一、不等式的基本性質(zhì)

①a≥b且b≥c?a≥c(不等式的傳遞性)

證明如下：

因?yàn)閍≥b，b≥c，

所以a-b≥0，b-c≥0，

所以a-c=(a-b)+(b-c)≥0。

②a≥b?a±c≥b±c(不等式的加法性質(zhì): 不等式的左右兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)，不等號(hào)的方向不變。)

③（1）a≥b且c＞0?ac≥bc；

（2）a≥b且c＜0?ac≥bc

（不等式的乘法性質(zhì)：（1）不等式的左右兩邊同時(shí)乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；（2）不等式的左右兩邊同時(shí)乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變。）

④a≥b且c≥d?a+c≥b+d。

證明如下：

因?yàn)閍≥b，c≥d，

所以a-b≥0，c-d≥0，

所以（a-b）+（c-d）≥0，a+c≥b+d。

⑤a≥b＞0且c≥d＞0?ac≥bd

證明如下：

因?yàn)閍≥b＞0，c≥d＞0，

所以ac≥bc，bc≥bd（不等式的乘法性質(zhì)）

所以ac≥bd（不等式的傳遞性）

⑥a≥b＞0?a^n≥b^n（n∈R）

⑦a≥b＞0?a^（1/n）≥b^（1/n）（n≠0）

二、區(qū)間

1、概念：由數(shù)軸上兩點(diǎn)間的一切實(shí)數(shù)所組成的集合叫做區(qū)間，其中，這兩個(gè)點(diǎn)叫做區(qū)間端點(diǎn)。

2、開區(qū)間和閉區(qū)間

（1）開區(qū)間:不含端點(diǎn)的區(qū)間

例如：集合{x|0＜x＜1}用表示的區(qū)間為（0，1）等等。

（2）閉區(qū)間:含有兩個(gè)端點(diǎn)的區(qū)間

例如: 集合{x|0≤x≤1}用表示的區(qū)間為[0，1]等等。

3、左半開區(qū)間和右半開區(qū)間

（1）左半開區(qū)間：只含右端點(diǎn)的區(qū)間

例如：集合{x|0＜x≤1}用表示的區(qū)間為（0，1]等等。

（2）右半開區(qū)間：只含左端點(diǎn)的區(qū)間

例如：集合{x|0≤x＜1}用表示的區(qū)間為[0，1）等等。

4、有限區(qū)間和無限區(qū)間

（1）有限區(qū)間：開區(qū)間、閉區(qū)間、左半開區(qū)間和右半開區(qū)間。

（2）無限區(qū)間：只含有一個(gè)端點(diǎn)并且另一個(gè)端點(diǎn)不確定。

實(shí)數(shù)集合R用區(qū)間表示為（-∞，+∞）。

例如：①集合{x|x≥1}用區(qū)間表示為[1，+∞）②集合{x|≤-1}用區(qū)間表示為（-∞，-1] 等等。

三、絕對(duì)值不等式

1、解不等式|x|≤a或|x|≥a

（1）①當(dāng)a=0時(shí)，x的解集為{x|x=0}；②當(dāng)a＞0時(shí)，x的解集為[-a，a]；③當(dāng)a＜0，x的解集為?。

（2）①當(dāng)a=0時(shí)，x的解集為R；②當(dāng)a＞0時(shí)，x的解集為（-∞，-a]∪[a,+∞）；③當(dāng)a＜0時(shí)，x的解集為R。

2、解不等式|ax+b|≤c或|ax+b|≥c(a≠0)

（1）①當(dāng)c=0時(shí)，x的解集為{x|x=-b/a且a≠0}；②當(dāng)c＞0時(shí)，x的解集為[-c-b/a，c-b/a](a≠0)；③當(dāng)c＜0，x的解集為?。

（2）①當(dāng)c=0時(shí)，x的解集為R；②當(dāng)c＞0時(shí)，x的解集為[c-b/a，+∞）∪（-∞，-c-b/a] (a≠0)；③當(dāng)c＜0，x的解集為R。

3、通用公式：

①|(zhì)|a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|

②|a+b|≤|a|+|b|（當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時(shí)，等號(hào)成立）

③|a-c|≤|a-b|+|b-c|【當(dāng)且僅當(dāng)（a-b）（b-c）≥0時(shí)，等號(hào)成立】

四、基本不等式

1、（平方和）①當(dāng)a、b∈R時(shí)，a^2+b^2≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立）

②當(dāng)a、b∈R+時(shí)，（a+b）/2≥√ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立），√ab為幾何平均數(shù)，（a+b）/2為正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)。

2、（立方和）①當(dāng)a、b、c≥0時(shí)，a^3+b^3+c^3≥3abc（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成立）

證明如下：【要證a^3+b^3+c^3≥3abc，也就是a^3+b^3+c^3-3abc≥0】

a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)^3-3ab(a+b)-

3abc=(a+b+c)[(a+b)^2+c^2-ac-bc-3ab]=1/2(a+b+c)[2a^2+2b^2+2c^2-2ac-2bc-2ab]= 1/2(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2]

因?yàn)閍、b、c≥0，

所以a+b+c≥0，

(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2≥0，

所以a^3+b^3+c^3-3abc≥0，即：a^3+b^3+c^3≥3abc，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成立。

②當(dāng)a、b、c≥0時(shí)，（a+b+c）/3≥（abc）^1/3（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成立）。

證明如下：【可以根據(jù)當(dāng)a、b、c≥0時(shí)，a^3+b^3+c^3≥3abc（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成立）】

設(shè)a^3=x，b^3=y，c^3=z（x、y、z≥0）。

所以x+y+z≥3·?x·?y·?z= 3·?xyz，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時(shí)，等號(hào)成立（x、y、z≥0），

同理：當(dāng)a、b、c≥0時(shí)，（a+b+c）/3≥?（abc），當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成立。

推廣：當(dāng)a?、a?、· ········ ·· 、an∈R+時(shí)，（a?+a?+· ········ ·· +an）/n≥（a?+a?+· ········ ·· +an）^1/n，當(dāng)且僅當(dāng)a?=a?=· ········ ·· =an時(shí)，等號(hào)成立。（n∈Z+）【證明略】

五、柯西不等式

當(dāng)a、b、c、d∈R，（a^2+b^2）（c^2+d^2）≥（ac+bd）^2（當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí)，等號(hào)成立）

證明如下：【要證（a^2+b^2）（c^2+d^2）≥（ac+bd）^2，也就是（a^2+b^2）（c^2+d^2）-（ac+bd）^2≥0】

（a^2+b^2）（c^2+d^2）-（ac+bd）^2=a^2d^2+b^2c^2-2abcd=（ad-bc）^2

因?yàn)椋╝d-bc）^2≥0，

所以（a^2+b^2）（c^2+d^2）-（ac+bd）^2≥0，即：（a^2+b^2）（c^2+d^2）≥（ac+bd）^2，當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí)，等號(hào)成立。

推廣：當(dāng)a?、a?、· ········ ·· 、an、b?、b?、· ········ ·· 、bn∈R，（a?^2+a?^2+· ········ ·· +an^2）（b?^2+b?^2+· ········ ·· +bn^2）（a?b?+a?b?+· ········ ·· +anbn）^2，當(dāng)且僅當(dāng)bn=0或者a?/b?=a?/b?=· ········ ·· =an/bn(bn≠0)時(shí)，等號(hào)成立。（n∈Z+）【證明略】

六、權(quán)方和不等式

當(dāng)b?、b?、a?、a?＞0，a?^2/b?+a?^2/b?≥（a?+a?）^2/（b?+b?），當(dāng)且僅當(dāng)a?/b?=a?/b?時(shí)，等號(hào)成立。

證明如下:【要證a?^2/b?+a?^2/b?≥（a?+a?）^2/（b?+b?），也就是（a?^2/b?+a?^2/b?）（b?+b?）-（a?+a?）^2≥0】

（a?^2/b?+a?^2/b?）（b?+b?）-（a?+a?）^2=a?^2+a?^2+ a?^2 b?/ b?+ a?^2 b?/ b?≥（a?+a?）^2[利用基本不等式]，當(dāng)且僅當(dāng)a?/b?=a?/b?時(shí)，等號(hào)成立。

推廣：a?^(m+1)/b?^m+···+an^(m+1)/bn^m≥（a?+···+an）^(m+1)/(b?+···+bn)^m，當(dāng)且僅當(dāng)a?/b?=a?/b?=··· =an/bn(bn≠0)時(shí)，等號(hào)成立。（n∈Z+）【證明略】