上一期我們聊到，學(xué)科的分類：?

“我們可以按照一個簡單的標(biāo)準(zhǔn)，把它們大致分為三類：

第一類，以探索多樣性為目的的學(xué)科，如大多數(shù)的人文藝術(shù)類學(xué)科；?

? （以翻譯學(xué)為例，就分了若干個大的學(xué)派，學(xué)派之間爭論不休，但也各自發(fā)展蓬勃。）

第二類，以探索真理為目的的學(xué)科，如大多數(shù)自然邏輯類學(xué)科，講究內(nèi)部邏輯嚴(yán)絲合縫，一個反例就可以推翻前人堅信了幾千年的真理；

（某些倒霉鬼也因為撼動了學(xué)科基石而一度淪為炮灰：比如大數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯的某個徒弟因為發(fā)現(xiàn)了根號二不是分?jǐn)?shù)于是被沉海了——不用懷疑，這哥們提出這個問題和布魯諾堅持地球繞著太陽轉(zhuǎn)的行為一樣“惡劣”！沒錯，在古代西方，數(shù)學(xué)被稱為“上帝的語言”。有沒有感到，被知識支配的恐慌？） 知識就是力量！?

第三類，以探索實用性為目的的學(xué)科，如大多數(shù)工程應(yīng)用類學(xué)科，講究怎樣理論聯(lián)系實際，把書上發(fā)展起來的理論，與現(xiàn)實存在的問題聯(lián)系起來。?

（工程師座右銘：“我才不管一共有多少種可能性，或者這個方案，在理論上有多少問題沒解答呢，我用起來方便就好了。”）?可真是個小機靈鬼！”

?

顯而易見，數(shù)學(xué)理論可以歸為第二類。”

對于第二類學(xué)科，有幾條被普遍接受的要求：

”1. 邏輯自洽性——即內(nèi)部邏輯可以自圓其說，每一項論斷和推理都能從公理（即該學(xué)科的”邏輯起點“）上找到解釋；

比如，”1+1=2“的依據(jù)是”皮亞諾公理“。

? 2.可發(fā)展性——由已知的所有定義和公理定理，可以推導(dǎo)出新的結(jié)論，并且不會與之前的所有理論發(fā)生矛盾；

比如，由加法結(jié)合律（a+b）+c=a+（b+c），分配律(a+b)c=ac+bc，差的定義a-b=a+（-b），0的性質(zhì)0=bc+(-bc)，bc+0=bc，能推出減法分配律（a-b）c=[a+（-b）]c=ac+（-b）c+0=ac+（-b）c+[bc+(-bc）]=ac+[（-b）c+bc]+（-bc）=ac+（-bc）=ac-bc，細(xì)心的讀者會發(fā)現(xiàn)，運算的每一步都是以我們提到的規(guī)則作為依據(jù)的。

? 3. 可證偽性——因為這種學(xué)科的目的是為了探索真理，那么就做出了一點預(yù)設(shè)，真理必然是存在且唯一的，所以，即使之前千萬個例子沒出過問題，一個反例的出現(xiàn)足以證偽；

就好比，曾幾何時認(rèn)為分?jǐn)?shù)可以度量這個世界的畢得格拉斯學(xué)派，因為根號二的發(fā)現(xiàn)，陷入了第一次數(shù)學(xué)危機，于是數(shù)學(xué)界最終不得不承認(rèn)，存在有理數(shù)以外的“新數(shù)“存在，而這個”新數(shù)“嚴(yán)格的定義，第一次出現(xiàn)，已經(jīng)是兩千多年以后了?！?/p>

對于第二類學(xué)科的研究與發(fā)展，始終遵循著這三個規(guī)則。

而第二類學(xué)科的發(fā)展方式，分為“順向發(fā)展”和“逆向發(fā)展”兩種：

順向發(fā)展——指的是，每門學(xué)科會在各種分支遺留各種問題，在解決問題的過程中，想出來的：

a.新的解題技巧（尤其是構(gòu)造技巧，“構(gòu)造法”簡介見Ep2）

在解決“是否存在處處連續(xù)但處處不可導(dǎo)的函數(shù)”的問題中，Weierstrass創(chuàng)造性地用函數(shù)項級數(shù)構(gòu)造出來一個“處處連續(xù)處處不可導(dǎo)的函數(shù)”，而這種構(gòu)造方法及思想在《實變函數(shù)》的證明題中應(yīng)用廣泛；

?注：感興趣的小伙伴可以查閱史濟懷老師的《數(shù)學(xué)分析教程》函數(shù)項級數(shù)部分舉了范德瓦爾登的例子（從史老師三版教材內(nèi)容對比來看，老師一直在不停地閱讀各種經(jīng)典的數(shù)學(xué)科普讀物?。。蛘叱唐湎謇蠋煹摹秾嵶兒瘮?shù)與泛函分析基礎(chǔ)》康托爾三分集部分，書中給出了這種集合的維度不是整數(shù)的證明，而由這些構(gòu)造對象引出了一個全新的分支“分形幾何”（維度不是整數(shù)的幾何）。

b.新的研究思路

在幾千年前的古代，數(shù)學(xué)只有幾何和代數(shù)兩大分支，而十七世紀(jì)時，為了解決幾何問題，笛卡爾創(chuàng)造性地引入了坐標(biāo)法，從此，數(shù)學(xué)兩大分支得到了統(tǒng)一，形成了一個全新的學(xué)科解析幾何；

注：在柏拉圖的《理想國》中，稱幾何是“把握善的理念”的學(xué)科，而代數(shù)是“通往真理本質(zhì)”的學(xué)科，這兩門學(xué)科的發(fā)展經(jīng)歷了幾千年的歷史，直到十七世紀(jì)天才修道士牛頓為了解決物理問題，發(fā)明了微積分（同時期德國的一名律師萊布尼茲在研究幾何的過程中也發(fā)明了微積分，現(xiàn)在的我們學(xué)的微積分的邏輯符號有一套就是萊布尼茲發(fā)明的），數(shù)學(xué)的第三大分支才橫空出世——分析學(xué)。

許多人不理解“分析學(xué)”的“分析”是什么意思，其實無論是英文名“analysis”還是中文的“分析”，都用到了這兩個詞最本源的意思，“分離”，也就是切割取出的意思。微分學(xué)，積分學(xué)的思路都來自于切割數(shù)軸的思想。所以理工科能看到“分析”的科目，一定會有“切取一小塊/段”這一步，無論是數(shù)學(xué)專業(yè)的《實分析》（即《實變函數(shù)》），還是工科的《有限元分析》。

c.新的理論體系

我們知道，在笛卡爾出生之前的兩千多年時間里，“幾何學(xué)”與“代數(shù)學(xué)”是相互獨立發(fā)展的，而在那時候，“古典代數(shù)學(xué)”的核心問題便是“解方程的問題”，而研究的對象主要有兩大類：

1.n元一次方程組——簡單的一元一次方程組的解法我們中學(xué)都已經(jīng)熟悉，但是假如有一百個未知數(shù)呢？有沒有解？有多少解？對n元一次方程組的研究引出了“現(xiàn)代代數(shù)學(xué)”的行列式，矩陣等工具的提出，后來人們發(fā)現(xiàn)這些工具除了解方程還具有更廣泛普適的應(yīng)用空間，于是就有數(shù)學(xué)家開始研究它們的性質(zhì)，形成了《矩陣論》等學(xué)科；

2.一元n次方程——一元一次二次方程都很好直接解出來，文藝復(fù)興時期是“古典代數(shù)學(xué)”的巔峰時期，接連發(fā)現(xiàn)了解一元三次四次方程的求根公式，而五次及以上的求根公式則導(dǎo)致了“代數(shù)學(xué)”在停滯了幾百年后達(dá)成了一次飛躍，天才數(shù)學(xué)家阿貝爾嚴(yán)格證明了“五次及以上的一元方程”沒有根式解，之后另一位天才伽羅瓦為了解決這個問題創(chuàng)造了一個全新的理論《群論》，提供了一種全新的研究視角：“運算結(jié)構(gòu)”，大學(xué)高年級的《抽象代數(shù)》學(xué)習(xí)的便是這方面的內(nèi)容。

以上便是數(shù)學(xué)順向發(fā)展的三大常規(guī)途徑。除此之外，數(shù)學(xué)發(fā)展還有一種思路便是逆向發(fā)展。

至于這種思路具體是怎樣，我們明天再聊！