(1)證明:∵a,b是兩個不相等的正整數(shù)

∴a2+b和b2+a是兩個不相等的正整數(shù)

又∵a2+b/b2+a是整數(shù)

∴a2+b/b2+a＞1,即a2+b＞b2+a.

a2+b－b2－a=(a+b)(a－b)－(a－b)=(a－b)(a+b－1)＞0

易知a+b-1＞0,則a－b＞0,a＞b

(2)解:設(shè)a2+b/b2+a=k,則a2+b=k(b2+a)=kp2.

kp2－p2=(k－1)p2=a2+b-b2－a=(a-b)(a+b－1),p2=(a－b)(a+b－1)/k－1

由p為質(zhì)數(shù),得p2=p2·1=p·p

①當(dāng)a－b/k－1=1,a+b－1=p2時(shí)

a+b-1=p2=b2+a,b2－b+1=0.△＜0,舍.

②當(dāng)a－b/k－1=p2,a+b－1=1時(shí)

由(1)知,a+b－1＞1,舍.

③當(dāng)a－b/k－1=a+b－1=p時(shí)

(a+b－1)2=p2=b2+a,a=(a+b－1)2－b2=(a+2b－1)(a－1),a+2b－1=a/a－1=1+(1/a－1)

由a+2b－1為正整數(shù),得1/a－1為正整數(shù)

∴a=2,則b=1.p=a+b－1=2

a－b/k－1=1/k-1=1/k－1=p=2,k=1.5,舍

④當(dāng)a+b－1/k－1=1,a－b=p2時(shí)

a-b=p2=b2+a,b2+b=b(b+1)=0

b1=0,舍.b2=－1,舍

⑤當(dāng)a+b－1/k－1=p2,a－b=1時(shí)

a=b+1,則k=a2+b/b2+a=b2+3b+1/b2+b+1=1+(2b/b2+b+1)

b2+b+1－2b=b2－b+1=(b－1/2)2+3/4＞0,則b2+b+1＞2b,2b/b2+b+1＜1.

∴k＜2,與“k為大于1的整數(shù)”矛盾,舍

⑥當(dāng)a+b－1/k－1=a－b=p時(shí)

(a－b)2=p2=b2+a,a2－a－2ab=a(a－1－2b),a=2b+1.

則k=a2+b/b2+a=4b2+5b+1/b2+2b+1=4－3(b+1)/(b+1)2=4－3/b+1

由k,b為正整數(shù),得b=2,則a=2b+1=5

∴p=a-b=3