AB）'=B'A'

26. 定理：如果A可逆，那么A'也可逆，并且（A'）^（-1）=（A^（-1））'。

參考資料：

1. 《數(shù)學(xué)分析》（華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系?編）

2. 《空間解析幾何》（高紅鑄?王敬蹇 傅若男 編著）

3. 《高等代數(shù)題解精粹》（錢吉林?編著）

數(shù)學(xué)分析——

例題（來自《數(shù)學(xué)分析（華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系?編）》）——

設(shè)lim?an=a，證明：lim[nan]/n=a（[nan]表示nan的整數(shù)部分）.

解：

1. nan-1<[nan]<=nan，所以，an-1/n<[nan]/n<=an；

2. lim（an-1/n）=lim an-lim 1/n=a-0=a，lim?an=a；

3. 所以，lim[nan]/n=a.

解析幾何——

例題（來自《空間解析幾何（高紅鑄 王敬蹇 傅若男 編著）》）——

設(shè)a=（5，7，2），b=（3，0，4），c=（-6，1，1），求3a-2b+c.

解：

1. 3a-2b+c

   =3（5，7，2）-2（3，0，4）+（-6，1，1）

   =（15，21，6）-（6，0，8）+（-6，1，1）

   =（3，22，-1）.