拉格朗日中值定理在高等數(shù)學(xué)里面有著一些重要的應(yīng)用：

這里舉一個(gè)應(yīng)用的例子。

首先給出多元函數(shù)可微的定義:

上圖中假設(shè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，這里給出多元函數(shù)連續(xù)的定義：

所以

這里要注意的是，

是很明顯的，因?yàn)閳D3中兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)點(diǎn)之間的差距明顯和Δ?x，Δ?y有關(guān)，又因?yàn)槠珜?dǎo)數(shù)連續(xù)，所以這個(gè)差距epsilon1肯定會(huì)隨著Δ?x，Δ?y趨于0的時(shí)候而趨于0。

上圖是按照圖1中的定義要求，證明

是p的高階無窮小。

上述拉格朗日中值定理的應(yīng)用形式，還在很多其它類似的場合可以看到。我們在進(jìn)行這方面應(yīng)用的時(shí)候，特別要注意圖3中函數(shù)連續(xù)性的要求。

總之，上述多元函數(shù)可微充分條件的證明，用到了以下幾個(gè)步驟：

1：將圖2中原等式按照拉格朗日中值定理的條件進(jìn)行分拆。

2：利用偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的性質(zhì)。

3：按照定義要求，證明相應(yīng)部分是p的高階無窮小。

像這種定理的證明，我們可能往往偏向忽略，但這種證明卻往往用到特別多的概念，這篇文章特別提醒注意。