更新中，目前5-4到7-4,學(xué)習(xí)順便記筆記，有幫助的話可以看一看（筆記劃累了就去專欄里劃吧哪里劃的快一點(diǎn)）

5-4定積分換元法筆記

一.換元注意事項：

（1）第二類換元法時令t=某個x函數(shù)的時候，要變化上下限：即要令

x=下限，t=某個值（帶入上限）

x=上限，t=某個值（帶入下限）

個人總結(jié)

1.找到換元的函數(shù),求出x=多少t，dx=多少，

2.找出上下限；令原函數(shù)等于上下限的值，并且將他們一一對應(yīng)（原上限對應(yīng)現(xiàn)上限，原下限對應(yīng)現(xiàn)下限）

3.帶入相應(yīng)的原式，并求出他們（原函數(shù)?。〔灰洠┰谟门ｎD萊布尼茨公式帶入上下限求出他們的定積分

（2）例題

例1

例2

兩個證明問題：

例題3-1

例題3-2

證明思想：令x=π-t的換元方式（為了湊出π/2能夠使sinx，cosx變化而設(shè)）

二.相關(guān)公式：

二-1.奇偶性公式

理解圖像 左偶，右奇

二-2.周期公式

（1）公式

公式1.

T為f（x）函數(shù)的周期

公式2.

T為f（x）函數(shù)的周期

（2）例題

例題1（7）

結(jié)果位2根號2cost(自己算的)

例題2（8）

（1.）運(yùn)用寄偶性，和（2.）巧妙地設(shè)分母為平方加一個常數(shù)的形勢?。。?！變化時候變出tanx

結(jié)果為 27/2 +3pi/2(自己算的)

例題3（9）

>>分段函數(shù)不能直接帶的先換元

結(jié)果為 1/2+1/2e^4(自己算的)

5-5定積分分布積分筆記

一.公式概念：

（1）基本公式

（1-1）例題1

（1-2）注意?。?！：定積分中dx的函數(shù)一定要把它給求出來。

千萬不要像下面這樣，不規(guī)范（寫在草稿紙上）

二.相關(guān)例題

第1題.（2-1）注意?。。。?/span>不能忘記：換元一定要對應(yīng)上下限。

（2-2）完整過程：

第2題：

遇到右邊式子出現(xiàn)左邊要算的式子不要慌如果式負(fù)號或正號不為1拿到右邊就可以了，

如果為+1那就不慌也得慌，慌完檢查重新算.

5-6無窮限的反常積分

+

5-7無界函數(shù)的反常積分

相關(guān)例題

一.定義與類型

1-1（反常積分的定義）

（1）上限或（2）下限或（3）上下限都為無窮的積分就叫反常積分；

1-2（反常積分的類別）

（1）正無窮的反常積分：有極限收斂，沒極限發(fā)散，t趨向正無窮

（2）負(fù)無窮的反常積分，有極限收斂，沒極限發(fā)散，t趨向負(fù)無窮

（3）負(fù)無窮到正無窮的反常積分，注意，相加得到這個極限（負(fù)無窮到正無窮）的極限如果有一個是發(fā)散的不收斂那么這個極限（負(fù)無窮到正無窮也不收斂）就不收斂。

二.反常積分的牛頓萊布尼茨公式的運(yùn)用

1-1廣義萊布尼茨公式

其中假設(shè)f（x）的原函數(shù)為F（x）。直接帶上下限?！緩V義萊布尼茨公式】

1-2例題

第（1）題

第（2）題

步驟1

步驟2

第（3）題

1。思路討論

假設(shè)等于2（p>1），極限為0已經(jīng)收斂了，更小一定收斂

假設(shè)等于1/2（p<1），等于1/2時x上下同時乘以根號可以知道結(jié)果應(yīng)為無窮大所以取倒數(shù)（p<0）的話則會更快趨于無窮大。所以發(fā)散。

2.證明

p=1

p ！=1（不等于）

5-8伽馬函數(shù)

定義：

兩個性質(zhì)結(jié)論：

（1）

（2）

結(jié)論（1）推導(dǎo)

結(jié)論（2）推導(dǎo)

定積分的應(yīng)用

6-1定積分的應(yīng)用微元法(元素法)

一：微元法的公式：

（1）正常微元法

就是將某個部分的面積為【圖形中為小正方形dx*f（x）】求法應(yīng)用到區(qū)間[a，b]就是定積分的幾何意義.

（2）極坐標(biāo)微元法公式:

近似看成扇形：

關(guān)于將某個不規(guī)則函數(shù)用微元法思想推導(dǎo)成一個扇形得到的公式::

6-2定積分的運(yùn)用

一、微元法的面積公式：

A為面積近似值.

二、兩種微元法求面積方法與例題

例題1.求陰影部分面積

1.x型區(qū)域的做題方法：

（ 幫助理解）

（最終結(jié)果）

【函數(shù)上減下的微分】

結(jié)果：1/3（個人計算）

2.Y型區(qū)域的做題方法

【函數(shù)右減左的微分】

易錯點(diǎn)?。呵髮?dǎo)是對y求導(dǎo)dy。而不是dx，要化成x對y的函數(shù)x=什么y的形式

X是函數(shù)，Y是自變量

3.關(guān)于X型區(qū)域和Y型區(qū)域如何選擇:

（1）.函數(shù)的邊緣垂直與X軸選用X型區(qū)域的方法

（2.）函數(shù)的邊緣垂直與y軸選用Y型區(qū)域的方法

（3.）難說型（3）”逝一逝“盡量找到只用分成一部分定積分的來做,而不是用兩部分的

三、例題：

例題2：求陰影部分面積

宋式秒殺法：用筆垂直x軸或y軸移動，分別找到右邊-左邊（Y型區(qū)域）和上邊減下邊（X型區(qū)域）來構(gòu)造公式

例題3：求陰影部分面積:

【1】用X型區(qū)域求面積的方法

【2】（簡便方法）由于左右對稱的可以只用求一邊*2既可以得到結(jié)果

6-3定積分的應(yīng)用--求面積（二）接上一節(jié)?

例題3：求下列陰影部分的定積分

圖形部分:

使用y型區(qū)域的方法

6-4定積分的應(yīng)用--求面積極坐標(biāo)情形

例題4

1.求扇形面積的定積分坐標(biāo)公式

(也是求極坐標(biāo)方程的面積公式):

例題5：：

結(jié)果

6-5定積分應(yīng)用旋轉(zhuǎn)體的體積

一.定義與公式

a-b上截面面積的定積分

放大后：

就是用微元法分成無數(shù)個部分的面積.

二.相關(guān)例題；

1.1繞x軸旋轉(zhuǎn)的

把y當(dāng)作自變量x，x當(dāng)作因變量y，再用公式計算

例6.

例7.

（繞y軸的方向旋轉(zhuǎn)）

.（繞x軸的方法求解）

例8.

另一個例8.

一個半圓中間截取一部分的旋轉(zhuǎn)

t的范圍不同

由于是y周旋轉(zhuǎn)，所以是從x=2pi的位置的y旋轉(zhuǎn)到x=pi位置的所以2pi寫在下面(2pi時候的面積大于pi)所以

要注意區(qū)間上下限寫的位置應(yīng)該反過來

例9.

例10.(正劈錐體)

1.2繞y軸旋轉(zhuǎn)的：

主要公式：

把x看作半徑，用f（x）dy的微積分去計算，

6-6求平面曲線弧的長度?

一.定義公式：

公式一：

用線段近似弧的長度，假設(shè)弧是【參數(shù)方程】

解決看成參數(shù)方程的曲線弧。

公式二：

公式三：

給極坐標(biāo)求曲線弧

推論（可看可不看）：

相關(guān)例題：

例11.

結(jié)果：2\3(a+1)^3\2 - 2\3(b+1)^3\2

例12：

結(jié)果8a

例13：

運(yùn)用和極坐標(biāo)有關(guān)的弧長方程解決問題。

（自己算結(jié)果），更號下(1+4pi^2) -(2pi) +(arctan2pi)

微分方程

7.1微分方程的基本概念：

一.定義：

1.1微分方程：含導(dǎo)數(shù)(不一定是一階導(dǎo)數(shù))的方程就叫微分方程

1.2微分方程的階數(shù):求一次導(dǎo)就是一階

二.通解與初值條件

通解：方程含常數(shù)的個數(shù)與微分方程相同就叫微分方程的通解

初值（始）條件：

如經(jīng)過（1，2）這個點(diǎn)就是這個題目的初值條件

初值條件：用于確定方程的解中任意常數(shù)的附加條件，稱為微分方程的初始條件

7.2可分離變量的微分方程

一.定義（什么是可分離變量方程）

1.1可分離變量方程的形 式：

即為：

將帶x的式子放到一邊，把含y的式子放到一邊，在去求微分。就是可分離變量方程

二.相關(guān)例題：

例題0：（最左邊為題目）

例題1:

例題3（物理題）:

7.3齊次方程：

（補(bǔ)充）定義：即未知數(shù)次數(shù)都相等的，右端等于0，左端是含未知數(shù)的項，這樣的方程就是齊次方程

一.齊次方程的基本概念

形如圖中的方程形式就是齊次方程

（1）方程是y/x看成整體的一個函數(shù)，都是對x求導(dǎo)

（2）根據(jù)圖中的1.2.3三個步驟求出三個量，最后轉(zhuǎn)換成為u和x的方程再進(jìn)行可分離變量求解就行

二.可化為齊次方程的形式

（1）宋氏對稱

xy的次數(shù)相對的情況，這時候可以用除x的n次方的形式來變換形式（判斷是否使用齊次方程小技巧）

三.例題：

例題1

情況一：

a1\a不等于b1\b

情況二：

a1\a=b1\b

7.4一階線性方程?：

1.方程相關(guān)定義：

形如下面的方程就是一階線性方程

推論公式（主要記住）

推論過程

2.伯努利方程（不努力方程）：

3.相關(guān)例題

例1：

例3

結(jié)果x=u-ln（1+u）

y=ln(1+u)

例4：（伯努利方程）